人教版 九年级数学中考总复习30讲（一轮复习）第9讲 一元二次方程 教学案（无答案）
展开第9讲 一元二次方程
【考点总汇】
一、一元二次方程的解法
解法 | 形式 | 方程的根 |
直接开平方法 | ||
配方法 | ||
公式法 | ||
因式分解法 | ， |
微拨炉：
1.当，时，用因式分解法比较简单。 |
2.运用公式法解一元二次方程时，必须把方程化为一般形式，再找对应的系数。 |
二、根的判别式与一元二次方程的根的情况
1.根的判别式：一元二次方程是否有实数根，关键由 的值的符号确定，把式子叫做一元二次方程根的判别式。
2.一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1） 0方程有两个不相等的实数根。
（2） 0方程有两个相等的实数根。
（3） 0方程没有实数根。
微拨炉：
根的判别式的使用条件是在一元二次方程中，而不是别的方程，注意隐含条件。 |
三、根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，，那么 ， 。
微拨炉：
1.若一元二次方程有一个根为0，则。 |
2.若一元二次方程有一个根为，则。 |
3.若一元二次方程有一个根为，。 |
四、一元二次方程的应用
列方程解应用题的六个步骤： 。
高频考点1、一元二次方程的解法
【范例】解方程：。
得分要领：
1.用公式法解一元二次方程，在确定系数，时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式。
2.用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误。
【考题回放】
1.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A.1或4 B.－1或－4 C.－1或4 D.1或－4
2.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ）
A.1 B.－1 C.0 D.－2
3.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
4.解方程：。
5.当为何值时，代数式的值等于1？
6.解方程：。
高频考点2、根的判别式及根与系数的关系
【范例】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。
（1）求实数的最大整数值。
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是，，求代数式的值。
得分要领：
1.一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程有实数根，即。
2.在运用时，注意不要漏“一”。
3.应用根的判别式时，不要忽略二次项系数不为0的条件。
4.方程有两个实数根包括两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况，不要遗漏。
【考题回放】
1.下列关于的方程有实数根的的是（ ）
A. B.
C. D.
2.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.方程有两个相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A.－2或3 B.3 C.－2 D.－3或2
4.若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
5.方程的两个实数根，满足，则的值为 。
6.已知关于的一元二次方程，其中分别是△的三边长。
（1）如果是方程的根，试判断△的形状，并说明理由。
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△的形状，并说明理由。
（3）如果△是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
高频考点3、一元二次方程的应用
【范例】目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
得分要领：
1.用一元二次方程解决增长率（降低率）问题时，要注意增长率大于0，降低率大于0且小于1。
2.由于列出的方程是一元二次方程，有两个解，得到的解需要和实际情况相吻合，容易忘记检验。
3.充分挖掘题目隐含的限制条件，如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大利益”说明降价幅度大等。
【考题回放】
1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
3.如图：某小区规划在一个长30m、宽20 m的长方形上修建三
条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部
分种花草。要使每一块花草的面积都为78 m，那么通道的宽应设计成
多少m？设通道的宽为m，由题意列出得方程 。
4.菱形的两条对角线分别是方程的两实根，则菱形的面积为 。
5.随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降。咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹年销售量为9.8万箱。求咸宁市2011到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】如图所示，某幼儿园有一道长为16m，计划用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m的矩形草坪。求该矩形草坪边的长。
解：设的边长为m…………………………①m
根据题意得： ……………②
解得： …………………③
答：设矩形草坪BC边的长为12 m或20 m…④
【规避策略】期望数学岛
1.注意充分利用题中的已知条件，如本题中的墙长为16 m。
2.列方程解决实际问题，一定要注意不要遗漏检验这一步骤，不仅要检验所求未知数的值是否是所列方程的解，还要检验所求未知数的值是否符合实际意义。
【实战演练】
1.某商品经过再次降价，每瓶零售价由388元降为268元。已知再次降价的百分率相同，每次降价的百分率为，根据题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
2.如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏的长为m，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
3.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.一元二次方程的两根之和是（ ）
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程的一个根是－2，则另一个根是（ ）
A.2 B.1 C.－1 D.0
6.方程的解为 。
7.解方程：。
8.临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元。经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子。为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降元，
（1）零售单价降低后，该店每天可售出 只粽子，利润为 元。
（2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多？
9.已知关于的方程。
（1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根。
（2）若等腰三角形的一连长，另两边的长恰好是这个方程的两根，求△的周长。
10.如图，有一长方形的地，长为米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙。甲和乙为正方形。现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司。若已知丙地的面积为3200平方米，试求长方形地的长的值。
11.某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：期望数学岛
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.关于的一元二次方程的一个根为－1，则另一个根为（ ）
A.1 B.－1 C.7或3 D.无法确定
2.三角形的两边分别为2和6，第三边是方程的解，则第三边的长为（ ）
A.7 B.3 C.3个 D.4个
3.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.初三毕业时，同学之间互送照片留着纪念。若某班有个学生互送照片共2756张，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共12分）
5.若方程的两根为，，则 。
6.一元二次方程的解为 。
7.现定义运算“★”，对于任意实数，都有★，如：★5，若★，则实数的值是 。
8.已知关于的方程的两个根分别是，且，则的值为 。
三、解答题（共26分）期望数学岛
9.（8分）已知是方程的一个实数根，求代数式的值。
10.（8分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某市品牌电动自动车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆。
（1）求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率。
（2） 若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？
【培优训练】
11.（10分）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路。下面分别是小亮和小颖的设计方案。
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度。
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）
