2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章第六节　直接证明与间接证明、数学归纳法 学案

第六节　直接证明与间接证明、数学归纳法

2019考纲考题考情

1．直接证明

2.间接证明

反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

3．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。

(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推。

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。

2．利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。

3．数学归纳法两个步骤的联系：相互依存，缺一不可。

一、走进教材

1．(选修2－2P89练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　　)

A．2sinθ   B．2cosθ

C．sin2θ   D．cos2θ

解析　因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ。故选D。

答案　D

2．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P>Q   B．P＝Q

C．P<Q   D．不能确定

解析　假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。

答案　A

二、走出误区

微提醒：①“至少”否定出错；②应用分析法寻找的条件不充分；③不会用反证法解题。

3．利用反证法证明“已知a>0，b>0，且a＋b>2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是________。

解析　假设，都不小于2，则≥2且≥2。

答案　≥2且≥2

4．若用分析法证明“设a>b>c且a＋b＋c＝0，求证<a”，则索的因是________(填序号)。

①a－b>0；②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0；④(a－b)(a－c)<0。

解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a>0，c<0，要证<a，只需证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0。

答案　③

5．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)

A．都大于2   B．都小于2

C．至少有一个不大于2   D．至少有一个不小于2

解析　因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。

答案　D

考点一  分析法

【例1】　已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab。

证明　因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证>。

取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减。

所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，

即>。得证。

分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。

【变式训练】　已知a>0，求证： －≥a＋－2。

证明　要证 －≥a＋－2，只要证 ＋2≥a＋＋。

因为a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只要证2 ≥，

只要证4≥2，

即a2＋≥2，

而上述不等式显然成立，故原不等式成立。

考点二  综合法

【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1。

(1)求证：a，b，c成等差数列；

(2)若C＝，求证：5a＝3b。

证明　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，

因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，

由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列。

(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b。

综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。

【变式训练】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤g(x)。

解　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，

由题意得

解得a＝0，b＝1。

(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)。

h′(x)＝－x2＋x－1＝。

h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数。

h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，

即f(x)≤g(x)。

考点三  反证法

【例3】　设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋。证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。

证明　假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4。

由a2＋b2＝＋，得a2b2＝1，

因为a>0，b>0，所以ab＝1。

因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，

a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，

所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，

这与假设矛盾，故假设错误。

所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。

反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真。

【变式训练】　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1。求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。

证明　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，

即ac＋bd＋ad＋bc＝1，又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，

所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数。

考点四  数学归纳法

【例4】　设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*。

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论。

解　(1)因为a1＝1，

所以a2＝f(a1)＝f(1)＝；

a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝。

猜想an＝(n∈N*)。

(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确。

②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，

即ak＝，

则ak＋1＝f(ak)＝＝

＝＝。

这说明，n＝k＋1时猜想正确。

由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝。

 “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式。其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明。这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用。其关键是归纳、猜想出公式。

【变式训练】　将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明。

S1＝1，

S2＝2＋3＝5，

S3＝4＋5＋6＝15，

S4＝7＋8＋9＋10＝34，

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

……

解　由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；

当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；

当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；

当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；

猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4。

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立。

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，

即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，

那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立。

根据①和②，可知对于任意的n∈N*，

S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立。