【精品讲义】人教版 九年级上册数学 专题01 一元二次方程章末重难点题型（举一反三）（原卷版）

专题01  一元二次方程章末重难点题型【举一反三】

【考点1  一元二次方程的概念】

【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于的方程是一元二次方程，则　　

A． B． C． D．

【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程是关于的一元二次方程，则　　

A． B． C． D．

【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为　　

A．1 B． C． D．不能确定

【考点2  一元二次方程的解】

【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二

次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.

【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　

A．3 B． C． D．0或

【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　

A．2022 B．2021 C．2020 D．2019

【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程中，，，满足和，则方程的根是　　

A．1，0 B．，0 C．1， D．无法确定

【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）是方程的根，则式子的值为　　

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

【考点3  用指定方法解一元二次方程】

【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.

【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：

（1）（直接开平方法）

（2）  （配方法）

（3）（公式法）

（4）（因式分解法）

【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：

（1）（配方法）

（2）（因式分解法）

（3）（公式法）

（4）（直接开平方法）

【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：

（1）（直接开平方法）

（2）（配方法）

（3）（公式法）

（4）（因式分解法）

【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：

（1） （用直接开平方法）

（2）  （用配方法）

（3） （用求根公式法）

（4）（用因式分解法）

【考点4  一元二次方程根的判别式】

【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.

【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．

【变式4-1】关于的一元二次方程为

（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；

（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数．

【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知、、为三角形的三边，求证：方程没有实数根．

【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知是关于的一元二次方程

（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积．

【考点5  一元二次方程根与系数的关系】

【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学

知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.

【例5】（2018秋•江汉区月考）已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；

（1）

（2）

【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值．

（1）；

（2）；

（3）．

【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长．

【考点6  有关一元二次方程传播问题】

【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

【例6】（2019春•阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．

【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外

发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人

收到新年问候的短信？

【变式6-2】（2019•云南模拟）为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？

【变式6-3】（2019•高阳县一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．

（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　　次；

（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手　　次；

（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．

（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论．

【考点7  有关一元二次方程面积问题】

【例7】（2019春•瑞安市期中）某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米．

（1）饲养场另一边　　米（用含的代数式表示）．

（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值．

【变式7-1】（2019春•岱岳区期末）如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．

（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长：　　米；

（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值．

【变式7-2】（2019•贵阳模拟）如图，将边长为的正方形纸片，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，、、、正好重合于上底面一点，且，若所得到的长方体盒子的表面积为，求线段的长．

【变式7-3】（2018秋•贵阳期末）已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为．（纸板的厚度忽略不计）

（1）　　，　　；（用含的代数式表示）

（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长．

【考点8  有关一元二次方程增长率问题】

【例8】（2019春•丰台区期末）“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率．

【变式8-1】（2019春•延庆区期末）2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？

【变式8-2】（2019春•顺义区期末）今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．

（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？

【变式8-3】（2019•福田区模拟）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；

（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？

【考点9  有关一元二次方程利润问题】

【例9】（2019•杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件

（1）若，则售价应是　　元件；

（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；

【变式9-1】（2019春•闽侯县期末）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值．

【变式9-2】（2019•沙坪坝区校级一模）2019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日年来，巴渝大地发生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片”，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克．

（1）若该专卖店“合川桃片”3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？

（2）若该专卖店要想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克“合川桃片”应为多少元？

【变式9-3】（2019•沙坪坝区校级二模）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．

（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？

（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？

【考点10  有关一元二次方程动点问题】

【例10】（2019春•蚌埠期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？

【变式10-1】（2019•东台市模拟）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？

【变式10-2】（2019春•雨花区校级月考）如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动

（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？

（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？

【变式10-3】（2019•宿迁三模）如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．

（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？

（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．