2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第十三章系列4选讲13.2第1课时

§13.2　不等式选讲
第1课时　绝对值不等式

最新考纲
考情考向分析
1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.



1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| (－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
概念方法微思考
1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？
提示　当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．
2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？
提示　一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　×　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　√　)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　×　)
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　)
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)
题组二　教材改编
2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
答案　D
解析　由题意得
即
解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．
3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；
②当1 ∴x<4，∴1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)．
题组三　易错自纠
4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.
答案　2
解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　9
解析　把a＋b＋c＝1代入到＋＋中，
得＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

题型一　绝对值不等式的解法
例1 (1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解　原不等式可化为或
解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是.
(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解　①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，
从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为.
②当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于
当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
思维升华 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
题型二　利用绝对值不等式求最值
例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解　(1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义．
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.
(3)利用零点分区间法．
跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
解　(1)∵≥＝＝4，
当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，
∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤min.
由(1)可知，的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2，
故实数x的取值范围为[－2,2]．
题型三　绝对值不等式的综合应用
例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解　(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2，
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x
≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－2＋≤，
当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
跟踪训练3 设函数f(x)＝x＋|x－a|.
(1)当a＝2 019时，求函数f(x)的值域；
(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．
解　(1)由题意得，当a＝2 019时，
f(x)＝
因为f(x)在[2 019，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的值域为[2 019，＋∞)．
(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，
所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.
即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．


1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
即实数m的取值范围为[6，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，g(x)＝x2－x－a.
(1)当a＝5时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3]，求a的取值范围．
解　(1)当a＝5时，不等式f(x)≥g(x)等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①
当x<－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；
当x>2时，①式化为x2－x－8≤0，得2 所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[2,3]时，f(x)＝3，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[2,3]，等价于x∈[2,3]时g(x)≤3，
又g(x)＝x2－x－a在[2,3]上的最大值为g(3)＝6－a，
所以g(3)≤3，即6－a≤3，得a≥3，
所以a的取值范围为[3，＋∞)．
3．已知f(x)＝|2x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－2时，由f(x)≤4，
得2|x－1|－|x－2|≤4，
当x≤1时，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1；
当1 当x≥2时，由2(x－1)－(x－2)≤4，得2≤x≤4.
综上所述，f(x)≤4的解集为[－4,4]．
(2)由不等式f(x)≥3a2－3|2－x|，
得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，
即|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2，
即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，
而|2x＋a|＋|2x－4|≥|(2x＋a)－(2x－4)|＝|a＋4|，
当且仅当(2x＋a)(2x－4)≤0时等号成立，
所以|a＋4|≥3a2，
解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，
解得－1≤a≤或a∈∅.
所以a的取值范围是.
4．已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)≥1－x2；
(2)若关于x的不等式f(x) 解　(1)由题意f(x)≥1－x2可知，|x－1|≥1－x2，
即x－1≥1－x2或x－1≤x2－1，
所以x2＋x－2≥0或x2－x≥0，
即x≤－2或x≥1或x≥1或x≤0，
故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
(2)f(x)x2＋|x－1|－|x＋1|，
由于x2＋|x－1|－|x＋1|＝
所以当x＝1时，x2＋|x－1|－|x＋1|的最小值为－1.
所以实数a的取值范围为(－1，＋∞)．

5．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤2；
(2)若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．
解　(1)f(x)＝
原不等式等价于
或或
解得x≤－1或－≤x<2或x≥2，
综上所述，不等式的解集是.
(2)∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于
(|a＋b|－|a－b|)max≥f(x)max.
因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；
当x≤－时，f(x)≤；
当－ 当x≥2时，f(x)≤－5，
所以f(x)max＝，
所以由原不等式恒成立，得2|a|≥，
解得a≥或a≤－.
即a的取值范围是∪.
6．设f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.
(1)求不等式f(x)≤x＋2的解集；
(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)对任意实数(x≠0)恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)根据题意可知，原不等式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，
等价于或或
解得x<－1或－1≤x≤或x>.
综上可得不等式f(x)≤x＋2的解集为R.
(2)不等式f(x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)等价于≤(|a－2|＋|a＋1|)，
因为＝≤＝3，当且仅当≤0时取等号，
因为≤(|a－2|＋|a＋1|)，
所以|a－2|＋|a＋1|≥6，解得a≤－或a≥，
故实数a的取值范围为∪.