2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第八章第四节直线、平面平行的判定及其性质

第四节直线、平面平行的判定及其性质


1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α，
l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误．
(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．
(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．
应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．
(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
[熟记常用结论]
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　)
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)
(3)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β内无数条直线平行．(　　)
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、选填题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交　　　　 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
解析：选D　因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，所以直线a和平面α内的任意一条直线都不相交．
2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B.相交
C．异面 D．以上均有可能
解析：选D　与一个平面平行的两条直线可以平行，相交，也可以异面．
3．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为(　　)
A．平行 B.相交
C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内
解析：选D　依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
4.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.
答案：
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论正确的是______(填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
解析：如图，因为AB綊C1D1，
所以四边形AD1C1B为平行四边形．
故AD1∥BC1，从而①正确；
易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，
又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，
故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；
由图易知AD1与DC1异面，故③错误；
因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1，故④正确．
答案：①②④

考点一 直线与平面平行的判定与性质 [师生共研过关]
[典例精析]
如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)BD∥平面AB1D1.
[证明]　(1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1綊DA，
∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D.
又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1.
(2)连接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝DD1，∴BB1∥DD1，
又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，∴BB1＝DD1，
故四边形BDD1B1为平行四边形，
∴BD∥B1D1，
又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1.
[解题技法]
线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
[过关训练]
如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，
E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD.
证明：
(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中点，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP.
∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD.
∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD.
又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考点二 面面平行的判定与性质 [师生共研过关]
[典例精析]
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]　(1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴GH与BC确定一个平面α，
∴G，H，B，C∈α，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
易证A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[解题技法]
证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
[过关训练]
如图所示，在四棱锥E­ABCD中，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
证明：(1)取BD的中点O，连接OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，
∴BD⊥平面OEC.
∵OE⊂平面OEC，∴BD⊥OE.
又∵O为BD中点，
∴OE为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE.
(2)取AB的中点N，连接DN，MN.
∵M为AE的中点，∴MN∥BE.
∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB.
∵∠BCD＝120°，CD＝CB，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即CB⊥AB，
∴DN∥CB.
∵DN∩MN＝N，BE∩CB＝B，
∴平面MND∥平面BEC.
又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.
考点三 平行关系的综合应用 [师生共研过关]
[典例精析]
如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
[解]　(1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
[解题技法]
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
[过关训练]
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0＜x＜4)，∵四边形EFGH为平行四边形，
∴＝，则＝＝＝1－，
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0＜x＜4，∴8＜l＜12，
即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．

一、题点全面练
1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．
2．(2019·湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：选D　A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.
3.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
解析：选C　如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是(　　)
A．①② B.①②③
C．①③ D．②③
解析：选D　对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以①错误；对于②，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确．故选D.
5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列三个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：选C　①正确；②中三条直线也可能相交于一点，故错误；③正确，所以正确的命题有2个．
6．已知下列命题：
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.
上述命题正确的是________(填序号)．
解析：①若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①对；②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故②错；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故③对；④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故④错．
答案：①③
7.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 的形状为________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
8.如图所示，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.
解析：如图，连接PD1，PB1.∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥PQ.
又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，
设PQ∩AB＝M，
∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，
∴＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
∴＝＝，
∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a.
答案：a
9.(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P­ABM的体积．
解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA，
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝.
10.(2018·湘东五校联考)如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.
(1)求证：AB1∥平面A1C1C；
(2)求多面体ABC­A1B1C1的体积．
解：(1)证明：取BC的中点D，
连接AD，B1D，C1D，
∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，
∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，
CD∥B1C1，CD＝B1C1，
∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，
∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，
又B1D⊄平面A1C1C，CC1⊂平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.
在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，
∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，
∴四边形ADC1A1是平行四边形，∴AD∥A1C1.
又AD⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，
∴AD∥平面A1C1C，
∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，
又AB1⊂平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.
(2)在正方形ABB1A1中A1B＝，
∵△A1CB是等边三角形，∴A1C＝BC＝，
∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，
∴AA1⊥AC，AC⊥AB.
又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，
易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.
易知多面体ABC­A1B1C1是由直三棱柱ABD­A1B1C1和四棱锥C­ADC1A1组成的，
直三棱柱ABD­A1B1C1的体积为××1＝，
四棱锥C­ADC1A1的体积为××1×＝，
∴多面体ABC­A1B1C1的体积为＋＝.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M，N分别为线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有(　　)
A．无数条 B.2条
C．1条 D．0条
解析：选A　因为直线D1E，C1F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD，故选A.
2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
答案：①或③
3.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_____________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥D1D，HN∥BD，
∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，
∴平面FNH∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
4.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是______(填序号)．
①MB是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
解析：取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，①正确；∵B是定点，∴M在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．∴①②④正确．
答案：①②④
(二)素养专练——学会更学通
5．[直观想象、逻辑推理]如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
6．[直观想象、逻辑推理]
如图，四棱锥P ­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝AB，
因为CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD.
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．