2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第四节合情推理与演绎推理


第四节合情推理与演绎推理

1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理

2．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
合情推理与演绎推理的区别
(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、选填题
1．①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则①②两个推理过程分别属于(　　)
A．类比推理、归纳推理　　 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A　①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析：选C　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：选B　5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，x＝20＋3×4＝32.
4．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．
答案：②
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.
答案：1∶8


[考法全析]
考法(一)　与数字有关的推理
[例1]　从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　　)

A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．2 020 D．2 021
[解析]　　根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，
这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.
由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然数，故选D.
[答案]　D
考法(二)　与等式有关的推理
[例2]　观察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……
据此规律，第n个等式为________________________．
[解析]　规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正、偶数项为负，即为1－＋－＋…＋－；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为＋＋…＋.所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
考法(三)　与不等式有关的推理
[例3]　(1)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________________________．
(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，归纳得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
[解析]　(1)∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．
(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
[答案]　(1)f(2n)≥(n∈N*)　(2)nn
考法(四)　与数列有关的推理
[例4]　有一个奇数组成的数阵排列如下：
1　3　7　13　21　…
5　9　15　23　…　…
11　17　25　…　…　…
19　27　…　…　…　…
29　…　…　…　…　…
…　…　…　…　…　…
则第30行从左到右第3个数是________．
[解析]　观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.
[答案]　1 051
考法(五)　与图形变化有关的推理
[例5]　分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 019＝________.

[解析]　根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2 019＝.
[答案]　
[规律探求]
看个性
考法(一)与数字有关的推理．要注意行与行，列与列之间的数字变化规律，每个数据与正整数n之间的关系．
考法(二)与等式有关的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
考法(三)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
考法(四)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
考法(五)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪
找共性
破解归纳推理的思维步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验得结论：对所得的一般性命题进行检验．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧
[过关训练]
1．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是(　　)

解析：选A　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.
2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6×＝3n2－3n＋1，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．

[典例精析]
(1)(2019·大同模拟)已知P是圆x2＋y2＝R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E.若曲线C：＋＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2＋b2，则点E的轨迹方程为＋＝.若曲线C：－＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2－b2，则点E的轨迹方程是(　　)
A.－＝　　　 B.－＝
C.＋＝ D.＋＝
(2)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ­ ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S　　　　 B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
[解析]　(1)由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E的轨迹方程为－＝.

(2)如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
[答案]　(1)B　(2)A
[解题技法]
类比推理的应用类型及解题方法
类比
定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
类比
性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比
方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移

[提醒]　进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
[过关训练]
1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)
A. B．q2
C. D.
解析：选C　由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.
∴＝b1q，
∴等比数列{}的公比为，故选C.
2．(2019·黄冈模拟)已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是r＝h，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体的高h的关系是________．
解析：球心到正四面体一个面的距离即内切球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S×r＝×S×h，所以r＝h(其中S为正四面体一个面的面积)．
答案：r＝h

[典例精析]
(1)(2019·长春质监)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．
[解析]　根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4日．
[答案]　8月4日
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
①数列是等比数列；
②Sn＋1＝4an.
[证明]　①∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
②由①可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[解题技法]
演绎推理问题的求解策略
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
[过关训练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D　依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1＜x2，
由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，
∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调递增函数．