北师大版2020-2021学年第一学期九年级数学期末模拟卷 含答案及解析

北师大版2020-2021学年第一学期九年级数学期末模拟卷
考查范围：九（上）全册 满分120分 时间90分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列所述几何体中，主视图、左视图和俯视图都是正方形的几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体
2．如果﹣1是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2
3．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝4，则＝（　　）

A． B． C． D．
4．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（　　）

A．掷一枚骰子，出现4点的概率
B．抛一枚硬币，出现反面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率
5．下列关于x的一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+5x﹣1＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．2x2+6x+3＝0 D．x2+2x+2＝0
6．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB＝240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（　　）

A．50 B．60 C．70 D．80
7．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1<
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
8．如图，A，B是函数的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（　　）

A．S＝1 B．S＝2 C．1＜S＜2 D．S＞2
9．已知a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，若＝＝＝k，则k＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）

A．3 B．6 C．6 D．9
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．若关于x的方程（a﹣1）x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
12．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：3，则△ABC与△DEF的相似比为　 　．
13．2020年3月12日是我国第42个植树节，某林业部门要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如表：
幼树移植数（棵）
100
2500
4000
8000
20000
30000
幼树移植成活数（棵）
87
2215
3520
7056
17580
26430
幼树移植成活的频率
0.870
0.886
0.880
0.882
0.879
0.881
请根据统计数据，估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是　 　．（结果精确到0.01）
14．若A（7，y1），B（5，y2），都是反比例函数y＝的图象上的点，则y1　 　y2（填“＜”、”﹣”或”＞”）．
15．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k的值为　 　．
16．如图，一次函数的图象y＝﹣x+b与反比例函数的图象y＝交于A（2，﹣4），B（m，2）两点．当x满足条件　 　时，一次函数的值大于反比例函数值．

17．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2个正方形A1B1C1C的面积为　 　；第n个正方形的面积为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）解一元二次方程：2x2﹣5x+3＝0．




19．（6分）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．


20．（6分）有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个球号码之和等于5的概率．



21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．


22．（8分）“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．
（2）2020年该市计划保持相同的年平均増长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？


23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．
（1）分别求m、n的值；
（2）连接OD，求△ADO的面积．





24．（10分）如图1，直线y＝2x﹣2与曲线y＝（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF＝k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．



25．（10分）如图，直线l：y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，AC⊥x轴，BC⊥y轴．如果点E由点O出发沿OA方向向点A匀速运动，同时点D由点C出发沿CB方向向点B匀速运动，它们的速度分别为每秒2个单位长度和每秒1个单位长度．DF⊥OA，分别交AB、OA于点P和F，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）求线段AB的长；
（2）连接DE与AB交于点Q，当t为何值时，DE⊥AB？
（3）连接EP，当△EPA的面积为3时，求t的值．


















参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．正立的圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
B．正立的圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
C．正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；
D．长方体的主视图、左视图、俯视图中至少有两个是矩形，不符合题意；
故选：C．
2．解：∵﹣1是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k＝0，解得k＝﹣4，
故选：A．
3．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
故选：D．
4．解：A、掷一枚骰子，出现4点的概率为；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；
C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；
D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．
故选：C．
5．解：A、△＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，方程有两个相等的实数根；
C、△＝62﹣4×2×3＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
D、△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根．
故选：D．
6．解：过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC﹣x），
则240：150＝160：（160﹣x），
解得：x＝60．
答：投射在墙上的影子DE长度为60cm．
故选：B．

7．解：A、∵当x＝﹣1时，y＝﹣1，∴此函数图象过点（﹣1，﹣1），故本选项正确；
B、∵k＝1＞0，∴此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、∵当x＝1时，y＝1，∴当x＞1时，0＜y＜1，故本选项正确；
D、∵k＝1＞0，∴当x＜0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误．
故选：D．
8．解：设点A的坐标为（x，y），点A在反比例函数解析式上，
∴点B的坐标为（﹣x，﹣y），k＝xy＝1
∵AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴△ABC的直角三角形，
∴AC＝2y，BC＝2x，
∴S＝×2y×2x＝2xy＝2．
故选：B．
9．解：由若＝＝＝k，得
2b+c＝ak，2c+a＝bk，2a+b＝ck，
三式相加，得3（a+b+c）＝k（a+b+c）
由于a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，
所以k＝＝3．
故选：D．
10．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，
过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．

∵AE＝CG，BE＝BE′，
∴E′G′＝AB＝3，
∵GG′＝AD＝6，
∴E′G＝＝＝3，
∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝6．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：因为△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：3，
所以△ABC与△DEF的相似比为：1：．
故答案为：1：．
13．解：∵根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.88左右，
∴这种幼树在此条件下移植成活的概率是0.88；
故答案为：0.88．
14．解：∵反比例函数y＝中k＝2＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵7＞5，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
15．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，
∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，
解得k≥6﹣8或k≤﹣6﹣8．
设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则
x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，
解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故答案是：3．
16．解：∵反比例函数的图象y＝经过A（2，﹣4），B（m，2）两点，
∴a＝2×（﹣4）＝2m，
解得m＝﹣4
∴点B（﹣4，2），
∴由函数的图象可知，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值，
故答案为x＜﹣4或0＜x＜2．
17．解：∵∠DAO+∠BAA1＝90°，∠BAA1+∠BA1A＝90°，
∴∠DAO＝∠BA1A，
又∵∠DOA＝∠ABA1，
∴△OAD∽△BA1A，
∴＝，
∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA＝2，DO＝4，
∴＝＝，
在Rt△AOD中，AD＝＝2，
∴AB＝2，
∴BA1＝，
同理可证：＝，…
∴第1个正方形ABCD的边长2，
第2个正方形的边长为2×，
第3个正方形的边长为2×，
…
第n个正方形的边长为2×，
∴第2个正方形A1B1C1C的面积为＝45．
第n个正方形的面积为＝20×＝．
故答案为：45；．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5．
19．证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
20．解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：

从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）设两个球号码之和等于5为事件 A，
摸出的两个球号码之和等于5的结果有2种，
∴出的两个球号码之和等于5的概率为＝．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
在△AGE和△BGF中，，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，
∴AE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
22．解：（1）设年平均增长率为x
5（1+x）2＝7.2
解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2
∴x＝0.2＝20%
答：年平均增长率为20%．
（2）7.2×（1+20%）＝8.64（亿元）＝86400（万元）
86400÷3＝28800（户）
答：2020年能帮助28800户建设保障性住房．
23．解：（1）∵反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C（1，8），
∴8＝，
∴m＝8，
∴函数解析式为y＝，
将D（4，n）代入y＝得，n＝＝2．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意得 ，
解得 ，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+10，
令x＝0，则y＝10，
∴A（0，10），
∴△ADO的面积＝＝20．
24．解：（1）∵直线y＝2x﹣2经过点A（2，n），
∴n＝2×2﹣2＝2，即A的坐标是（2，2），
把（2，2）代入y＝得m＝4，
则反比例函数的解析式是y＝（x＞0）；
（2）过A作AM⊥x轴于点M．
在y＝2x﹣2中，令x＝0解得y＝﹣2，则C的坐标是（0，﹣2），令y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1，则B的坐标是（1，0）；
则AB＝＝＝，
BC＝＝＝，
则AB•AC＝×2＝10；
（3）存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB＝∠DNF＝∠DGE＝90°，
设D的坐标是（a，），则EG＝a，DN＝，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM＝∠DFN＝∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴＝，有DF：＝，则DF＝，
又＝，有＝，则ED＝a，
于是，DE•DF＝a•＝10．
即存在常数k＝10．

25．解：（1）∵y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，6），点A（8，0），
∴AB＝＝10；
（2）∵AC⊥x轴，BC⊥y轴，DF⊥OA，
∴四边形ACDF是矩形，
∴AC＝DF＝6，
由题意可得OE＝2t，CD＝t，
∴AF＝t，AE＝OA﹣OE＝8﹣2t，BD＝8﹣t，
∴EF＝8﹣3t，
∵DE⊥AB，
∴∠QEA+∠QAE＝90°，
又∵∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠EDF＝∠QAE，
且∠DFE＝∠BOA＝90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴，
∴，
∴t＝；
（3）∵tan∠BAO＝tan∠PAF，
∴，
∴，
∴PF＝t，
∵△EPA的面积为3，
∴3＝（8﹣2t）×t＝3，
∴t＝2．