广西南宁市第三中学2020届高三数学（理科）考试卷一试题

南宁三中2020届高三（考试一）理科数学试题命题人：高三数学备课组  审题人：高三数学备课组注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合.）1.已知集合，，则（   ）A. B. C. D.2.已知，则复数（    ）A. B.2 C. D.3.已知，则（    ）A. B. C. D.4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A. B. C. D.5.已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为（    ）A.4 B.5 C.6 D.76.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则（    ）A.2 B.3 C.-2 D.-37.函数的图象可能是（    ）A. B. C. D.8.已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）A.-2 B.2 C.5 D.69.已知的三边长为、、，且满足条件，则（    ）A. B. C. D.10.已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（    ）A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（    ）A. B. C. D.12.已知函数是单调函数，对任意，都有，则的值为（    ）A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，若与互垂直，则实数__________.14.若变量、满足约束条件，则的最大值为__________.15.在三棱锥中，，，两两相互垂直， ，则此三棱锥内切球的半径为__________.16.已知抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，弦长为2，则线段的中垂线与轴交点的横坐标为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和.18.（12分）通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 男女总计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828（1）由以上列联表判断，能否在犯借误的概率不超过0.005的前提下认为性别和是否读营养说明有关系呢？（2）从被询问的28名不读营养说明的大学生中随机选取2名学生，求抽到女生人数5的分布列及其数学期望.19.（12分）在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20.（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）求由，，，四点构成的四边形面积的取值范围.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直线与曲线相交于不同的两点， ，求的值.23.（选修4-5：不等式选讲）（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.南宁三中2020届高三（考试一）理科数学参考答案选择题答案题号123456789101112答案DABCDAACDBCA填空题答案13.-1     14.8     15.（）    16.各题解析12.【解析】∵是单调函数，∴（常数），∴，又，∴，∴，∴，∴，∴，∴.故选A.16.【解析】设，，∴，又，∴，∴，中垂线为：，，∴时，也有.17.【解析】（1）∵①∴，②①-②得，则，在①式中，令，得.∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.（2）.所以③则④③-④得，∴.18.【解析】（1）由计算可得的观测值为，因为，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.（2）的取值为0，1，2.∴的分布列为：，，.012∴的数学期望.19.【解析】（1）证明：连接交于，并连接， ，∵， ，为中点，∴，且，∴四边形为平行四边形∴为中点，又为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）（法一）由为正方形可得，∴.取中点，连，， ，∵侧面底面，且交于，，∴面，又，∴为二面角的平面角.又∵，，，∴，所以二面角的余弦值为.（法二）由题意可知面， ，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系.则，，，.平面法向量可取：平面中，设法向量为，则，取，，所以二面角的余弦值为.20.【解析】（1）由题象知，则，，∴.所以，所以椭圆的方程为.（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，且设直线的方程为，则直线的方程为.将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以，同理.所以，由，当且仅当时取等号.∴，综合①与②可知，.21.【解析】（1）∵，∴，，∵，∴，①当时，，在上单调递增；②当时，，∴在上单调递减；∴在，上单调递增.（2）①当时，由（1）知在上单调递增；即有：，，从而可得：，，∴.②当时，由（1）知在上单调递减；∴，，即有：，，从而可得：，，∴，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.22.【解析】（1）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，又将曲线的极坐标方程化为，∴曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入中，得，得，此方程的两根为直线与曲线的交点，对应的参数，得，，∴由直线参数的几何意义，知.23.【解析】（1）∵，∴，当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）因为，且的解集不是空集，所以，即的取值范围是.