河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试 数学（文）（含答案）

洛阳市2020－2021学年高中三年级期中考试

数学试卷(文)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。共150分。考试时间120分钟。

第I卷(选择题，共60分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z＝，则|z|＝

A.2     B.     C.     D.1

2.已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x∈N|x2－4x＋3≤0}，则M∩N＝

A.[1，2]     B.(0，2]     C.{0，1}     D.{1，2}

3.下列函数既是偶函数，又在(0，＋∞)上为减函数的是

A.y＝     B.y＝x－2     C.y＝x3     D.y＝x4

4.与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝7a1，则＝

A.2     B.3     C.     D.

6.若x，y满足约束条件，则z＝2x－2y的最大值为

A.32     B.16     C.8     D.4

7.已知四个命题：

p1：x0∈R，sinx0－cosx0≥；     p2：x∈R，tanx＝；

p3：x0∈R，x02＋x0＋1≤0；         p4：x>0，x＋≥2。

以下命题中假命题是

A.p1∨p4     B.p2∨p4     C.p1∨p3     D.p2∨p3

8.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算。根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示。执行该程序框图，输出s的值为

A.     B.     C.     D.4

9.函数y＝sinx|cosx|在[－π，π]上的图象大致是

10.抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为

A.16     B.12     C.8     D.6

11.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝，BC＝1，PA＝AC＝2，则球O的表面积为

A.2π     B.8π     C.     D.

12.已知函数f(x)＝－tx－t有两个零点a，b，且在区间(a，b)上有且仅有2个正整数，则实数t的取值范围是

A.[，)     B.(，)     C.[，)     D.(，)

第II卷(非选择题，共90分)

二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如果向量＝(k，1)与＝(6，k＋1)方向相同，那么实数k的值为          。

14.曲线f(x)＝xex在点(0，0)处的切线方程为          。

15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－，当x∈[0，3)时，f(x)＝x－3x，则f(2020)＝          。

16.已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x－，下列四个结论：

①f(x)的一个对称中心是(，－1)；

②f(x)在(，)上单调递增；

③f(x)的图象向右移动个单位后，所得图象关于y轴对称；

④f(x)＝m在[0，]上恰有两个不等实根的充要条件为－≤m<－1。

其中所有正确结论的编号是          。

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，已知B＝，cosA＋cos2A＝0。

(1)求C；

(2)若b2＋c2＝a＋bc＋2，求△ABC的面积。

18.(本小题满分12分)

已知数列{an}是递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S1＋1，S2，S3＋1成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn。

19.(本小题满分12分)

如图，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于E，F为PA上一动点。

(1)求证：BD⊥EF；

(2)若F为PA的中点，PA＝AB＝4，求点P到平面EFD的距离。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别是F1，F2，过F1的直线AB与椭圆相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8。

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l：y＝x＋t与椭圆相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求t的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln－ax2＋x(a>0)。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应的题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标和参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1)，曲线C1的参数方程为(t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为θ＝(ρ>0)。

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－|＋|x＋|，M为不等式f(x)<2的解集。

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|。