2020届全国各地高考试题分类汇编06选修4-4,4-5.docx

12 极坐标和参数方程

1.（2020•全国1卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.

【解析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，，曲线的参数方程化为为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.

【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），

两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），

所以，曲线的参数方程化为为参数），

两式相加得曲线方程为，

得，平方得，

曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，

联立方程，整理得，解得或（舍去），

，公共点的直角坐标为.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

2.（2020•全国2卷）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.

【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.

令，则，解得或（舍），则，即.

；

（2）由（1）可知，

则直线的方程为，即.

由可得，直线的极坐标方程为.

【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.

4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，

又对应的圆的直角坐标方程为：，

由解得或，

对应的点为，故对应的极径为或.

（2），

，当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

13 不等式选讲

1.（2020•全国1卷）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．所以不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

2.（2020•全国2卷）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，

的取值范围为.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

3.（2020•全国3卷）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.

【详解】（1），

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

4.（2020•江苏卷）设，解不等式．

【答案】

【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】或或

或或,所以解集为

【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.