2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第11节第1课时导数与函数的单调性


第十一节　导数的应用
[考纲传真]　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．

1．导函数的符号和函数的单调性的关系
(1)如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≥0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；
(2)如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≤0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．
2．函数的极值与导数
(1)函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点．其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值和极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
(4)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)．
②求方程f′(x)＝0的根．
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值与导数
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．函数的最小值点也有类似的意义．
(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．
(3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．
(4)求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上是增加的，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0. (　　)
(2)函数的极大值不一定比极小值大． (　　)
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
(　　)
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上，f(x)是增加的
B．在区间(1,3)上f(x)是减少的
C．在区间(4,5)上f(x)是增加的
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
C　[结合原函数与导函数的关系可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，∴y＝f(x)在(4,5)上是增函数，故选C.]
3．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
D　[∵f′(x)＝－sin x－1，
∴当x∈(0，π)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数．]
4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D　[由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2，又当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，∴x＝2是f(x)的极小值点，即a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.]
第1课时　导数与函数的单调性

利用导数求函数的单调区间

【例1】　(1)函数y＝x2－ln x的递减区间为(　　)
A．(－1,1]　　　　　　 B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
①求a，b的值；
②求f(x)的单调区间．
(1)B　[∵y＝x2－ln x，
∴x∈(0，＋∞)，y′＝x－＝.
由y′≤0可解得0＜x≤1，
∴y＝x2－ln x的递减区间为(0,1]，故选 B．]
(2)[解]　①f′(x)＝ea－x－xea－x＋b，由切线方程可得解得a＝2，b＝e.
②f(x)＝xe2－x＋ex，f′(x)＝(1－x)e2－x＋e.
令g(x)＝(1－x)e2－x，
则g′(x)＝－e2－x－(1－x)e2－x＝e2－x(x－2)．
令g′(x)＝0得x＝2.
当x＜2时，g′(x)＜0，g(x)递减；
当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)递增．
所以x＝2时，g(x)取得极小值－1，也是最小值．
所以f′(x)＝g(x)＋e≥e－1＞0.
所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．
[规律方法]　1.掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的递增(减)区间．
2．理清有关函数单调区间的3个点
(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；
(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f′(x)＞0与f′(x)＜0这两个不等式的解集问题来处理；
(3)若可导函数f(x)在指定区间D上递增(减)，则应将其转化为f′(x)≥0(f′(x)≤0)来处理．
(1)(2019·北京模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
(2)(2019·威海模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是________．
(1)A　(2)(2，＋∞)　[(1)∵f′(x)＝2x－＝(x＞0)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
(2)函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.]
利用导数讨论函数的单调性

【例2】　设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解]　(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，
函数f(x)在(0，＋∞)上递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)递减；
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)递增；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，上递减，
在上递增．
[规律方法]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
(1)讨论分以下四个方面,①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，④根在不在定义域内讨论.
(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.
(3)讨论完必须写综述.
已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．
[解]　函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝.
①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)内递增．
②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内递增，在(－a,2)内递减．
③当－a＞2，即a＜－2时，
∵0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内递增，在(2，－a)内递减．
综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内递增，在(－a,2)内递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内递增，在(2，－a)内递减．
函数单调性的应用

►考法1　比较大小或解不等式
【例3】　(1)设函数f′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数，f(x)＝f(2π－x)，当0＜x＜π时，若f(x)sin x－f′(x)cos x＜0，a＝f，b＝0，c＝－f，则(　　)
A．a＜b＜c　　　　　　 B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
(2)(2019·山师大附中模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝e，任意x∈R,2f(x)－f′(x)＞0，则不等式f(x)＜e2x－1的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，e) D．(e，＋∞)
(1)A　(2)B　[(1)由f(x)＝f(2π－x)，得函数f(x)的图像关于直线x＝π对称，令g(x)＝f(x)cos x，则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，
所以当0＜x＜π时，g(x)在(0，π)内递增，
所以g＜g＜g＝g，即a＜b＜c，故选A.
(2)设F(x)＝，则F′(x)＝′＝.
因为2f(x)－f′(x)＞0，
所以F′(x)＝＜0，
即F(x)是减函数，
f(x)＜e2x－1等价于＜1，即F(x)＜1.
又因为f(1)＝e，
所以F(1)＝＝1，
则不等式f(x)＜e2x－1的解集是(1，＋∞)，故选 B．]
►考法2　求参数的取值范围
【例4】　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上递减，求a的取值范围．
[解]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，
即a＞－有解．
设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a＞－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1,4]上递减得，
当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，即a的取值范围是.
[母题探究]　(1)本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上递增，求a的取值范围．
(2)本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在递减区间，求a的取值范围．
[解]　(1)由h(x)在[1,4]上递增得，
当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，
∴当x∈[1,4]时，a≤－恒成立，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
∴a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
(2)h(x)在[1,4]上存在递减区间，
则h′(x)＜0在[1,4]上有解，
∴当x∈[1,4]时，a＞－有解，
又当x∈[1,4]时，min＝－1，
∴a＞－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．
[规律方法]　1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.
3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：

(1)(2019·武汉模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.
①当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
②是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
(1)D　[设g(x)＝，则g′(x)＝，
∵当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，
又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)，
∴g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，故c＜a＜ B．]
(2)[解]　①当a＝－1时，f(x)＝x2＋2ln x－3x，
则f′(x)＝x＋－3＝＝.
当0＜x＜1或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)递增；当1＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)递减．
∴f(x)的单调增区间为(0,1)与(2，＋∞)，减区间为(1,2)．
②假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上是增函数，
∴g′(x)＝f′(x)－a＝x－－2≥0恒成立．
即≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立．
∴x2－2x－2a≥0当x＞0时恒成立，
∴a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立．
又φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)的最小值为－.
∴当a≤－时，g′(x)≥0恒成立．
又当a＝－，g′(x)＝当且仅当x＝1时，g′(x)＝0.
故当a∈时，g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上递增．

1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．
C. D．
C　[取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具备在(－∞，＋∞)递增的条件，故排除A，B， D．故选C.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A　[设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)0时，f(x)>0,0