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2021高考物理沪科版新课程一轮复习关键能力·题型突破9.3 带电粒子在复合场中的运动
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关键能力·题型突破
考点一 带电粒子在组合场中的运动
电场+磁场
【典例1】(2020·长沙模拟)如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，射入水平放置、电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为(不计重力，不考虑边缘效应) ( )
世纪金榜导学号
A.d随U1变化，d与U2无关
B.d与U1无关，d随U2变化
C.d随U1变化，d随U2变化
D.d与U1无关，d与U2无关
【解析】选A。带电粒子在电场中做类平抛运动，可将射出电场的粒子速度v分解成初速度方向与加速度方向，设出射速度与水平方向夹角为θ，则有：=
cos θ，而在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对应的半径为R，由几何关系得，半径与直线MN夹角正好等于θ，则有：=cos θ，所以d=，又因为半径公式R=，则有d==。故d随U1变化，d与U2无关，故A正确；B、C、D错误。
【多维训练】(2018·全国卷Ⅱ)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹。
(2)求该粒子从M点射入时速度的大小。
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。
【解析】(1)粒子运动的轨迹如图甲所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)
(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ(见图乙)，速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有
qE=ma ①
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量。由运动学公式有v1=at ②
l′=v0t ③
v1=vcos θ ④
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB=m ⑤
由几何关系得l=2Rcos θ ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v0= ⑦
(3)由运动学公式和题中所给数据得
v1=v0cot ⑧
联立①②③⑦⑧式得
= ⑨
设粒子由M点运动到N点所用的时间为t′，则
t′=2t+T ⑩
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T=
由③⑦⑨⑩式得
t′=
答案：(1)图见解析 (2)
(3)
磁场+电场
【典例2】如图所示，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限磁场的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁场的磁感应强度大小相等。一带正电的粒子从P(-d，0)点沿与x轴正方向成α=60°角的方向平行于xOy平面入射，经第二象限后恰好由y轴上的Q点(图中未画出)垂直于y轴进入第一象限，之后经第三、四象限重新回到P点，回到P点时速度方向与入射时的方向相同，不计粒子重力，求： 世纪金榜导学号
(1)粒子从P点入射时的速度v0；
(2)第三、四象限磁感应强度的大小B′。
【通型通法】
1.题型特征：磁场+电场+磁场。
2.思维导引：
【解析】(1)粒子从P点射入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹如图所示，设粒子在第二象限中做圆周运动的半径为r，由几何知识得r===
根据qv0B=m得v0=
粒子在第一象限中做类平抛运动，则有r(1-cos α)=t2，tan α==
联立解得v0=
(2)设粒子在第一象限中做类平抛运动的水平位移和竖直位移分别为x和y，根据粒子在第三、四象限中做圆周运动的对称性可知，粒子刚进入第四象限时速度与x轴正方向的夹角等于α。
由x=v0t，y=t
得===
由几何知识可得
y=r-rcos α=r=d
则x=d
所以粒子在第三、四象限中做圆周运动的半径为
R==d
粒子进入第四、三象限运动的速度
v==2v0=
根据qvB′=m
解得B′=2.4B
答案：(1) (2)2.4B
磁场+电场+磁场
【典例3】(2019·聊城模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域右侧有一宽度也为R的足够长区域Ⅱ，区域Ⅱ内有方向向左的匀强电场，区域Ⅱ左右边界CD、FG与电场垂直，区域Ⅰ边界上过A点的切线与电场线平行且与FG交于G点，FG右侧为方向向外、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域Ⅲ。在FG延长线上距G点为R处的M点放置一足够长的荧光屏MN，荧光屏与FG成θ=53°角，在A点处有一个粒子源，能沿纸面向区域内各个方向均匀地发射大量质量为m、带电荷量为+q且速率相同的粒子，其中沿AO方向射入磁场的粒子，恰能沿平行于电场方向进入区域Ⅱ并垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)求： 世纪金榜导学号
(1)粒子初速度大小v0；
(2)电场的电场强度大小E；
(3)荧光屏上的发光区域长度Δx。
【解析】(1)如图所示，
分析可知，粒子在区域Ⅰ中的运动半径r1=R
由qv0B1=m得v0=；
(2)因粒子垂直打在荧光屏上，由题意可知，在区域Ⅲ中的运动半径为r2=2R
由qvB2=m得：v=
粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得：
-qER=mv2-m
解得：E=(-4)；
(3)如图分析可知，
速度方向与电场方向平行向左射入区域Ⅰ中的粒子将平行电场方向从区域Ⅰ中最高点穿出，打在离M点x1处的屏上，由几何关系得：
(x1cos θ+R)2+(x1sin θ)2=4R2
解得：x1=R
速度方向与电场方向平行向右射入区域Ⅰ中的粒子将沿平行电场方向从区域Ⅰ中的最低点穿出打在离M点x2处的屏上，由几何关系得：
(x2cos θ-R)2+(x2sin θ)2=4R2
解得：x2=R
分析可知所有粒子均未平行于FG方向打在板上，因此荧光屏上的发光区域长度为Δx=x2-x1
解得：Δx=1.2R。
答案：(1) (2) (3)1.2R
带电粒子在组合场中的运动
1.是否考虑粒子重力的三种情况：
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重力。
2.基本思路：
3.“电偏转”和“磁偏转”的比较：
项目
垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力
情况
电场力F=qE，其大小、方向不变，与速度v无关，F是恒力
洛伦兹力F洛=qvB，其大小不变，
方向随v而改变，F洛是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动
轨迹
求解
方法
利用类平抛运动的规律求解：vx=v0，
x=v0t
vy=·t，
y=··t2
偏转角φ：
tan φ==
半径r=
周期T=
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几
何关系，利用圆周运动规律讨论求解
运动
时间
t=
t=T，T=
动能
变化
不变
【加固训练】
如图所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子从y轴上的a(0，h)点沿y轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°进入电场，经过y轴的b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v1；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间t0。
【解析】(1)根据题意可大体画出粒子在组合场中的运动轨迹如图所示，由几何关系得
rcos 45°=h
可得r=h
又qv1B=
可得v1==。
(2)设粒子第一次经过x轴的位置为x1，到达b点时速度大小为vb，结合类平抛运动规律，有vb=v1cos 45° 得vb=
设粒子进入电场经过时间t运动到b点，b点的纵坐标为-yb
结合类平抛运动规律得r+rsin 45°=vbt
yb=(v1sin 45°+0)t=h
由动能定理有-qEyb=m-m
解得E=。
(3)粒子在磁场中的周期为T==
第一次经过x轴的时间t1=T=
在电场中运动的时间t2=2t=
在第二次经过x轴到第三次经过x轴的时间
t3=T=
所以总时间t0=t1+t2+t3=。
答案：(1)h (2)
(3)
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
无约束条件
类型1 直线运动
【典例4】如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=
5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1.0×10-6 kg，电荷量q=2×10-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10 m/s2。求： 世纪金榜导学号
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向。
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB=
代入数据解得v=20 m/s
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ=
代入数据解得tan θ=得θ=60°
(2)解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有a=
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，
有x=vt
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，
有y=at2
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan θ=
联立上式并代入数据解得t=2 s=3.5 s
解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，他对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直向上做匀减速运动，其初速度为vy=vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上的分位移为零，则有vyt-gt2=0
联立上式代入数据解得t=2 s=3.5 s
答案：(1)20 m/s 速度v的方向与电场方向之间的夹角为60° (2)3.5 s
类型2 圆周运动
【典例5】如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。 世纪金榜导学号
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
【通型通法】
1.题型特征：带电粒子在复合场中做圆周运动。
2.思维导引：
(1)墨滴在电场区域受到重力和电场力。二力满足大小相等关系时，墨滴做匀速直线运动。
(2)进入磁场区域后，墨滴受到的合力等于洛伦兹力，因此做匀速圆周运动。
(3)墨滴垂直打到M点时，圆周半径为d。
【解析】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q=mg ①
由①式得q= ②
由于电场方向向下，电荷所受静电力方向向上，可知墨滴带负电荷。
(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，
有qv0B=m ③
考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径R=d ④
由②③④式得B=。 ⑤
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为R′，
有qv0B′=m ⑥
由图示可得R′2=d2+ ⑦
解得R′=d ⑧
联立②⑥⑧式可得B′=。
答案：(1)负电荷 (2) (3)
类型3 复杂曲线运动
【典例6】如图甲所示，虚线MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)，以大小为v0的水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时(t=0)，在电场所在空间叠加如图乙所示。随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时的速度方向与PQ连线成60°角。已知D、Q间的距离为(+1)L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，重力加速度大小为g。 世纪金榜导学号
(1)求电场强度E的大小；
(2)求t0与t1的比值；
(3)小球过D点后将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求此时磁感应强度的大小B0及运动的最大周期Tm。
【通型通法】
1.题型特征：在叠加场的复杂曲线运动。
2.思维导引：
题中信息
吹“沙”见“金”
沿PQ向右做直线运动
小球受力平衡，通过平衡条件，可求出电场强度的大小
小球再次通过D点速度与PQ成60°角
画出运动轨迹，找出直线运动位移大小与匀速圆周运动轨迹半径的关系
求运动的最大周期
当小球运动轨迹最长，圆弧轨迹与MN相切时小球运动周期最大
【解析】(1)小球沿PQ向右做直线运动，受力平衡，则
mg=Eq，
解得E=。
(2)小球能再次通过D点，其运动轨迹应如图(a)所示。
设小球做匀速圆周运动的轨迹半径为r，则由几何关系有s=
又知s=v0t1
圆弧轨迹所对的圆心角
θ=2π-=π
则t0=
联立解得=π。
(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，小球运动一个周期的轨迹如图(b)所示，
由几何关系得
R+=(+1)L
解得R=L
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv0B0=m
解得B0=
小球在一个周期内运动的路程
s1=3××2πR+6×=(4π+6)L
故Tm==。
答案：(1) (2)π (3)
有约束条件
【典例7】如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里。纸面内有两个半径不同的半圆在b点平滑连接后构成一绝缘光滑环。一带电小球套在环上从a点开始运动，发现其速率保持不变。则小球 ( )
世纪金榜导学号
A.带负电
B.受到的洛伦兹力大小不变
C.运动过程的加速度大小保持不变
D.光滑环对小球始终没有作用力
【解析】选B。小球速率不变，则做匀速圆周运动，可知所受的电场力和重力平衡，所以小球受向上的电场力，则小球带正电，选项A错误；小球的速率不变，根据F洛=Bqv可知受到的洛伦兹力大小不变，选项B正确；因小球在不同的圆环中运动的半径不同，根据a=可知，小球从小圆环过渡到大圆环的过程中加速度变小，选项C错误；小球从小圆环过渡到大圆环的过程中，加速度减小，根据FN+qvB=ma可知光滑环对小球的作用力发生变化，且作用力不可能总是零，选项D错误；故选B。
1.带电粒子在复合场中运动的解题思路：
2.带电粒子在叠加场中运动的处理思路：
(1)带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类。
①磁场力、重力并存。
a.若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
b.若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
②电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)。
a.若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
b.若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
③电场力、磁场力、重力并存。
a.若三力平衡，一定做匀速直线运动。
b.若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
c.若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题。
(2)带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动。
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
【加固训练】
(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 ( )
A.ma>mb>mc B.mb>ma>mc
C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma
【解析】选B。设电场强度为E、磁感应强度为B、三个微粒的带电量均为q，它们受到的电场力Eq方向均竖直向上。微粒a在纸面内做匀速圆周运动，有Eq = mag ；b在纸面内向右做匀速直线运动，有Eq +Bqvb = mbg ；c在纸面内向左做匀速直线运动，有Eq -Bqvc = mcg；可得：mb > ma > mc 。
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关键能力·题型突破
考点一 带电粒子在组合场中的运动
电场+磁场
【典例1】(2020·长沙模拟)如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，射入水平放置、电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为(不计重力，不考虑边缘效应) ( )
世纪金榜导学号
A.d随U1变化，d与U2无关
B.d与U1无关，d随U2变化
C.d随U1变化，d随U2变化
D.d与U1无关，d与U2无关
【解析】选A。带电粒子在电场中做类平抛运动，可将射出电场的粒子速度v分解成初速度方向与加速度方向，设出射速度与水平方向夹角为θ，则有：=
cos θ，而在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对应的半径为R，由几何关系得，半径与直线MN夹角正好等于θ，则有：=cos θ，所以d=，又因为半径公式R=，则有d==。故d随U1变化，d与U2无关，故A正确；B、C、D错误。
【多维训练】(2018·全国卷Ⅱ)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹。
(2)求该粒子从M点射入时速度的大小。
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。
【解析】(1)粒子运动的轨迹如图甲所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)
(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ(见图乙)，速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有
qE=ma ①
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量。由运动学公式有v1=at ②
l′=v0t ③
v1=vcos θ ④
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB=m ⑤
由几何关系得l=2Rcos θ ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v0= ⑦
(3)由运动学公式和题中所给数据得
v1=v0cot ⑧
联立①②③⑦⑧式得
= ⑨
设粒子由M点运动到N点所用的时间为t′，则
t′=2t+T ⑩
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T=
由③⑦⑨⑩式得
t′=
答案：(1)图见解析 (2)
(3)
磁场+电场
【典例2】如图所示，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限磁场的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁场的磁感应强度大小相等。一带正电的粒子从P(-d，0)点沿与x轴正方向成α=60°角的方向平行于xOy平面入射，经第二象限后恰好由y轴上的Q点(图中未画出)垂直于y轴进入第一象限，之后经第三、四象限重新回到P点，回到P点时速度方向与入射时的方向相同，不计粒子重力，求： 世纪金榜导学号
(1)粒子从P点入射时的速度v0；
(2)第三、四象限磁感应强度的大小B′。
【通型通法】
1.题型特征：磁场+电场+磁场。
2.思维导引：
【解析】(1)粒子从P点射入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹如图所示，设粒子在第二象限中做圆周运动的半径为r，由几何知识得r===
根据qv0B=m得v0=
粒子在第一象限中做类平抛运动，则有r(1-cos α)=t2，tan α==
联立解得v0=
(2)设粒子在第一象限中做类平抛运动的水平位移和竖直位移分别为x和y，根据粒子在第三、四象限中做圆周运动的对称性可知，粒子刚进入第四象限时速度与x轴正方向的夹角等于α。
由x=v0t，y=t
得===
由几何知识可得
y=r-rcos α=r=d
则x=d
所以粒子在第三、四象限中做圆周运动的半径为
R==d
粒子进入第四、三象限运动的速度
v==2v0=
根据qvB′=m
解得B′=2.4B
答案：(1) (2)2.4B
磁场+电场+磁场
【典例3】(2019·聊城模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域右侧有一宽度也为R的足够长区域Ⅱ，区域Ⅱ内有方向向左的匀强电场，区域Ⅱ左右边界CD、FG与电场垂直，区域Ⅰ边界上过A点的切线与电场线平行且与FG交于G点，FG右侧为方向向外、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域Ⅲ。在FG延长线上距G点为R处的M点放置一足够长的荧光屏MN，荧光屏与FG成θ=53°角，在A点处有一个粒子源，能沿纸面向区域内各个方向均匀地发射大量质量为m、带电荷量为+q且速率相同的粒子，其中沿AO方向射入磁场的粒子，恰能沿平行于电场方向进入区域Ⅱ并垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)求： 世纪金榜导学号
(1)粒子初速度大小v0；
(2)电场的电场强度大小E；
(3)荧光屏上的发光区域长度Δx。
【解析】(1)如图所示，
分析可知，粒子在区域Ⅰ中的运动半径r1=R
由qv0B1=m得v0=；
(2)因粒子垂直打在荧光屏上，由题意可知，在区域Ⅲ中的运动半径为r2=2R
由qvB2=m得：v=
粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得：
-qER=mv2-m
解得：E=(-4)；
(3)如图分析可知，
速度方向与电场方向平行向左射入区域Ⅰ中的粒子将平行电场方向从区域Ⅰ中最高点穿出，打在离M点x1处的屏上，由几何关系得：
(x1cos θ+R)2+(x1sin θ)2=4R2
解得：x1=R
速度方向与电场方向平行向右射入区域Ⅰ中的粒子将沿平行电场方向从区域Ⅰ中的最低点穿出打在离M点x2处的屏上，由几何关系得：
(x2cos θ-R)2+(x2sin θ)2=4R2
解得：x2=R
分析可知所有粒子均未平行于FG方向打在板上，因此荧光屏上的发光区域长度为Δx=x2-x1
解得：Δx=1.2R。
答案：(1) (2) (3)1.2R
带电粒子在组合场中的运动
1.是否考虑粒子重力的三种情况：
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重力。
2.基本思路：
3.“电偏转”和“磁偏转”的比较：
项目
垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力
情况
电场力F=qE，其大小、方向不变，与速度v无关，F是恒力
洛伦兹力F洛=qvB，其大小不变，
方向随v而改变，F洛是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动
轨迹
求解
方法
利用类平抛运动的规律求解：vx=v0，
x=v0t
vy=·t，
y=··t2
偏转角φ：
tan φ==
半径r=
周期T=
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几
何关系，利用圆周运动规律讨论求解
运动
时间
t=
t=T，T=
动能
变化
不变
【加固训练】
如图所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子从y轴上的a(0，h)点沿y轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°进入电场，经过y轴的b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v1；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间t0。
【解析】(1)根据题意可大体画出粒子在组合场中的运动轨迹如图所示，由几何关系得
rcos 45°=h
可得r=h
又qv1B=
可得v1==。
(2)设粒子第一次经过x轴的位置为x1，到达b点时速度大小为vb，结合类平抛运动规律，有vb=v1cos 45° 得vb=
设粒子进入电场经过时间t运动到b点，b点的纵坐标为-yb
结合类平抛运动规律得r+rsin 45°=vbt
yb=(v1sin 45°+0)t=h
由动能定理有-qEyb=m-m
解得E=。
(3)粒子在磁场中的周期为T==
第一次经过x轴的时间t1=T=
在电场中运动的时间t2=2t=
在第二次经过x轴到第三次经过x轴的时间
t3=T=
所以总时间t0=t1+t2+t3=。
答案：(1)h (2)
(3)
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
无约束条件
类型1 直线运动
【典例4】如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=
5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1.0×10-6 kg，电荷量q=2×10-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10 m/s2。求： 世纪金榜导学号
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向。
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB=
代入数据解得v=20 m/s
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ=
代入数据解得tan θ=得θ=60°
(2)解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有a=
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，
有x=vt
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，
有y=at2
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan θ=
联立上式并代入数据解得t=2 s=3.5 s
解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，他对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直向上做匀减速运动，其初速度为vy=vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上的分位移为零，则有vyt-gt2=0
联立上式代入数据解得t=2 s=3.5 s
答案：(1)20 m/s 速度v的方向与电场方向之间的夹角为60° (2)3.5 s
类型2 圆周运动
【典例5】如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。 世纪金榜导学号
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
【通型通法】
1.题型特征：带电粒子在复合场中做圆周运动。
2.思维导引：
(1)墨滴在电场区域受到重力和电场力。二力满足大小相等关系时，墨滴做匀速直线运动。
(2)进入磁场区域后，墨滴受到的合力等于洛伦兹力，因此做匀速圆周运动。
(3)墨滴垂直打到M点时，圆周半径为d。
【解析】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q=mg ①
由①式得q= ②
由于电场方向向下，电荷所受静电力方向向上，可知墨滴带负电荷。
(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，
有qv0B=m ③
考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径R=d ④
由②③④式得B=。 ⑤
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为R′，
有qv0B′=m ⑥
由图示可得R′2=d2+ ⑦
解得R′=d ⑧
联立②⑥⑧式可得B′=。
答案：(1)负电荷 (2) (3)
类型3 复杂曲线运动
【典例6】如图甲所示，虚线MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)，以大小为v0的水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时(t=0)，在电场所在空间叠加如图乙所示。随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时的速度方向与PQ连线成60°角。已知D、Q间的距离为(+1)L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，重力加速度大小为g。 世纪金榜导学号
(1)求电场强度E的大小；
(2)求t0与t1的比值；
(3)小球过D点后将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求此时磁感应强度的大小B0及运动的最大周期Tm。
【通型通法】
1.题型特征：在叠加场的复杂曲线运动。
2.思维导引：
题中信息
吹“沙”见“金”
沿PQ向右做直线运动
小球受力平衡，通过平衡条件，可求出电场强度的大小
小球再次通过D点速度与PQ成60°角
画出运动轨迹，找出直线运动位移大小与匀速圆周运动轨迹半径的关系
求运动的最大周期
当小球运动轨迹最长，圆弧轨迹与MN相切时小球运动周期最大
【解析】(1)小球沿PQ向右做直线运动，受力平衡，则
mg=Eq，
解得E=。
(2)小球能再次通过D点，其运动轨迹应如图(a)所示。
设小球做匀速圆周运动的轨迹半径为r，则由几何关系有s=
又知s=v0t1
圆弧轨迹所对的圆心角
θ=2π-=π
则t0=
联立解得=π。
(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，小球运动一个周期的轨迹如图(b)所示，
由几何关系得
R+=(+1)L
解得R=L
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv0B0=m
解得B0=
小球在一个周期内运动的路程
s1=3××2πR+6×=(4π+6)L
故Tm==。
答案：(1) (2)π (3)
有约束条件
【典例7】如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里。纸面内有两个半径不同的半圆在b点平滑连接后构成一绝缘光滑环。一带电小球套在环上从a点开始运动，发现其速率保持不变。则小球 ( )
世纪金榜导学号
A.带负电
B.受到的洛伦兹力大小不变
C.运动过程的加速度大小保持不变
D.光滑环对小球始终没有作用力
【解析】选B。小球速率不变，则做匀速圆周运动，可知所受的电场力和重力平衡，所以小球受向上的电场力，则小球带正电，选项A错误；小球的速率不变，根据F洛=Bqv可知受到的洛伦兹力大小不变，选项B正确；因小球在不同的圆环中运动的半径不同，根据a=可知，小球从小圆环过渡到大圆环的过程中加速度变小，选项C错误；小球从小圆环过渡到大圆环的过程中，加速度减小，根据FN+qvB=ma可知光滑环对小球的作用力发生变化，且作用力不可能总是零，选项D错误；故选B。
1.带电粒子在复合场中运动的解题思路：
2.带电粒子在叠加场中运动的处理思路：
(1)带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类。
①磁场力、重力并存。
a.若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
b.若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
②电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)。
a.若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
b.若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
③电场力、磁场力、重力并存。
a.若三力平衡，一定做匀速直线运动。
b.若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
c.若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题。
(2)带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动。
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
【加固训练】
(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 ( )
A.ma>mb>mc B.mb>ma>mc
C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma
【解析】选B。设电场强度为E、磁感应强度为B、三个微粒的带电量均为q，它们受到的电场力Eq方向均竖直向上。微粒a在纸面内做匀速圆周运动，有Eq = mag ；b在纸面内向右做匀速直线运动，有Eq +Bqvb = mbg ；c在纸面内向左做匀速直线运动，有Eq -Bqvc = mcg；可得：mb > ma > mc 。
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