2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分第二层级高考5个大题题题研诀窍概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图

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[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

[快审题]

第(1)问

第(2)问

第(3)问

[稳解题]

(1)频率分布直方图如图所示．

(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，

因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．

[题后悟道]

(1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率．

(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论．

[针对训练]

　春节期间，支付宝用户都可通过集齐福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福)，在除夕夜22：18获得一份现金红包．某高校一个社团在寒假开学后随机调查了该校80位在读大学生，就除夕夜22：18之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动，则等同于未集齐五福)，得到具体数据如下表：

(1)根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“集齐五福与性别有关”？

(2)计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10 000名在读大学生中集齐五福的人数；

(3)为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该社团从集齐五福的学生中，选取2名男生和3名女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有1名男生的概率．

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

解：(1)由列联表中的数据得K2的观测值为

k＝≈2.051<3.841.

故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“集齐五福与性别有关”．

(2)这80位大学生集齐五福的频率为＝.

据此估算该校10 000名在读大学生中集齐五福的人数为10 000×＝8 125.

(3)选取的2名男生和3名女生分别记为A1，A2，B1，B2，B3，随机选取3次采访的所有结果为{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B2，B3}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B2，B3}，{B1，B2，B3}，共10种，而至少有1名男生的结果有9种，故所求概率为.

[总结升华]

概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．　　　　

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3　　　　　　　　 B．0.4

C．0.6  D．0.7

解析：选B　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.

2．(2019届高三·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.

由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，

故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.

3．(2019届高三·武汉部分学校调研)标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)．共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝＝，故选A.

4．(2018·洛阳第一次统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝×a×2a＝a2>1，∴1<a<2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为＝，故选C.

5．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.

6．(2019届高三·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)

A.   B.

C．1－  D．1－

解析：选D　如图，直角三角形的斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.

二、填空题

7．(2018·石家庄质量检测)口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．

解析：一次摸出两个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个可能结果，其中两个球编号之和大于6的有(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共4个可能结果，所以所求概率为＝.

答案：

8．已知实数x，y满足|x|≤3，|y|≤2，则任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率为________．

解析：如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x|≤3，|y|≤2的点在矩形ABCD内(包括边界)，使得x2＋y2≤4的点在图中圆O内(包括边界)．

由题意知，S矩形ABCD＝4×6＝24，S圆O＝4π，故任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率P＝＝＝.

答案：

9．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．

解析：从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝＝.

答案：

三、解答题

10．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别为2,3,11,14,11,9.

(1)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；

(2)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在[40,50)的概率．

解：(1)∵50名受访职工评分不低于80分的频率为＝0.4.

∴该企业职工对该部门评分不低于80分的概率估计值为0.4.

(2)受访职工评分在[50,60)的有3人，分别记为A1，A2，A3.

受访职工评分在[40,50)的有2人，分别记为B1，B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．

又所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求概率P＝.

11．(2018·重庆质量调研)30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下：

(1)下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表．求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

(2)该大学的某部门从1～5号学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在100分以下的概率．

解：(1)面试分数在[0,100)内的学生共有30－10－4－1＝15名，

故a＝15，b＝＝，

估计这些学生面试分数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120分．

(2)从1～5号学生中任选两人的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，

观察题图易知1号，4号，5号学生的面试分数在100分以下，

故选择的两人的面试分数均在100分以下的选择方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，

故选择的两人的面试分数均在100分以下的概率为.

12．已知二次函数f(x)＝ax2－4bx＋2.

(1)任取a∈{1,2,3}，b∈{－1,1,2,3,4}，记“f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A，求A发生的概率．

(2)任取(a，b)∈{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}，记“关于x的方程f(x)＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．

解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个．

因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，若事件A发生，则a>0且≤1.

数对(a，b)的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，(3，－1)，(3,1)共5种．

所以P(A)＝＝.

(2)集合{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，其中点A(6,0)，B，

则△AOB的面积为××6＝.

若事件B发生，则f(1)<0，即a－4b＋2<0.

所以事件B对应的平面区域为△BCD.

由得交点坐标为D(2,1)．

又C，则△BCD的面积为××2＝1.

所以P(B)＝＝.

B组——大题专攻补短练

1．(2018·洛阳第一次统考)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损，如图．

(1)求分数在[50,60)之间的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)对应的矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

解：(1)分数在[50,60)之间的频率为0.008×10＝0.08，

由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2，

所以全班人数为＝25.

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3，

所以频率分布直方图中[80,90)对应的矩形的高为÷10＝0.012.

(3)将[80,90)之间的3个分数分别编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数分别编号为b1，b2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，

其中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的基本事件有7个，

故至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率是P＝＝0.7.

2．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：

(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；

(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．

解：(1)因为样本容量与总体个数的比是＝，

所以从年龄在[7,20)中抽取的人数为×18＝1，

从年龄在[20,40)中抽取的人数为×54＝3，

从年龄在[40,80]中抽取的人数为×36＝2，

所以从年龄在[7,20)，[20,40)，[40,80]中抽取的挑战者的人数分别为1,3,2.

(2)设从[7,20)中抽取的1人为a，从[20,40)中抽取的3人分别为b，c，d，从[40,80]中抽取的2人为e，f.

从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．

每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，

记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4个基本事件，则P(A)＝，

故2人来自同一年龄组的概率为.

3．“mobike”“ofo”等共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：

(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

(2)若从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，求恰好这2人都支持发展共享单车的概率．

参考数据：

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解：(1)根据所给数据得到如下2×2列联表：

根据2×2列联表中的数据，得到K2的观测值

k＝≈2.381＜2.706.

∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．

(2)“从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车”记为事件A.

年龄在[15,20)的5名受访人中，有4人支持，记为A1，A2，A3，A4,1人不支持，记为B.则从这5人中随机选取2人的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B}，

{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B}，

{A3，A4}，{A3，B}，{A4，B}，共10个．

其中，恰好选取的2人都支持发展共享单车的基本事件包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A3，A4}，共6个．

∴P(A)＝＝.

∴从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车的概率是.

4．(2018·太原模拟)某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况，列表如下：

学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生．规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核在21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．

(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计所得捐款额为多少元？

(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率．

附：回归方程＝x＋，其中

＝，＝－.

解：(1)＝＝6，

＝＝146，

＝＝＝20，

＝－＝146－20×6＝26，∴＝20x＋26.

当x＝9时，＝20×9＋26＝206，

即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元．

(2)设事件A1：甲获一等奖；事件A2：甲获二等奖；事件B1：乙获一等奖；事件B2：乙获二等奖；事件C1：丙获一等奖；事件C2：丙获二等奖．

则总事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8种情况．甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A2，B2，C2)1种情况，则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为.