2020版高考一轮复习物理新课改省份专用学案：第十章第4节电磁感应中的动力学、能量和动量问题

第4节　电磁感应中的动力学、能量和动量问题

高考对本节内容的考查常以压轴计算题的形式呈现，即便以选择题的形式考查，通常题目难度也较大，因为这类题目可以说是以电磁感应为载体，把直线运动、相互作用、牛顿运动定律、机械能、动量、电路、磁场，甚至包括电场和交变电流等力学、电学知识全部综合到一起进行考查。

考点一　电磁感应中的动力学问题[多维探究类]

1．两种状态及处理方法

2．抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

考法(一)　导体棒在磁场中静止

[例1]　(2017·天津高考)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　)

A．ab中的感应电流方向由b到a

B．ab中的感应电流逐渐减小

C．ab所受的安培力保持不变

D．ab所受的静摩擦力逐渐减小

[解析]　根据楞次定律，可判断ab中感应电流方向从a到b，A错误；磁场变化是均匀的，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势恒定不变，感应电流I恒定不变，B错误；安培力F＝BIL，由于I、L不变，B减小，所以ab所受的安培力逐渐减小，根据力的平衡条件，静摩擦力逐渐减小，C错误，D正确。

[答案]　D

考法(二)　导体棒在磁场中做匀速运动

[例2]　(2016·全国卷Ⅱ)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：

(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

(2)电阻的阻值。

[思路点拨]

分别画出金属杆进入磁场前、后的受力示意图，有助于快速准确的求解问题。

[解析]　(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得

ma＝F－μmg①

设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有

v＝at0②

当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为

E＝Blv③

联立①②③式可得

E＝Blt0。④

(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律

I＝⑤

式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为

F安＝BlI⑥

因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得

F－μmg－F安＝0⑦

联立④⑤⑥⑦式得

R＝。⑧

[答案]　(1)Blt0　(2)

考法(三)　导体棒在磁场中做加速运动

[例3]　(2018·江苏高考)如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒

(1)末速度的大小v；

(2)通过的电流大小I；

(3)通过的电荷量Q。

[解析]　(1)金属棒做匀加速直线运动，

根据运动学公式有v2＝2as

解得v＝。

(2)金属棒所受安培力F安＝IdB

金属棒所受合力F＝mgsin θ－F安

根据牛顿第二定律有F＝ma

解得I＝。

(3)金属棒的运动时间t＝，

通过的电荷量Q＝It

解得Q＝。

[答案]　(1)　(2)

(3)

[易错提醒]

导体棒或线框做匀变速直线运动时，才能应用牛顿第二定律和运动学公式解题，如果是加速度变化的问题，一般要应用能量或动量观点。

考点二　电磁感应中的能量与动量问题[多维探究类]

考法(一)　电磁感应中的能量问题

[例1]　如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN。Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg、电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：

(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；

(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大？

(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？

[解析]　(1)由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则ab中电流方向为由a流向b。

(2)开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsin θ①

设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv②

设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有

I＝③

设ab所受安培力为F安，有F安＝BIL④

此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，

由平衡条件有F安＝m1gsin θ＋Fmax⑤

综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s。

(3)设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gxsin θ＝Q总＋m2v2

又Q＝Q总

解得Q＝1.3 J。

[答案]　(1)由a流向b　(2)5 m/s　(3)1.3 J

电磁感应问题中的能量转化及焦耳热的求法

(1)能量转化

(2)求解焦耳热Q的三种方法

 考法(二)　电磁感应中的动量问题

[例2]　(多选)如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．两金属棒组成的系统的动量守恒

B．两金属棒组成的系统的动量不守恒

C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率

D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和

[解析]　开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。

[答案]　BD

[延伸思考]

(1)双棒稳定时，是否还受安培力？

(2)若ad、bc棒的质量分别为m、2m，则两棒达到稳定时的速度为多大？

(3)接(2)问中，ad棒向左运动的过程中，ad棒产生的总焦耳热是多少？

提示：(1)稳定时，产生电动势相等，回路中无感应电流，不受安培力。

(2)稳定时，va＝vb，由动量定理

对ad棒：－BLt＝mva－mv0　

对bc棒：BLt＝2mvb－0

得va＝vb＝v0

(3)对系统应用能量守恒定律

Q总＝mv02－mva2－×2mvb2

由公式Q＝I2Rt得：＝＝

则Qa＝mv02。

[一题悟通]

例题及相关延伸思考旨在让考生掌握利用动量、能量的观点解决电磁感应问题，会根据相关条件分析双杆切割磁感线运动问题，会用“三大力学观点”解决此类问题。

考法(三)　三大观点的综合应用

[例3]　如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求：

(1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小；

(2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为多大？

(3)两棒之间距离增长量x的上限。

[解析]　(1)设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v′，由动量守恒定律得

mv0＝0.8mv0＋mv′①

解得：v′＝0.2v0

此时回路的电流是I＝②

cd棒的加速度为a＝③

解得：a＝。

(2)设两棒稳定时共同的末速度为v，据动量守恒定律得

mv0＝(m＋m)v④

解得：v＝v0⑤

由能量守恒定律得，最终稳定后电路中产生的电能为

Q＝mv02－(m＋m)v2＝mv02。

(3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势

E＝＝⑥

这段时间内回路的电流为＝⑦

对cd棒由动量定理得：－BlΔt＝mv－mv0⑧

由⑤～⑧解得Δx＝。⑨

[答案]　(1)　(2)mv02　(3)

“融会贯通”归纳好——“杆＋导轨＋电阻”四种模型剖析

1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：

(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；

(2)上述过程中，杆上产生的热量。

解析：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv，回路中的感应电流I＝

杆所受的安培力F＝BIL

根据牛顿第二定律有mgsin θ－＝ma

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsin θ，方向沿导轨平面向下

当杆的加速度a＝0时，速度最大，

最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsin θ＝Q总＋mvm2

又Q杆＝Q总

所以Q杆＝mgxsin θ－。

答案：(1)gsin θ　　(2)mgxsin θ－

2．如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：

(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；

(2)导体棒匀速运动的速度大小v；

(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。

解析：(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡，有

mgsin θ＝μmgcos θ

解得μ＝tan θ。

(2)在光滑导轨上

感应电动势E＝BLv

感应电流I＝

安培力F安＝BIL

导体棒受力平衡有F安＝mgsin θ

联立解得v＝。

(3)摩擦生热Q′＝μmgdcos θ

由能量守恒定律有3mgdsin θ＝Q＋Q′＋mv2

联立解得Q＝2mgdsin θ－。

答案：(1)tan θ　(2)

(3)2mgdsin θ－

“杆＋导轨＋电阻”模型是电磁感应中的常见模型，选择题和计算题均有考查。该模型以单杆或双杆在导体轨道上做切割磁感线运动为情景，综合考查电路、动力学、功能关系等知识。在处理该模型时，要以导体杆切割磁感线的速度为主线，由楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系。