2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练:第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (含解析)
展开第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
解析 ∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.
答案 C
2.某校举行乒乓球赛,采用单淘汰制,要从20名选手中决出冠军,应进行比赛的场数为( )
A.18 B.19 C.20 D.21
解析 因为每一场比赛都有一名选手被淘汰,即一场比赛对应一个失败者,要决出冠军,就要淘汰19名选手,故应进行19场比赛.
答案 B
3.(2016·济南质检)有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式( )
A.24 B.14 C.10 D.9
解析 第一类:一件衬衣,一件裙子搭配一套服装有4×3=12种方式,
第二类:选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.
∴由分类加法计数原理,共有12+2=14(种)选择方式.
答案 B
4.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为( )
A.20 B.25 C.32 D.60
解析 依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=32.
答案 C
5.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9 B.14 C.15 D.21
解析 当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个).
当x≠2时,由P⊆Q,∴x=y.
∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.
因此满足条件的点共有7+7=14(个).
答案 B
6.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法的种数为( )
A.3 B.5 C.9 D.12
解析 只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类加法计数原理得,共有3+5+1=9(种).
答案 C
7.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有( )
A.32个 B.34个 C.36个 D.38个
解析 将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C=2种,共有2×2×2×2×2=32个.故选A.
答案 A
8.(2016·全国Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
解析 由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.
答案 B
二、填空题
9.(2017·西安质检)如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个(用数字作答).
解析 当相同的数字不是1时,有C个;当相同的数字是1时,共有CC个,
由分类加法计数原理知共有“好数”C+CC=12(个).
答案 12
10.如图所示,在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:
第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个).
第二类,有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).
答案 40
11.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法(用数字作答).
解析 区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色方法.
答案 260
12.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加),
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限,则有________种不同的报名方法;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,则有________种不同的报名方法;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限,则有________种不同的报名方法(用数字作答).
解析 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,
知共有报名方法36=729(种).
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120(种).
(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216(种).
答案 (1)729 (2)120 (3)216
13.(2017·衡水调研)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
解析 0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),∴有重复数字的三位数有900-648=252(个).
答案 B
14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )
A.24对 B.30对
C.48对 D.60对
解析 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条,故共有8对.正方体的12条面对角线共有12×8=96(对),且每对均重复计算一次,故共有=48(对).
答案 C
15.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种(用数字作答).
解析 根据题意,从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有6种选法;参观完第一个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有4种选法;参观完第二个景点,参观
第三个景点时,有2个路口可以选择,从中任取一个,有2种选法.由分步乘法计数原理知共有6×4×2=48种不同游览线路.
答案 48
16.(2016·广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.
则(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.
解析 (1)4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,中间两位一样,有10种填法,
共计9×10=90(种)填法,即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.
结合计数原理,知有9×10n种填法.
答案 (1)90 (2)9×10n