2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-5不等式选讲第一节　绝对值不等式 学案

选修4－5  不等式选讲

第一节　绝对值不等式

2019考纲考题考情

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。

1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：

(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立。

(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立。

2．解绝对值不等式的两个要点：

(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。

(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”。

一、走进教材

1．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)

A．[－2,1)∪[4,7)   B．(－2,1]∪(4,7]

C．(－2，－1)∪[4,7)   D．(－2,1]∪[4,7)

解析　由题意得即

解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)。故选D。

答案　D

2．(选修4－5P20T8改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________。

解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；

②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，所以x<4，所以1<x<4；

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立。

综上，原不等式的解集为{x|x<4}。

答案　{x|x<4}

二、走出误区

微提醒：①含参数的绝对值不等式讨论不清；②存在性问题不能转化为最值问题求解。

3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________。

解析　因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6。因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2。

答案　2

4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________。

解析　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3。要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3。

答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)

考点一  　含绝对值的不等式的解法  　　　　　  　　　　　  　　　　

【例1】　(2019·淄博模拟)设函数f(x)＝|x＋4|。

(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；

(2)求不等式f(x)>1－x的解集。

解　(1)因为f(x)＝|x＋4|，

所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，

又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，

所以|2a|＝4，所以a＝±2。

(2)f(x)＝|x＋4|＝

所以不等式f(x)>1－x等价于

解得x>－2或x<－10，

故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}。

含绝对值不等式常见的三种解法

1．零点分段讨论法。

2．利用绝对值的几何意义。

3．数形结合法。

【变式训练】　(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3。

(1)求不等式f(x)≤2的解集；

(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围。

解　(1)由f(x)≤2，得或或

解得0≤x≤5，

故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}。

(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝

作出函数f(x)的图象，如图所示，

易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，

当此直线经过点B(4,0)时，k＝；

当此直线与直线AD平行时，k＝－2。

故由图可知，k∈(－∞，－2)∪。

考点二  绝对值不等式性质的应用

【例2】　(1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值。

(2)若a≥2，x∈R，证明：|x－1＋a|＋|x－a|≥3。

解　(1)由|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，得|2x＋3y＋1|的最大值为7。

(2)证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a－1|≥3，即|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立。

绝对值不等式性质的应用

利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以①求最值；②证明不等式。

【变式训练】　(1)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a。

(2)(2019·石家庄模拟)若f(x)＝＋3|x－a|的最小值为4，求a的值。

解　(1)证明：由|x－1|<可得|2x－2|<，|2x＋y－4|≤|2x－2|＋|y－2|<＋＝a。

(2)因为f(x)＝＋3|x－a|≥＝，所以由＝4得a＝±1或a＝±。

考点三  恒成立与存在性问题

【例3】　(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|。

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围。

解　(1)当a＝1时，f(x)＝

可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}。

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4。

而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立。

故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4。

由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，

所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)。

若函数f(x)中含有绝对值，则

1．f(x)>a有解⇔f(x)max>a。

2．f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a。

3．f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解。

【变式训练】　已知f(x)＝|ax－1|，若实数a>0，不等式f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}。

(1)求a的值；

(2)若<|k|存在实数解，求实数k的取值范围。

解　(1)由|ax－1|≤3，得－3≤ax－1≤3，即－2≤ax≤4。

因为a>0，所以－≤x≤，

因为不等式f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}，

所以解得a＝2。

(2)因为＝≥＝，

所以要使<|k|存在实数解，只需|k|>，解得k>或k<－，

所以实数k的取值范围是∪。

1．(配合例1、例2使用)设函数f(x)＝|2x－3|。

(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；

(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值。

解　(1)因为f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，

所以当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，所以x>2；

当－2<x<时，原不等式化为(3－2x)＋(x＋2)>5，解得x<0，所以－2<x<0；

当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)>5，解得x<－，所以x≤－2。

综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)。

(2)因为f(x)＝|2x－3|，

所以g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|。

所以依题意有4|m|＝4，解得m＝±1。

2．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2。

(1)解不等式|g(x)|<5；

(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。

解　(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，

所以－7<|x－1|<3，即|x－1|<3，解得－2<x<4，

故不等式|g(x)|<5的解集为{x|－2<x<4}。

(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，

又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，

所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，

所以实数a的取值范围为a≥－1或a≤－5。

3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)。

(1)当a＝2时，解不等式＋f(x)≥1；

(2)设不等式＋f(x)≤x的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围。

解　(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3。

①当x≤时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；

②当<x<2时，原不等式可化为3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x<2；

③当x≥2时，原不等式可化为3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2。

综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}。

(2)不等式＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1。所以a－1≤x≤a＋1，可得则－≤a≤，所以a∈。