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2020年高考物理一轮复习文档：第15章选修3-4第66讲 学案
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第66讲 光的折射 全反射
考点一 光的折射
1．光的折射
光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向会改变，这种现象叫做光的折射。如图所示。
2．折射定律
(1)内容：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。
(2)表达式：＝n。
(3)在光的折射现象中，光路是可逆的。如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射。
3．折射率
(1)定义
光从真空射入某种介质发生折射时，入射角i的正弦与折射角r的正弦之比，用n表示。
(2)定义式：n＝。任何介质的折射率总大于1。
(3)意义：介质的折射率反映了介质对光的折射本领。
(4)折射率与光速的关系
某种介质的折射率，等于光在真空中的速度与光在这种介质中的速度之比，即n＝。
(5)决定折射率大小的因素：折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关。同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。
(6)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同。
1．关于折射率，下列说法正确的是( )
A．根据＝n可知，介质的折射率与入射角的正弦成正比
B．根据＝n可知，介质的折射率与折射角的正弦成反比
C．根据n＝可知，介质的折射率与介质中的光速成反比
D．同一频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率与波长成正比
答案 C
解析 介质的折射率n由介质本身及光的频率决定，与入射角、折射角无关，A、B错误；光在不同介质中光速不同，这正是光发生折射的原因，n与v成反比，C正确；把v＝λf代入n＝得n＝，即n与λ成反比，D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－4 P47·例题)如图所示，一个储油桶的底面直径与高均为d。当桶内没有油时，从某点A恰能看到桶底边缘的某点B。当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿AB方向看去，恰好看到桶底上的点C，C、B两点相距。求油的折射率和光在油中传播的速度。
[变式子题] 人站在距槽边D为L＝1.2 m处，刚好能看到槽底B的位置，人眼距地面的高度为H＝1.6 m。槽中注满某透明液体时，人刚好能看到槽底中央O点处。求液体的折射率及光在液体中的传播速度。
答案 1.71 1.75×108 m/s
解析 由题意作图如图所示，连接人眼与B点，延长CD作为法线，从图中可以看出，折射角θ2＝∠CDB。连接D与O点，则入射角θ1＝∠CDO。
因为sinθ2＝＝，
又因为sinθ1＝＝，
由sinθ2＝＝＝，得
BD＝OC，CD＝，
代入得CD＝OC，所以
sinθ1＝＝。
故液体的折射率n＝＝≈1.71，
光在液体中的速度为v＝≈1.75×108 m/s。
考点二 测定玻璃的折射率
1．实验原理
如图所示，用插针法确定入射角和折射角，根据n＝计算玻璃折射率。
2．实验器材
两侧面平行的玻璃砖、白纸、木板、大头针、图钉、量角器、刻度尺、铅笔。
3．实验步骤与数据处理
(1)把白纸用图钉钉在木板上。
(2)用刻度尺在纸面上作一条直线aa′，过aa′上一点O作垂直于aa′的线段NN′，再过O点作一条线段AO，并使∠NOA即θ1适当大些。
(3)在AO线上竖直地插两枚大头针P1、P2，并使间距适当大些，在白纸上沿直线aa′放上被测玻璃砖。
(4)沿玻璃砖的另一个侧面再作一条直线bb′。
(5)在玻璃砖的bb′一侧白纸上竖直地插一枚大头针P3，使P3恰好能同时挡住aa′一侧所插的大头针P2、P1的像。接着，在玻璃砖的bb′一侧再竖直地插一枚大头针P4，使P4能挡住P3本身以及P1、P2的像。
(6)标记下P1、P2、P3、P4的位置，移去玻璃砖，拔去大头针，过P3、P4作一条直线O′B，交bb′于O′点，连接OO′就是入射光线AO在玻璃砖内的折射光线，折射角为θ2。
(7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，记入表格内。
(8)用上述方法分别测出入射角是15°、30°、45°、60°和75°时的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，记入表格里。
(9)数据处理
①计算法：n＝，并取平均值。
②图象法：作出sinθ1sinθ2图象，如图甲所示，n＝k。
③辅助线段法：如图乙所示，作辅助线AB垂直于OB，量出A、O，作辅助线CD垂直于OD，量出C、O，则sinθ1＝，sinθ2＝，即可求出：n＝＝。
④“单位圆”法：以入射点O为圆心，以适当长度R为半径画圆，交入射光线OA于E点，交折射光线OO′于E′点，过E作NN′的垂线EH，过E′作NN′的垂线E′H′。如图丙所示，sinθ1＝，sinθ2＝，OE＝OE′＝R，则n＝＝。
4．注意事项与误差分析
(1)实验时，将大头针尽可能竖直地插在纸板上，并且使P1和P2之间、P3与P4之间距离适当大一些，这样可以减小确定光路方向时出现的误差。
(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角不宜太大，太大会导致反射光太强、折射光太弱，不易确定P3、P4的位置。
(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁光学面，更不能把玻璃砖当尺子画界线。
(4)在实验过程中，玻璃砖与白纸的相对位置不能改变。
在“测定玻璃的折射率”的实验中，
(1)小朱同学在实验桌上看到方木板上有一张白纸，白纸上有如图甲所示的实验器材，他认为除了缺刻度尺还少了一种器材，请你写出所缺器材的名称：________。老师将器材配齐后，他进行实验，图乙是他在操作过程中的一个状态，请你指出第四枚大头针应在图乙中的位置________(填“A”“B”或“C”)。
(2)小红利用方格坐标纸测定玻璃的折射率，如图丙所示，AO是画在纸上的直线，她在直线AO适当位置竖直插上P1、P2两枚大头针，放上半圆形玻璃砖，使其圆心与O重合，然后插上P3、P4两枚大头针，以确定折射光线。其中她确定P3大头针位置的方法应当是________。操作完成后，她用圆规作了一个以O为圆心、半径与玻璃砖半径相同的半圆(如图丙中虚线所示)，则她测出玻璃的折射率n＝________。
解析 (1)实验器材还缺少大头针；依据光的折射定律，及玻璃砖上下表面平行，那么出射光线与入射光线相互平行，因此第四枚大头针应在图乙中的位置B处。
(2)透过玻璃砖看，P3大头针挡住P1、P2两枚大头针的像；如图，作出法线，过圆与入射光线、折射光线的交点作法线的垂线CA′和DB，由数学知识得，入射角和折射角的正弦值分别为：sini＝，sinr＝，其中CO＝DO，则折射率n＝＝＝＝1.5。
答案 (1)大头针 B (2)挡住P1、P2的像 1.5
方法感悟
(1)平行玻璃砖的出射光线和入射光线平行。
(2)对半圆形玻璃砖，入射光线若沿半径，则折射角和入射角均为0°，即光线进入玻璃砖时方向不发生变化。
(3)过出射点作出法线，运用数学知识求出入射角和折射角的正弦值，再由折射定律求出折射率。
(2018·浙江模拟)在用插针法做“测定玻璃砖折射率”的实验中，某同学先在白纸上画出一直线并让待测玻璃砖一界面ab与线重合放置，再进行插针观察，如图所示。梯形abcd是其主截面的边界线，而A、B、C、D为该同学在某次实验时插入的4枚大头针的位置情况。
(1)请在图中完成测量玻璃砖折射率的有关光路图，并标出入射角α和折射角β；
(2)用α和β写出计算折射率的公式n＝________；
(3)若所画的cd线比实际界面向外平移了一些，则测得的折射率将________(填“偏小”不变”或“偏大”)。
答案 (1)图见解析 (2) (3)偏大
解析 (1)连接AB作为入射光线，入射点为E，连接CD作为出射光线，出射点为F，连接EF，即为玻璃砖内的折射光线。光路图如图所示：
(2)根据折射定律得：n＝。
(3)根据光路图可知，若所画的cd线比实际界面向外平移了一些，折射角β偏小，入射角α不变，根据n＝，可知测得的折射率将偏大。
考点三 光的全反射
1．发生全反射的条件
(1)光必须从光密介质射入光疏介质，例如从水中或玻璃中射入空气中。
(2)入射角必须大于或等于临界角。
2．临界角：折射角等于90°时的入射角。若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，则sinC＝。
3．全反射现象可以从能量的角度去理解：当光由光密介质射向光疏介质时，在入射角逐渐增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当入射角等于临界角时，折射光的能量已经减弱为零，这时就发生了全反射。光导纤维就是利用了这一原理。
4．解决全反射问题的一般步骤
(1)确定光是从光密介质进入光疏介质。
(2)应用sinC＝确定临界角。
(3)根据题设条件，判定光在传播时是否发生全反射。
(4)如发生全反射，画出入射角等于临界角时的临界光路图。
(5)运用几何关系或三角函数关系以及反射定律等进行分析、判断、运算，解决问题。
1．在自行车的后挡泥板上，常常安装着一个“尾灯”，其实它不是灯，它是用一种透明的塑料制成的，其截面如图所示。夜间，从自行车后方来的汽车灯光照在“尾灯”上时，“尾灯”就变得十分明亮，以便引起汽车司机的注意。从原理上讲，它的功能是利用了( )
A．光的折射 B．光的全反射
C．光的干涉 D．光的衍射
答案 B
解析 全反射可以让反射光的强度更大一些，故B正确。
2．[教材母题] (人教版选修3－4 P53·T6)如图是一个用折射率n＝2.4的透明介质做成的四棱柱的横截面图，其中∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°。现有一条光线从图示的位置垂直入射到棱镜的AB面上，画出光路图，确定射出的光线。注意：每个面的反射光线和折射光线都不能忽略。
[变式子题] (2018·吉林长春质检)如图所示是一种折射率n＝1.5的棱镜，用于某种光学仪器中。现有一束光线沿MN的方向射到棱镜的AB界面上，入射角的大小为i(sini＝0.75)。求：
(1)光在棱镜中传播的速率；
(2)此束光线射出棱镜后的方向，写出推导过程并画出光路图(不考虑返回到AB面上的光线)。
答案 (1)2.0×108 m/s (2)见解析
解析 (1)由折射率与光速的关系知
v＝＝2.0×108 m/s。
(2)光路图如图所示，设光线进入棱镜后的折射角为r，
由n＝得sinr＝＝0.5
解得r＝30°。
光线射到BC界面的入射角
i1＝90°－(180°－60°－75°)＝45°。
由sinC＝＝C，光线在BC面上发生全反射，光线沿DE方向射到AC边时，与AC边垂直，故此束光线射出棱镜后方向与AC界面垂直。
考点四 光的色散与光路控制
1．光的色散
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散。本讲只讨论光的折射中的色散，光的干涉、衍射中也有色散现象，详情见下讲内容。
(2)光折射时的色散
①现象：一束白光通过三棱镜后在屏上会形成彩色光带。
②成因：棱镜材料对不同色光的折射率不同，对红光的折射率最小，红光通过棱镜后的偏折程度最小，对紫光的折射率最大，紫光通过棱镜后的偏折程度最大，从而产生色散现象。
(3)各种色光的比较
2．平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
(2015·重庆高考)虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示。M、N、P、Q点的颜色分别为 ( )
A．紫、红、红、紫 B．红、紫、红、紫
C．红、紫、紫、红 D．紫、红、紫、红
解析 由题图可知，射到M点的光线进入玻璃球时的折射角小于射到N点的光线进入玻璃球时的折射角，所以玻璃对射到M点的光的折射率大于玻璃对射到N点的光的折射率，故M点的颜色为紫色，N点的颜色为红色；同理可得P点的颜色为红色，Q点的颜色为紫色，所以只有A项正确。
答案 A
方法感悟
根据白光中七种色光的频率大小关系、在介质中的折射率大小关系，并结合折射定律及全反射等知识进行分析，常常是解决光的色散问题的关键。
1．(多选)如图所示，从点光源S发出的一细束白光以一定的角度入射到三棱镜的表面，经过三棱镜的折射后发生色散现象，在光屏的ab间形成一条彩色光带。下面的说法中正确的是( )
A．a侧是红光，b侧是紫光
B．在真空中a侧光的波长小于b侧光的波长
C．三棱镜对a侧光的折射率大于对b侧光的折射率
D．在三棱镜中a侧光的速率比b侧光小
E．在三棱镜中a、b两侧光的速率相同
答案 BCD
解析 由题图可以看出，a侧光偏折得较厉害，三棱镜对a侧光的折射率较大，所以a侧光是紫光，波长较短，b侧光是红光，波长较长，因此A错误，B、C正确；又v＝，所以三棱镜中a侧光的传播速率小于b侧光的传播速率，D正确，E错误。
2．(多选)频率不同的两束单色光1和2以相同的入射角从同一点射入一厚平行玻璃砖，单色光1、2在玻璃砖中折射角分别为30°和60°，其光路如图所示，下列说法正确的是( )
A．出射光线1和2一定是平行光
B．单色光1的波长大于单色光2的波长
C．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
D．图中单色光1、2通过玻璃砖所需的时间相等
E．单色光1从玻璃射到空气的全反射临界角小于单色光2从玻璃射到空气的全反射临界角
答案 ADE
解析 光线在平行玻璃砖上表面的折射角等于在下表面
的入射角，由光路可逆性原理可知，出射光线的折射角等于入射光线的入射角，因此出射光线1和2相互平行，A正确；在上表面，单色光1比单色光2偏折程度大，则单色光1的折射率大、频率大、波长短，B错误；根据v＝知，单色光1在玻璃砖中的传播速度小，C错误；设入射角为i，玻璃砖的厚度为d，单色光1、单色光2折射角分别为r1＝30°，r2＝60°，由n＝，光在玻璃中传播距离l＝，光在玻璃中的传播速度v＝，可知光在玻璃中传播时间t＝＝＝，又sin2r1＝sin60°＝，sin2r2＝sin120°＝，所以单色光1与单色光2通过玻璃砖所需时间相等，D正确；根据sinC＝知，单色光1的折射率大，则临界角小，E正确。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)如图所示，MN是介质1和介质2的分界面，介质1、2的绝对折射率分别为n1、n2，一束细光束从介质1射向介质2中，测得θ1＝60°，θ2＝30°，根据你所学的光学知识判断下列说法正确的是( )
A．介质2相对介质1的相对折射率为
B．光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度
C．介质1相对介质2来说是光密介质
D．光从介质1进入介质2可能发生全反射现象
E．光从介质1进入介质2，光的波长变短
答案 ABE
解析 光从介质1射入介质2时，入射角与折射角的正弦之比叫做介质2相对介质1的相对折射率，所以有n21＝＝，A正确；因介质2相对介质1的相对折射率为，可以得出介质2的绝对折射率大，因n＝，所以光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度，B正确；介质2相对介质1来说是光密介质，C错误；光从光密介质射入光疏介质时，有可能发生全反射现象，D错误；光从介质1进入介质2，光的频率不变，速度变小，由v＝λf可知，光的波长变短，E正确。
2.一束只含红光和紫光的复色光P垂直于三棱镜的一个侧面射入，后分为两束沿OM和ON方向射出，如图所示。由图可知( )
A．OM为红光，ON为紫光
B．OM为紫光，ON为红光
C．OM为红光，ON为红、紫色复色光
D．OM为紫光，ON为红、紫色复色光
答案 C
解析 因紫光的折射率大于红光的折射率，紫光全反射的临界角小于红光的临界角，入射角相同，发生全反射的一定是紫光，所以OM为红光，红光折射的同时有一部分要发生反射，所以ON应为含有红光和紫光的复色光，C正确。
3.(多选)一束光从某介质进入真空，方向如图所示，则下列判断中正确的是( )
A．该介质的折射率是
B．该介质的折射率是
C．该介质相对真空发生全反射的临界角小于45°
D．光线按如图所示的方向入射，无论怎样改变入射方向都不可能发生全反射现象
E．如果光从真空射向介质，则不可能发生全反射现象
答案 BCE
解析 上面是介质，下面是真空，入射角i＝30°，折射角r＝60°，则折射率n＝＝＝，A错误，B正确；sinC＝＝<，则C<45°，C正确；光线按如图所示的方向入射，当入射角大于临界角时，就会发生全反射现象，D错误；光从真空射向介质，不可能发生全反射现象，E正确。
4.(多选)a、b两种单色光组成的光束从玻璃进入空气时，其折射光束如图所示，则关于a、b两束光的说法正确的是( )
A．玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率
B．增大入射角时，a光首先发生全反射
C．a光的频率大于b光的频率
D．在真空中a光的波长大于b光的波长
E．分别用这两束光照射双缝干涉实验装置，在光屏上都能出现干涉条纹，a光的相邻条纹间距大于b光
答案 ADE
解析 a光的偏折程度小于b光，所以玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率，增大入射角，b光首先发生全反射，A正确，B错误；折射率大的光频率大，所以a光的频率小于b光的频率，C错误；根据c＝λf知，a光的波长长，再由Δx＝λ，a光的相邻条纹间距大于b光，D、E正确。
5.(多选)如图，一束光沿半径方向射向一块半圆形玻璃砖，在玻璃砖底面上的入射角为θ，经折射后射出a、b两束光线。则( )
A．在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
D．若改变光束的入射方向使θ角逐渐变大，则折射光线a首先消失
E．分别用a、b光在同一个双缝干涉实验装置上做实验，a光的干涉条纹间距大于b光的干涉条纹间距
答案 ABD
解析 从光路图看，入射角相同，a光的折射角较大，所以玻璃砖对a光的折射率较大，a光的频率较大、波长较短，B正确，C错误；根据n＝知va
答案
解析 如图所示，设入射角为θ1，折射角为θ2，则sinθ1＝＝，即θ1＝30°。
过B点作OD的垂线交于E点，∠BOE＝θ1＝30°，
又cos∠BOE＝＝，
可得OE＝·OB＝R，所以ED＝OD－OE＝R，
则tan∠BDE＝＝，可得∠BDE＝30°，
由几何关系可得θ2＝60°，折射率n＝＝。
7.如图所示，一束平行于直径AB的单色光照射到玻璃球上，从N点进入玻璃球直接打在B点，在B点反射后从P点射出玻璃球(P点未画出)。已知玻璃球的半径为R，折射率n＝，光在真空中的传播速度为c，求：
(1)入射点N与出射点P间的距离；
(2)此单色光由N点经B点传播到P点的时间。
答案 (1)R (2)
解析 (1)在B点的反射光线与入射光线NB关于AB对称，则可知从P点射出的光线与原平行于AB的入射光线平行对称，作出光路图如图所示。
由光路图知θ1＝2θ2，
由折射定律得n＝，
解得cosθ2＝，即θ2＝30°，θ1＝60°，
则d＝Rsinθ1，所以入射点N与出射点P间的距离为2d＝R。
(2)该束光线在玻璃球中的路程
s＝2·N＝2·2Rcosθ2＝2R，
光在玻璃球中的速度v＝＝，
光在玻璃球中的时间t＝＝。
[真题模拟练]
8．(2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 根据题述和图示可知，折射角i＝60°，入射角r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
9．(2018·福建省毕业质量检查模拟(一))如图所示，一束平行的绿光从半圆形玻璃砖的平面垂直入射，OC为中心线，已知在半圆弧上的入射点A的入射光线经折射后与OC的交点为点B，∠AOB＝30°，∠ABC＝15°，则绿光在该玻璃中的折射率为________，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为________；若将入射光改为红光，则光从半圆面透射区域的圆心角将________(选填“变小”“不变”或“变大”)。
答案 90° 变大
解析 在A点，由几何知识可得
入射角i＝∠AOB＝30°
折射角r＝∠AOB＋∠ABC＝45°
则绿光在该玻璃中的折射率为n＝＝。
设光线恰好射到半圆面上D点时发生全反射，其入射角等于临界角C，由sinC＝得C＝45°
在D点以下有光从半圆面透射而出，则由对称性可知，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为90°。
红光的折射率小于绿光，临界角大于绿光，则若将入射光改为红光，则发生全反射的临界点向边缘移动，即光从半圆面透射区域的圆心角将变大。
10．(2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)如图，光线在BC面上折射，由折射定律有sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系及②式得i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①③④⑤式得δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，在AB面上不发生全反射，有
nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为≤n<2。
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
12．(2017·全国卷Ⅱ)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点。设光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有
nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55。
13．(2017·全国卷Ⅰ)如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。
由折射定律有sini＝nsinr①
由正弦定理有＝②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。
由题设条件和几何关系有sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得sinr＝④
由①③④式和题给数据得n＝≈1.43。
14．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)设光线在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsinic＝1②
由几何关系有sinic＝③
联立①②③式并利用题给条件，得l＝R④
(2)设与光轴相距的光线从A点入射，在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有＝⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝R≈2.74R。
15．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m。从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为。
(1)求池内的水深；
(2)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m。当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°，求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留1位有效数字)。
答案 (1)2.6 m (2)0.7 m
解析 (1)如图，设到达池边的光线的入射角为i。依题意，水的折射率n＝，光线的折射角θ＝90°。由折射定律有
nsini＝sinθ①
由几何关系有
sini＝②
式中，l＝3 m，h是池内水的深度。
联立①②式并代入题给数据得h＝ m≈2.6 m。③
(2)设此时救生员的眼睛到池边的水平距离为x。依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ′＝45°。由折射定律有
nsini′＝sinθ′④
式中，i′是光线在水面的入射角。设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a。由几何关系有
sini′＝⑤
x＋l＝a＋h′⑥
式中h′＝2 m。
联立③④⑤⑥式得x＝ m≈0.7 m。
16．(2016·全国卷Ⅲ)如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
答案 150°
解析 设球半径为R，球冠底面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB。
令∠OAO′＝α，有
cosα＝＝＝①
即α＝30°②
由题意MA⊥AB③
所以∠OAM＝60°
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，所考虑的光线的光路图如图所示。设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃折射率为n。由于△OAM为等边三角形，有
i＝60°④
由折射定律有sini＝nsinr⑤
代入题给条件n＝得r＝30°⑥
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有
i′＝30°⑦
根据反射定律，有i″＝30°⑧
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60°⑨
由⑦⑨式得∠ENO＝30°⑩
于是∠ENO为反射角，NO为反射光线。这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以，射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为β＝180°－∠ENO＝150°。
17．(2018·抚顺模拟)如图所示，空气中有一折射率为的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB。一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光。若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则AB上有光透出部分的弧长为多长？
答案 πR
解析 由sinC＝，可知光在玻璃柱中发生全反射的临界角C＝45°，＝，
所有光线从AO进入玻璃柱后的折射角均为r＝30°，
从O点入射后的折射光线将沿半径从C点射出，假设从E点入射的光线经折射后到达D点时刚好发生全反射，
则∠ODE＝45°。
如图所示，由几何关系可知θ＝45°，
故AB上有光透出部分的弧长为πR。
第66讲 光的折射 全反射
考点一 光的折射
1．光的折射
光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向会改变，这种现象叫做光的折射。如图所示。
2．折射定律
(1)内容：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。
(2)表达式：＝n。
(3)在光的折射现象中，光路是可逆的。如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射。
3．折射率
(1)定义
光从真空射入某种介质发生折射时，入射角i的正弦与折射角r的正弦之比，用n表示。
(2)定义式：n＝。任何介质的折射率总大于1。
(3)意义：介质的折射率反映了介质对光的折射本领。
(4)折射率与光速的关系
某种介质的折射率，等于光在真空中的速度与光在这种介质中的速度之比，即n＝。
(5)决定折射率大小的因素：折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关。同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。
(6)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同。
1．关于折射率，下列说法正确的是( )
A．根据＝n可知，介质的折射率与入射角的正弦成正比
B．根据＝n可知，介质的折射率与折射角的正弦成反比
C．根据n＝可知，介质的折射率与介质中的光速成反比
D．同一频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率与波长成正比
答案 C
解析 介质的折射率n由介质本身及光的频率决定，与入射角、折射角无关，A、B错误；光在不同介质中光速不同，这正是光发生折射的原因，n与v成反比，C正确；把v＝λf代入n＝得n＝，即n与λ成反比，D错误。
2．[教材母题] (人教版选修3－4 P47·例题)如图所示，一个储油桶的底面直径与高均为d。当桶内没有油时，从某点A恰能看到桶底边缘的某点B。当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿AB方向看去，恰好看到桶底上的点C，C、B两点相距。求油的折射率和光在油中传播的速度。
[变式子题] 人站在距槽边D为L＝1.2 m处，刚好能看到槽底B的位置，人眼距地面的高度为H＝1.6 m。槽中注满某透明液体时，人刚好能看到槽底中央O点处。求液体的折射率及光在液体中的传播速度。
答案 1.71 1.75×108 m/s
解析 由题意作图如图所示，连接人眼与B点，延长CD作为法线，从图中可以看出，折射角θ2＝∠CDB。连接D与O点，则入射角θ1＝∠CDO。
因为sinθ2＝＝，
又因为sinθ1＝＝，
由sinθ2＝＝＝，得
BD＝OC，CD＝，
代入得CD＝OC，所以
sinθ1＝＝。
故液体的折射率n＝＝≈1.71，
光在液体中的速度为v＝≈1.75×108 m/s。
考点二 测定玻璃的折射率
1．实验原理
如图所示，用插针法确定入射角和折射角，根据n＝计算玻璃折射率。
2．实验器材
两侧面平行的玻璃砖、白纸、木板、大头针、图钉、量角器、刻度尺、铅笔。
3．实验步骤与数据处理
(1)把白纸用图钉钉在木板上。
(2)用刻度尺在纸面上作一条直线aa′，过aa′上一点O作垂直于aa′的线段NN′，再过O点作一条线段AO，并使∠NOA即θ1适当大些。
(3)在AO线上竖直地插两枚大头针P1、P2，并使间距适当大些，在白纸上沿直线aa′放上被测玻璃砖。
(4)沿玻璃砖的另一个侧面再作一条直线bb′。
(5)在玻璃砖的bb′一侧白纸上竖直地插一枚大头针P3，使P3恰好能同时挡住aa′一侧所插的大头针P2、P1的像。接着，在玻璃砖的bb′一侧再竖直地插一枚大头针P4，使P4能挡住P3本身以及P1、P2的像。
(6)标记下P1、P2、P3、P4的位置，移去玻璃砖，拔去大头针，过P3、P4作一条直线O′B，交bb′于O′点，连接OO′就是入射光线AO在玻璃砖内的折射光线，折射角为θ2。
(7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，记入表格内。
(8)用上述方法分别测出入射角是15°、30°、45°、60°和75°时的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，记入表格里。
(9)数据处理
①计算法：n＝，并取平均值。
②图象法：作出sinθ1sinθ2图象，如图甲所示，n＝k。
③辅助线段法：如图乙所示，作辅助线AB垂直于OB，量出A、O，作辅助线CD垂直于OD，量出C、O，则sinθ1＝，sinθ2＝，即可求出：n＝＝。
④“单位圆”法：以入射点O为圆心，以适当长度R为半径画圆，交入射光线OA于E点，交折射光线OO′于E′点，过E作NN′的垂线EH，过E′作NN′的垂线E′H′。如图丙所示，sinθ1＝，sinθ2＝，OE＝OE′＝R，则n＝＝。
4．注意事项与误差分析
(1)实验时，将大头针尽可能竖直地插在纸板上，并且使P1和P2之间、P3与P4之间距离适当大一些，这样可以减小确定光路方向时出现的误差。
(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角不宜太大，太大会导致反射光太强、折射光太弱，不易确定P3、P4的位置。
(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁光学面，更不能把玻璃砖当尺子画界线。
(4)在实验过程中，玻璃砖与白纸的相对位置不能改变。
在“测定玻璃的折射率”的实验中，
(1)小朱同学在实验桌上看到方木板上有一张白纸，白纸上有如图甲所示的实验器材，他认为除了缺刻度尺还少了一种器材，请你写出所缺器材的名称：________。老师将器材配齐后，他进行实验，图乙是他在操作过程中的一个状态，请你指出第四枚大头针应在图乙中的位置________(填“A”“B”或“C”)。
(2)小红利用方格坐标纸测定玻璃的折射率，如图丙所示，AO是画在纸上的直线，她在直线AO适当位置竖直插上P1、P2两枚大头针，放上半圆形玻璃砖，使其圆心与O重合，然后插上P3、P4两枚大头针，以确定折射光线。其中她确定P3大头针位置的方法应当是________。操作完成后，她用圆规作了一个以O为圆心、半径与玻璃砖半径相同的半圆(如图丙中虚线所示)，则她测出玻璃的折射率n＝________。
解析 (1)实验器材还缺少大头针；依据光的折射定律，及玻璃砖上下表面平行，那么出射光线与入射光线相互平行，因此第四枚大头针应在图乙中的位置B处。
(2)透过玻璃砖看，P3大头针挡住P1、P2两枚大头针的像；如图，作出法线，过圆与入射光线、折射光线的交点作法线的垂线CA′和DB，由数学知识得，入射角和折射角的正弦值分别为：sini＝，sinr＝，其中CO＝DO，则折射率n＝＝＝＝1.5。
答案 (1)大头针 B (2)挡住P1、P2的像 1.5
方法感悟
(1)平行玻璃砖的出射光线和入射光线平行。
(2)对半圆形玻璃砖，入射光线若沿半径，则折射角和入射角均为0°，即光线进入玻璃砖时方向不发生变化。
(3)过出射点作出法线，运用数学知识求出入射角和折射角的正弦值，再由折射定律求出折射率。
(2018·浙江模拟)在用插针法做“测定玻璃砖折射率”的实验中，某同学先在白纸上画出一直线并让待测玻璃砖一界面ab与线重合放置，再进行插针观察，如图所示。梯形abcd是其主截面的边界线，而A、B、C、D为该同学在某次实验时插入的4枚大头针的位置情况。
(1)请在图中完成测量玻璃砖折射率的有关光路图，并标出入射角α和折射角β；
(2)用α和β写出计算折射率的公式n＝________；
(3)若所画的cd线比实际界面向外平移了一些，则测得的折射率将________(填“偏小”不变”或“偏大”)。
答案 (1)图见解析 (2) (3)偏大
解析 (1)连接AB作为入射光线，入射点为E，连接CD作为出射光线，出射点为F，连接EF，即为玻璃砖内的折射光线。光路图如图所示：
(2)根据折射定律得：n＝。
(3)根据光路图可知，若所画的cd线比实际界面向外平移了一些，折射角β偏小，入射角α不变，根据n＝，可知测得的折射率将偏大。
考点三 光的全反射
1．发生全反射的条件
(1)光必须从光密介质射入光疏介质，例如从水中或玻璃中射入空气中。
(2)入射角必须大于或等于临界角。
2．临界角：折射角等于90°时的入射角。若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，则sinC＝。
3．全反射现象可以从能量的角度去理解：当光由光密介质射向光疏介质时，在入射角逐渐增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当入射角等于临界角时，折射光的能量已经减弱为零，这时就发生了全反射。光导纤维就是利用了这一原理。
4．解决全反射问题的一般步骤
(1)确定光是从光密介质进入光疏介质。
(2)应用sinC＝确定临界角。
(3)根据题设条件，判定光在传播时是否发生全反射。
(4)如发生全反射，画出入射角等于临界角时的临界光路图。
(5)运用几何关系或三角函数关系以及反射定律等进行分析、判断、运算，解决问题。
1．在自行车的后挡泥板上，常常安装着一个“尾灯”，其实它不是灯，它是用一种透明的塑料制成的，其截面如图所示。夜间，从自行车后方来的汽车灯光照在“尾灯”上时，“尾灯”就变得十分明亮，以便引起汽车司机的注意。从原理上讲，它的功能是利用了( )
A．光的折射 B．光的全反射
C．光的干涉 D．光的衍射
答案 B
解析 全反射可以让反射光的强度更大一些，故B正确。
2．[教材母题] (人教版选修3－4 P53·T6)如图是一个用折射率n＝2.4的透明介质做成的四棱柱的横截面图，其中∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°。现有一条光线从图示的位置垂直入射到棱镜的AB面上，画出光路图，确定射出的光线。注意：每个面的反射光线和折射光线都不能忽略。
[变式子题] (2018·吉林长春质检)如图所示是一种折射率n＝1.5的棱镜，用于某种光学仪器中。现有一束光线沿MN的方向射到棱镜的AB界面上，入射角的大小为i(sini＝0.75)。求：
(1)光在棱镜中传播的速率；
(2)此束光线射出棱镜后的方向，写出推导过程并画出光路图(不考虑返回到AB面上的光线)。
答案 (1)2.0×108 m/s (2)见解析
解析 (1)由折射率与光速的关系知
v＝＝2.0×108 m/s。
(2)光路图如图所示，设光线进入棱镜后的折射角为r，
由n＝得sinr＝＝0.5
解得r＝30°。
光线射到BC界面的入射角
i1＝90°－(180°－60°－75°)＝45°。
由sinC＝＝
考点四 光的色散与光路控制
1．光的色散
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散。本讲只讨论光的折射中的色散，光的干涉、衍射中也有色散现象，详情见下讲内容。
(2)光折射时的色散
①现象：一束白光通过三棱镜后在屏上会形成彩色光带。
②成因：棱镜材料对不同色光的折射率不同，对红光的折射率最小，红光通过棱镜后的偏折程度最小，对紫光的折射率最大，紫光通过棱镜后的偏折程度最大，从而产生色散现象。
(3)各种色光的比较
2．平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
(2015·重庆高考)虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带，光路如图所示。M、N、P、Q点的颜色分别为 ( )
A．紫、红、红、紫 B．红、紫、红、紫
C．红、紫、紫、红 D．紫、红、紫、红
解析 由题图可知，射到M点的光线进入玻璃球时的折射角小于射到N点的光线进入玻璃球时的折射角，所以玻璃对射到M点的光的折射率大于玻璃对射到N点的光的折射率，故M点的颜色为紫色，N点的颜色为红色；同理可得P点的颜色为红色，Q点的颜色为紫色，所以只有A项正确。
答案 A
方法感悟
根据白光中七种色光的频率大小关系、在介质中的折射率大小关系，并结合折射定律及全反射等知识进行分析，常常是解决光的色散问题的关键。
1．(多选)如图所示，从点光源S发出的一细束白光以一定的角度入射到三棱镜的表面，经过三棱镜的折射后发生色散现象，在光屏的ab间形成一条彩色光带。下面的说法中正确的是( )
A．a侧是红光，b侧是紫光
B．在真空中a侧光的波长小于b侧光的波长
C．三棱镜对a侧光的折射率大于对b侧光的折射率
D．在三棱镜中a侧光的速率比b侧光小
E．在三棱镜中a、b两侧光的速率相同
答案 BCD
解析 由题图可以看出，a侧光偏折得较厉害，三棱镜对a侧光的折射率较大，所以a侧光是紫光，波长较短，b侧光是红光，波长较长，因此A错误，B、C正确；又v＝，所以三棱镜中a侧光的传播速率小于b侧光的传播速率，D正确，E错误。
2．(多选)频率不同的两束单色光1和2以相同的入射角从同一点射入一厚平行玻璃砖，单色光1、2在玻璃砖中折射角分别为30°和60°，其光路如图所示，下列说法正确的是( )
A．出射光线1和2一定是平行光
B．单色光1的波长大于单色光2的波长
C．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
D．图中单色光1、2通过玻璃砖所需的时间相等
E．单色光1从玻璃射到空气的全反射临界角小于单色光2从玻璃射到空气的全反射临界角
答案 ADE
解析 光线在平行玻璃砖上表面的折射角等于在下表面
的入射角，由光路可逆性原理可知，出射光线的折射角等于入射光线的入射角，因此出射光线1和2相互平行，A正确；在上表面，单色光1比单色光2偏折程度大，则单色光1的折射率大、频率大、波长短，B错误；根据v＝知，单色光1在玻璃砖中的传播速度小，C错误；设入射角为i，玻璃砖的厚度为d，单色光1、单色光2折射角分别为r1＝30°，r2＝60°，由n＝，光在玻璃中传播距离l＝，光在玻璃中的传播速度v＝，可知光在玻璃中传播时间t＝＝＝，又sin2r1＝sin60°＝，sin2r2＝sin120°＝，所以单色光1与单色光2通过玻璃砖所需时间相等，D正确；根据sinC＝知，单色光1的折射率大，则临界角小，E正确。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)如图所示，MN是介质1和介质2的分界面，介质1、2的绝对折射率分别为n1、n2，一束细光束从介质1射向介质2中，测得θ1＝60°，θ2＝30°，根据你所学的光学知识判断下列说法正确的是( )
A．介质2相对介质1的相对折射率为
B．光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度
C．介质1相对介质2来说是光密介质
D．光从介质1进入介质2可能发生全反射现象
E．光从介质1进入介质2，光的波长变短
答案 ABE
解析 光从介质1射入介质2时，入射角与折射角的正弦之比叫做介质2相对介质1的相对折射率，所以有n21＝＝，A正确；因介质2相对介质1的相对折射率为，可以得出介质2的绝对折射率大，因n＝，所以光在介质2中的传播速度小于光在介质1中的传播速度，B正确；介质2相对介质1来说是光密介质，C错误；光从光密介质射入光疏介质时，有可能发生全反射现象，D错误；光从介质1进入介质2，光的频率不变，速度变小，由v＝λf可知，光的波长变短，E正确。
2.一束只含红光和紫光的复色光P垂直于三棱镜的一个侧面射入，后分为两束沿OM和ON方向射出，如图所示。由图可知( )
A．OM为红光，ON为紫光
B．OM为紫光，ON为红光
C．OM为红光，ON为红、紫色复色光
D．OM为紫光，ON为红、紫色复色光
答案 C
解析 因紫光的折射率大于红光的折射率，紫光全反射的临界角小于红光的临界角，入射角相同，发生全反射的一定是紫光，所以OM为红光，红光折射的同时有一部分要发生反射，所以ON应为含有红光和紫光的复色光，C正确。
3.(多选)一束光从某介质进入真空，方向如图所示，则下列判断中正确的是( )
A．该介质的折射率是
B．该介质的折射率是
C．该介质相对真空发生全反射的临界角小于45°
D．光线按如图所示的方向入射，无论怎样改变入射方向都不可能发生全反射现象
E．如果光从真空射向介质，则不可能发生全反射现象
答案 BCE
解析 上面是介质，下面是真空，入射角i＝30°，折射角r＝60°，则折射率n＝＝＝，A错误，B正确；sinC＝＝<，则C<45°，C正确；光线按如图所示的方向入射，当入射角大于临界角时，就会发生全反射现象，D错误；光从真空射向介质，不可能发生全反射现象，E正确。
4.(多选)a、b两种单色光组成的光束从玻璃进入空气时，其折射光束如图所示，则关于a、b两束光的说法正确的是( )
A．玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率
B．增大入射角时，a光首先发生全反射
C．a光的频率大于b光的频率
D．在真空中a光的波长大于b光的波长
E．分别用这两束光照射双缝干涉实验装置，在光屏上都能出现干涉条纹，a光的相邻条纹间距大于b光
答案 ADE
解析 a光的偏折程度小于b光，所以玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率，增大入射角，b光首先发生全反射，A正确，B错误；折射率大的光频率大，所以a光的频率小于b光的频率，C错误；根据c＝λf知，a光的波长长，再由Δx＝λ，a光的相邻条纹间距大于b光，D、E正确。
5.(多选)如图，一束光沿半径方向射向一块半圆形玻璃砖，在玻璃砖底面上的入射角为θ，经折射后射出a、b两束光线。则( )
A．在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
D．若改变光束的入射方向使θ角逐渐变大，则折射光线a首先消失
E．分别用a、b光在同一个双缝干涉实验装置上做实验，a光的干涉条纹间距大于b光的干涉条纹间距
答案 ABD
解析 从光路图看，入射角相同，a光的折射角较大，所以玻璃砖对a光的折射率较大，a光的频率较大、波长较短，B正确，C错误；根据n＝知va
答案
解析 如图所示，设入射角为θ1，折射角为θ2，则sinθ1＝＝，即θ1＝30°。
过B点作OD的垂线交于E点，∠BOE＝θ1＝30°，
又cos∠BOE＝＝，
可得OE＝·OB＝R，所以ED＝OD－OE＝R，
则tan∠BDE＝＝，可得∠BDE＝30°，
由几何关系可得θ2＝60°，折射率n＝＝。
7.如图所示，一束平行于直径AB的单色光照射到玻璃球上，从N点进入玻璃球直接打在B点，在B点反射后从P点射出玻璃球(P点未画出)。已知玻璃球的半径为R，折射率n＝，光在真空中的传播速度为c，求：
(1)入射点N与出射点P间的距离；
(2)此单色光由N点经B点传播到P点的时间。
答案 (1)R (2)
解析 (1)在B点的反射光线与入射光线NB关于AB对称，则可知从P点射出的光线与原平行于AB的入射光线平行对称，作出光路图如图所示。
由光路图知θ1＝2θ2，
由折射定律得n＝，
解得cosθ2＝，即θ2＝30°，θ1＝60°，
则d＝Rsinθ1，所以入射点N与出射点P间的距离为2d＝R。
(2)该束光线在玻璃球中的路程
s＝2·N＝2·2Rcosθ2＝2R，
光在玻璃球中的速度v＝＝，
光在玻璃球中的时间t＝＝。
[真题模拟练]
8．(2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 根据题述和图示可知，折射角i＝60°，入射角r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
9．(2018·福建省毕业质量检查模拟(一))如图所示，一束平行的绿光从半圆形玻璃砖的平面垂直入射，OC为中心线，已知在半圆弧上的入射点A的入射光线经折射后与OC的交点为点B，∠AOB＝30°，∠ABC＝15°，则绿光在该玻璃中的折射率为________，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为________；若将入射光改为红光，则光从半圆面透射区域的圆心角将________(选填“变小”“不变”或“变大”)。
答案 90° 变大
解析 在A点，由几何知识可得
入射角i＝∠AOB＝30°
折射角r＝∠AOB＋∠ABC＝45°
则绿光在该玻璃中的折射率为n＝＝。
设光线恰好射到半圆面上D点时发生全反射，其入射角等于临界角C，由sinC＝得C＝45°
在D点以下有光从半圆面透射而出，则由对称性可知，圆形玻璃砖中有光从半圆面透射区域的圆心角为90°。
红光的折射率小于绿光，临界角大于绿光，则若将入射光改为红光，则发生全反射的临界点向边缘移动，即光从半圆面透射区域的圆心角将变大。
10．(2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)如图，光线在BC面上折射，由折射定律有sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系及②式得i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①③④⑤式得δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，在AB面上不发生全反射，有
nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为≤n<2。
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
12．(2017·全国卷Ⅱ)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点。设光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有
nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55。
13．(2017·全国卷Ⅰ)如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。
由折射定律有sini＝nsinr①
由正弦定理有＝②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。
由题设条件和几何关系有sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得sinr＝④
由①③④式和题给数据得n＝≈1.43。
14．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)设光线在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsinic＝1②
由几何关系有sinic＝③
联立①②③式并利用题给条件，得l＝R④
(2)设与光轴相距的光线从A点入射，在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有＝⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝R≈2.74R。
15．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m。从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为。
(1)求池内的水深；
(2)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m。当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°，求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留1位有效数字)。
答案 (1)2.6 m (2)0.7 m
解析 (1)如图，设到达池边的光线的入射角为i。依题意，水的折射率n＝，光线的折射角θ＝90°。由折射定律有
nsini＝sinθ①
由几何关系有
sini＝②
式中，l＝3 m，h是池内水的深度。
联立①②式并代入题给数据得h＝ m≈2.6 m。③
(2)设此时救生员的眼睛到池边的水平距离为x。依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ′＝45°。由折射定律有
nsini′＝sinθ′④
式中，i′是光线在水面的入射角。设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a。由几何关系有
sini′＝⑤
x＋l＝a＋h′⑥
式中h′＝2 m。
联立③④⑤⑥式得x＝ m≈0.7 m。
16．(2016·全国卷Ⅲ)如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
答案 150°
解析 设球半径为R，球冠底面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB。
令∠OAO′＝α，有
cosα＝＝＝①
即α＝30°②
由题意MA⊥AB③
所以∠OAM＝60°
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，所考虑的光线的光路图如图所示。设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃折射率为n。由于△OAM为等边三角形，有
i＝60°④
由折射定律有sini＝nsinr⑤
代入题给条件n＝得r＝30°⑥
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有
i′＝30°⑦
根据反射定律，有i″＝30°⑧
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60°⑨
由⑦⑨式得∠ENO＝30°⑩
于是∠ENO为反射角，NO为反射光线。这一反射光线经球面再次折射后不改变方向。所以，射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为β＝180°－∠ENO＝150°。
17．(2018·抚顺模拟)如图所示，空气中有一折射率为的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB。一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光。若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则AB上有光透出部分的弧长为多长？
答案 πR
解析 由sinC＝，可知光在玻璃柱中发生全反射的临界角C＝45°，＝，
所有光线从AO进入玻璃柱后的折射角均为r＝30°，
从O点入射后的折射光线将沿半径从C点射出，假设从E点入射的光线经折射后到达D点时刚好发生全反射，
则∠ODE＝45°。
如图所示，由几何关系可知θ＝45°，
故AB上有光透出部分的弧长为πR。
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