2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十章算法、复数、统计、概率、推理与证明第65讲

第65讲　古典概型、几何概型及互斥事件
考试要求　1.随机事件与概率、互斥事件及其发生概率、几何概型(A级要求)、古典概型(B级要求)；2.高考中对本讲的考查重点是以古典概型、几何概型为主，考查的难度较容易.

诊 断 自 测
1.已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________.
解析　从5本书中取出2本书，基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为.
答案　
2.(2016·北京卷改编)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________.
解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
答案　
3.(2015·全国Ⅰ卷改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________.
解析　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.
答案　
4.(2015·山东卷改编)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________.
解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
∴0≤x≤.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P＝＝.
答案　
5.(必修3P115练习1改编)抛掷一枚质地均匀骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________.
解析　事件A＋表示出现的点数为2，4，5，6，
所以P＝＝.
答案　
6.(2018·南通模拟)一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________.
解析　如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P＝＝＝.

答案　
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的.
3.如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
5.几何概型的概念
设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.
6.几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
7.互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件.
(3)互斥事件的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(4)对立事件的概率
事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.

考点一　古典概型的求法
【例1】 做抛掷两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和大于10”.
解　(1)这个试验的基本事件为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).
规律方法　(1)在列举基本事件空间时，可以利用画树状图等方法，以防遗漏，列举时要按一定顺序列举. (2)古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.
【训练1】 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球只有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以每次每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故每次摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
考点二　几何概型的求法
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________.
(2)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM