人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第18讲 等腰三角形 教学案（无答案）

第18讲  等腰三角形

【考点总汇】

一、等腰三角形的判定与性质

1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也        （简写“        ”）。

2.性质

（1）等腰三角形的两个底角        （简写为“        ”）。

（2）等腰三角形顶角的        、底边上的高和底边上的        互相重合（简写成“三线合一”）。

（3）等腰三角形是        图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。

微拨炉：

二、等边三角形的判定与性质

1.判定

（1）三个角        的三角形是等边三角形。

（2）有一个角等于60的        三角形是等边三角形。

2.性质

（1）等边三角形的三个内角都        ，并且每一个角都等于        。

（2）等边三角形是轴对称图形，并且有        条对称轴。

微拨炉：

三、线段的垂直平分线

1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离        。

2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的        上。

微拨炉：

高频考点1、等腰三角形的性质与判定

【范例】如图，，分别在上，，且，点是的中点，与相交于点。

（1）求证：。   

（2）与垂直吗？并说明理由。

得分要领：

等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△中，。

1.若，则，。

2.若，则，。

3.若，则，。

【考题回放】

1.若等腰三角形的顶角为40，则它的底角数为（   ）

A.40          B.50          C.60         D.70

2.如图，在△中，，且为上一点，，，则的度数为（   ）

A.30         B.36         C.40        D.45

第2题                             第3题

3.如图，在△中，，，点在上，，则的度数是        。

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为        。

5.如图，在△中，点分别在边上，与交于点，给出下列三个条件：①；②；③。

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△是等腰三角形？（用序号写出所有在立的情形）

（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明的过程。

高频考点2、等边三角形的性质与判定

【范例】如图，在等边三角形中，点分别在边上，且∥，过点作，交的延长线于点。

（1）求的度数。         

（2）若，求的长。

得分要领：

等边三角形是特殊的等腰三角形，解题时，要灵活运用下列性质：（1）三条边相等。（2）三个角相等，并且都等于60。（3）是轴对称图形，并且有三条对称轴。（4）具有“等边对等角”及“三线合一”的性质。

【考题回放】

1.如图，等边△中，点分别为边的中点，则的度数为（   ）

A.30             B.60            C.120            D.150

第1题                                   第2题

2.如图，△和△均是等边三角形，分别与交于点，有如下结论：

①△≌△；②；③。其中，正确结论的个数是（   ）

A.3个          B.2个           C.1个          D.0个

3.如图，已知矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点

处，连接，若△是等边三角形，则        。

高频考点3、线段垂直平分线的性质与判定

【范例】如图，在Rt△中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点连接，与分别交于点，连接。

（1）求。（直接写出结果）

（2）当，时，求△的周长。

得分要领：

线段垂直平分线的应用特征

1.线段垂直平分线中的两组线段相等：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段。

2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质。

【考题回放】

1.在△中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接。若，，则的度数为        。

2.如图，等腰△中，，，的垂直平分线交于点，则的度数是        。

第2题                                       第3题

3.如图，Rt△中，，垂直平分，垂足为，∥，且，，则的长为        。

【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边

【例题】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则 底边长为        。

解：若3是该等腰三角形底边上的高，如图1

此时由勾股定理得：，则底                               图1                    

若3是该等腰三角形腰上的高，等腰三角形为锐角三角形时，             

如图2，由勾股定理易得，则

在Rt△中，由勾股定理得：

答案：8或                                                  

 图2

【规避策略】

1.确定底和腰。当已知等腰三角形的两边时，要先确定哪条边作腰或底边，分情况进行讨论。

2.注意高的位置。当等腰三角形的顶角不确定时，这个三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，也要进行分类讨论。

【实战演练】

1.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（   ）

A.16          B.18          C.20          D.16或20

2.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角是（   ）

A.30         B.60          C.150        D.30或150

3.如图，在△中，，，的垂直平分

线交于，交于，下述结论错误的是（   ）

A.平分          B.△的周长等于         

C.          D.点是线段的中点

4.如图，△是等边三角形，是的平分线上一

点，于点，线段的垂直平分线交于点，

垂足为点，若，则的长为（   ）

A.2          B.         C.         D.3

5.如图，△和△都是边长为4的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为（   ）

A.       B.       　 C.     　  D.

6.如图，是△的角平分线，，，则图中的等腰三角形有        个。

第6题                         第7题

7.如图，△中，的平分线相交于点，过作∥，若，则等于       。

8.如图，点在上，，，，与交于点。

（1）求证：。

（2）判断△的形状，并说明理由。

9.如图，已知△为等边三角形，点分别在边上，且，与相交于点。（1）求证：△≌△。                 

（2）求的度数。

10.如图，△是等边三角形，点是上一点，，。请判断△的形状，并说明理由。

【限时小测】建议用时30分钟。总分50分

一、选择题（每小题3分，共12分）

1.如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则（   ）

A.3            B.4             C.5            D.6

第1题                          第2题

2.如图，在△中，，，cm，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ）

A.4cm           B.3cm            C.2cm           D.1cm

3. 如图，在△中，，，分别是△，△的角平分线，则图中的等腰三角形有（   ）

A.2个           B.3个           C.4个           D.5个

第3题                         第4题

4.如图所示，在等边△中，高相交于点，连接，则的度数是（   ）

A.15          B.20          C.25          D.30

二、填空题（每小题4分，共12分）

5.若等腰三角形的一个内角为50，则它的顶角为        。

6.已知等腰三角形的两边长分别为，且满足，则此等腰三角形的周长为        。

7.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若…，则的度数是        。

三、解答题（共26分）

8.（12分）如图①，在△中，，点是的中点，点在上。

（1）求证：。

（2）如图②，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其他条件不变。求证：△≌△。

【培优训练】

9.（14分）（1）如图1，在等边△中，点是上的任意一点（不含端点），连接，以为边作等边△，连接。求证：。

（2）如图2，在等边△中，点是延长线上的任意一点（不含端点），其他条件不变，还成立吗？请说明理由。