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2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题五第五讲专题提能——优化思路上高度全面清障把漏补
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第五讲 专题提能——优化思路上高度，全面清障把漏补
因忽视焦点的位置而致误
[例1] 已知圆O：x2＋y2＝9，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是________．
[解析] 设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN，
则|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取A关于x轴的对称点A1，连接A1P，则|A1P|＋|AP|＝2(|OM|＋|MN|)＝6，
又|AA1|＝4<6，
所以点P的轨迹是以A(0,2)，A1(0，－2)为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
故动点P的轨迹方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
[微评] 本题易忽视椭圆的焦点在y轴上，从而写错轨迹方程．注意不管是待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方程，都要明确焦点的位置．另外，要正确运用a，b，c之间的等量关系式，否则会产生错解．
因不能合理转化已知条件而解题受阻
[例2] (2018·重庆校级模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C和抛物线y2＝x交于M，N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A，B两点，交抛物线于C，D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得S△OCD＝S△PAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由＝和a2＝b2＋c2，可设a＝2λ，则c＝λ，b＝λ，其中λ>0.
由题意不妨设M(c，)，代入椭圆方程，得＋＝1，即＋＝1，解得λ＝，从而a＝2，b＝2，c＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线l为y＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由条件知P，F(2,0)，＝＝＝＝，故＝.
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0，Δ1＝32k2＋32>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
由得k2x2－(4k2＋1)x＋4k2＝0，Δ2＝8k2＋1>0，x3＋x4＝，x3x4＝4，
则|CD|＝|x3－x4|＝.
由＝得，＝，
即＝，
即81k4(1＋k2)＝2(1＋2k2)2(1＋8k2)，
整理得17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得k＝±1.
故存在直线l：y＝x－2或y＝－x＋2满足题意．
[微评] 求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出△OCD，△PAB的面积，代入S△OCD＝S△PAB，判断所得方程是否有解．注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小．在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤．
因忽视直线的斜率是否存在而失分
[例3] 已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，又b＝，所以a＝2，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－，x1x2＝.
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝(当且仅当k＝±时，取等号)，
所以|S1－S2|的最大值为.
法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，
当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.
[微评] (1)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
点差法——解决中点弦问题
在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax2＋by2＝1来说，当两点M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲线上时，一定满足从而两式相减得＝－＝－，其中(x0，y0)是MN的中点．
[例1] 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] 由题意知直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②整理得＝－·，
即k＝－×＝，∴＝.
又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[答案] D
[微评] 本题利用“点差法”及“设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2－b2＝c2，求得椭圆方程．
联立方程法——解决对称问题
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则PQ的方程为y＝－x＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k(或b)的取值范围．
[例2] 已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋，要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围．
[解] 设C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(x0，y0)，
则两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
∵y1＋y2＝2y0，AB⊥l，∴kAB＝＝＝－，
∴y0＝－.
代入y＝kx＋得x0＝＝－－.
∵点M在抛物线内部，∴y
不等式等价于(k＋1)(k2－k＋3)<0，
解得－1
参数法——解决定点定值问题
思路一：建立含参数的曲线方程(包括直线方程)，进行适当整理或选取合适坐标，确定该坐标满足方程且与参数无关．
思路二：(1)选择一个参数建立直线系方程．一般是将题目中给出的曲线方程(包括直线方程)中的常数当作变量，将变量x，y当作常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常数)．
(2)根据直线系方程过定点时参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
[例3] 已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－的直线分别与椭圆交于点M，N.问：直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解] 法一：当直线MN的斜率存在时，
设MN：y＝kx＋m，
代入椭圆方程得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据已知可知·＝－，
即4y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，
即(1＋4k2)x1x2＋(4km－2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，
所以(1＋4k2)·＋(4km－2)＋4m2＋4＝0，即(4km－2)(－8km)＋8m2(1＋4k2)＝0，即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k.
当m＝0时，直线y＝kx经过定点D(0,0)．
由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点(2,0)，故不可能．
当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，－，此时M，N恰为椭圆的上、下顶点，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
法二：根据已知直线AM，AN的斜率存在且不为零，A(2,0)．设AM：y＝k(x－2)，
代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x1，y1)，则2x1＝，
即x1＝，y1＝k(x1－2)＝，
即M.
设直线AN的斜率为k′，则kk′＝－，即k′＝－，
把点M坐标中的k替换为－，得N.
当M，N的横坐标不相等，即k≠±时，kMN＝，直线MN的方程为y－＝·，即y＝x，
该直线恒过定点(0,0)．
当k＝±时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
[微评] 解决本题有两种方法，法一：以双参数表达直线MN的方程，求解双参数满足的关系；法二：以直线AM的斜率为参数，表达直线MN的方程．
(一)数形结合思想——解决圆锥曲线的最值问题
[例1] (1)(2018·河南郑州三模)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A. B.
C. D.
(2)(2018·广西百色模拟)设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] (1)如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.
因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，
所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
(2)由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1.
设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.
[答案] (1)C (2)C
[微评] 数形结合分析确定临界位置，这是解决圆锥曲线最值问题常用思想，多涉及圆锥曲线定义的应用．
(二)函数与方程思想——解决圆锥曲线最值或范围问题
[例2] (2018·吉林长春三模)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围．
[解] (1)根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b＝c＝1，即a＝＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，
即M.
线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，
设点P(xP,0)，则xP＝－.
因为xP∈，所以0
＝
＝＝.
因为0
即<|AB|<2.
故线段AB长度的取值范围是.
[微评] (1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b的值；求AB长度的范围时，转化为关于k的函数，利用函数性质求解．
(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常用到，如求范围、最值问题．
直线与椭圆相交弦问题的6种考法
[题根探究]
[典例] 已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3，求椭圆C的标准方程．
[解] 由已知b＝1，设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点坐标为F(c,0)，因为右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3，所以3＝得c＝，a2＝3，∴椭圆方程为＋y2＝1.
[考查角度] 求椭圆C的标准方程的关键是先定式，再定量，已知椭圆焦点在x轴上，b＝1，只需用点到直线的距离公式求出半焦距c.
[变式应用]
[变式1] 求直线L：x－y＋b＝0被椭圆＋y2＝1，所截得的弦长MN的长度的最大值．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Δ>0得－2
[变式2] 求直线L：x－y＋b＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦MN的中点P的轨迹方程．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由Δ>0得－2
故弦MN的中点P的轨迹方程为y＝－x.
[变式3] 已知A(0，－1)，是否存在一条直线L：x－y＋b＝0与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N使得·＝0？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.由Δ>0得－2
当b＝－1时，直线过A(0，－1)不满足题意，
∴b＝.
[变式4] 已知A(0，－1)，直线L：x－y＋b＝0与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，当∠MAN为锐角或钝角时，分别求b的取值范围．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.由Δ>0得－2
当∠MAN为锐角或钝角时，易知AM，AN不共线．
当∠MAN为锐角时，(x1，y1＋1)(x2，y2＋1)>0，
即2b2＋b－1>0，故b<－1或b>，
又－2
[变式5] 在椭圆＋y2＝1上是否存在一点到直线m：x＋y＋2＝0的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，请说明理由．
解：设P(cos θ，sin θ)是＋y2＝1上任意一点，由点到直线距离公式得
d＝＝
＝，
因为sin∈[－1,1]，
所以dmax＝＋2.
(一)临界法则
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(C≠D)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋E＝0.
(2)过直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0交点的直线系方程为a1x＋b1y＋c1＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
(4)过直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.
[例1] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 过直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的交点的圆系方程为：
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(1＋λ)x＋2(λ－3)y＋m－3λ＝0.①
依题意，O在以PQ为直径的圆上，
则圆心显然在直线x＋2y－3＝0上，
则－＋2(3－λ)－3＝0，解得λ＝1.
又O(0,0)满足方程①，
则m－3λ＝0，故m＝3.
[微评] 利用直线与圆相交的圆系方程可以很好的解决这类题型，圆与圆相交的圆系方程问题也可以同样解决，只要能巧妙的构造圆系方程即可．
(二)临界知识
圆锥曲线的光学性质
(1)抛物线的光学性质：与对称轴平行的光线投射到抛物线上，经反射后反射光线必通过焦点．
(2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点．
(3)双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线投射到双曲线上，经反射后反射光线的延长线必通过另一个焦点．
为了节省篇幅，本书只证明椭圆的光学性质，抛物线、双曲线的光学性质请读者仿证．
证明：如图，已知椭圆在点P处的切线PE交x轴于点E，法线PQ交x轴于点Q，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，切点P(x0，y0)．
则PE：＋＝1，PQ：y－y0＝(x－x0)，
所以Q(e2x0,0)，|F1Q|＝e2x0＋c，|F2Q|＝c－e2x0，
|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝a－ex0.
于是有＝＝＝，
由角平分线定理知PQ平分∠F1PF2，性质得证．
[例2] 已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的平分线l所在的直线方程．
[解] (1)依题意，设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意可得e＝＝，
∴e2＝＝＝，即＝，①
又点A(2,3)在椭圆E上，∴＋＝1，②
∴由①②得a2＝16，b2＝12.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)如图，设椭圆E在点A处的切线为l′，由于直线l为∠F1AF2的平分线，所以，由椭圆的光学性质知l⊥l′.l′的方程为＋＝1，即x＋2y－8＝0，
所以l的方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
故∠F1AF2的平分线l所在的直线方程为2x－y－1＝0.
[微评] 本题若采用一般解法，则需进行繁琐的运算，而利用椭圆的光学性质，可使问题得以简单解决．
A组——易错清零练
1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.
3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx＋1－2k，
由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，
即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)
若1－4k2＝0，则k＝±，
当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；
当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．
若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．
综上所述，满足题意的直线l共有2条．
4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，
则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的方程为＋＝1.则b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.
答案：1或16
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，
可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
答案：x2－＝1(x<0)
B组——方法技巧练
1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A. B．3
C. D．2
解析：选C 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.
2．(2018·兰州模拟)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：选D 依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90°，∴AP―→·BP―→＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
3．(2018·惠州调研)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立．所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积S＝≥3，故△AOB面积的最小值为3.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．[2－，2＋] D.
解析：选A 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴－1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．[3，＋∞)
C．(0,3) D．(0,3]
解析：选A 根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．
6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，
∴＝，故＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
C组——创新应用练
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC―→＝＋，则r＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知OC―→＝＋，
两边平方化简得·＝－r2，
所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，
又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得r＝.
2．(2018·贵阳模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.
3．(2018·武汉调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d.∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.
4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．
解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．
解：(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程，
得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称．
①若点A，B是椭圆的短轴顶点，
则点M是椭圆的一个长轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，
则点M在椭圆的一个短轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，
设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
由
解得x＝，y＝，
∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理|OM|2＝，
∴＋＋
＝2×＋＝2，
故＋＋＝2为定值．
因忽视焦点的位置而致误
[例1] 已知圆O：x2＋y2＝9，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是________．
[解析] 设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN，
则|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取A关于x轴的对称点A1，连接A1P，则|A1P|＋|AP|＝2(|OM|＋|MN|)＝6，
又|AA1|＝4<6，
所以点P的轨迹是以A(0,2)，A1(0，－2)为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
故动点P的轨迹方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
[微评] 本题易忽视椭圆的焦点在y轴上，从而写错轨迹方程．注意不管是待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方程，都要明确焦点的位置．另外，要正确运用a，b，c之间的等量关系式，否则会产生错解．
因不能合理转化已知条件而解题受阻
[例2] (2018·重庆校级模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C和抛物线y2＝x交于M，N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A，B两点，交抛物线于C，D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得S△OCD＝S△PAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由＝和a2＝b2＋c2，可设a＝2λ，则c＝λ，b＝λ，其中λ>0.
由题意不妨设M(c，)，代入椭圆方程，得＋＝1，即＋＝1，解得λ＝，从而a＝2，b＝2，c＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线l为y＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由条件知P，F(2,0)，＝＝＝＝，故＝.
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0，Δ1＝32k2＋32>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
由得k2x2－(4k2＋1)x＋4k2＝0，Δ2＝8k2＋1>0，x3＋x4＝，x3x4＝4，
则|CD|＝|x3－x4|＝.
由＝得，＝，
即＝，
即81k4(1＋k2)＝2(1＋2k2)2(1＋8k2)，
整理得17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得k＝±1.
故存在直线l：y＝x－2或y＝－x＋2满足题意．
[微评] 求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出△OCD，△PAB的面积，代入S△OCD＝S△PAB，判断所得方程是否有解．注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小．在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤．
因忽视直线的斜率是否存在而失分
[例3] 已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，又b＝，所以a＝2，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－，x1x2＝.
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝(当且仅当k＝±时，取等号)，
所以|S1－S2|的最大值为.
法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，
当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.
[微评] (1)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
点差法——解决中点弦问题
在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax2＋by2＝1来说，当两点M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲线上时，一定满足从而两式相减得＝－＝－，其中(x0，y0)是MN的中点．
[例1] 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] 由题意知直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②整理得＝－·，
即k＝－×＝，∴＝.
又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[答案] D
[微评] 本题利用“点差法”及“设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2－b2＝c2，求得椭圆方程．
联立方程法——解决对称问题
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则PQ的方程为y＝－x＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k(或b)的取值范围．
[例2] 已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋，要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围．
[解] 设C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(x0，y0)，
则两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
∵y1＋y2＝2y0，AB⊥l，∴kAB＝＝＝－，
∴y0＝－.
代入y＝kx＋得x0＝＝－－.
∵点M在抛物线内部，∴y
不等式等价于(k＋1)(k2－k＋3)<0，
解得－1
参数法——解决定点定值问题
思路一：建立含参数的曲线方程(包括直线方程)，进行适当整理或选取合适坐标，确定该坐标满足方程且与参数无关．
思路二：(1)选择一个参数建立直线系方程．一般是将题目中给出的曲线方程(包括直线方程)中的常数当作变量，将变量x，y当作常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常数)．
(2)根据直线系方程过定点时参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
[例3] 已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－的直线分别与椭圆交于点M，N.问：直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解] 法一：当直线MN的斜率存在时，
设MN：y＝kx＋m，
代入椭圆方程得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据已知可知·＝－，
即4y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，
即(1＋4k2)x1x2＋(4km－2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，
所以(1＋4k2)·＋(4km－2)＋4m2＋4＝0，即(4km－2)(－8km)＋8m2(1＋4k2)＝0，即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k.
当m＝0时，直线y＝kx经过定点D(0,0)．
由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点(2,0)，故不可能．
当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，－，此时M，N恰为椭圆的上、下顶点，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
法二：根据已知直线AM，AN的斜率存在且不为零，A(2,0)．设AM：y＝k(x－2)，
代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x1，y1)，则2x1＝，
即x1＝，y1＝k(x1－2)＝，
即M.
设直线AN的斜率为k′，则kk′＝－，即k′＝－，
把点M坐标中的k替换为－，得N.
当M，N的横坐标不相等，即k≠±时，kMN＝，直线MN的方程为y－＝·，即y＝x，
该直线恒过定点(0,0)．
当k＝±时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点(0,0)．
综上可知，直线MN过定点D(0,0)．
[微评] 解决本题有两种方法，法一：以双参数表达直线MN的方程，求解双参数满足的关系；法二：以直线AM的斜率为参数，表达直线MN的方程．
(一)数形结合思想——解决圆锥曲线的最值问题
[例1] (1)(2018·河南郑州三模)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A. B.
C. D.
(2)(2018·广西百色模拟)设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] (1)如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.
因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，
所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
(2)由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1.
设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.
[答案] (1)C (2)C
[微评] 数形结合分析确定临界位置，这是解决圆锥曲线最值问题常用思想，多涉及圆锥曲线定义的应用．
(二)函数与方程思想——解决圆锥曲线最值或范围问题
[例2] (2018·吉林长春三模)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围．
[解] (1)根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b＝c＝1，即a＝＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，
即M.
线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，
设点P(xP,0)，则xP＝－.
因为xP∈，所以0
＝
＝＝.
因为0
即<|AB|<2.
故线段AB长度的取值范围是.
[微评] (1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b的值；求AB长度的范围时，转化为关于k的函数，利用函数性质求解．
(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常用到，如求范围、最值问题．
直线与椭圆相交弦问题的6种考法
[题根探究]
[典例] 已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3，求椭圆C的标准方程．
[解] 由已知b＝1，设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点坐标为F(c,0)，因为右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3，所以3＝得c＝，a2＝3，∴椭圆方程为＋y2＝1.
[考查角度] 求椭圆C的标准方程的关键是先定式，再定量，已知椭圆焦点在x轴上，b＝1，只需用点到直线的距离公式求出半焦距c.
[变式应用]
[变式1] 求直线L：x－y＋b＝0被椭圆＋y2＝1，所截得的弦长MN的长度的最大值．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Δ>0得－2
[变式2] 求直线L：x－y＋b＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦MN的中点P的轨迹方程．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由Δ>0得－2
故弦MN的中点P的轨迹方程为y＝－x.
[变式3] 已知A(0，－1)，是否存在一条直线L：x－y＋b＝0与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N使得·＝0？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.由Δ>0得－2
当b＝－1时，直线过A(0，－1)不满足题意，
∴b＝.
[变式4] 已知A(0，－1)，直线L：x－y＋b＝0与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，当∠MAN为锐角或钝角时，分别求b的取值范围．
解：x－y＋b＝0与＋y2＝1联立，消去y得4x2＋6bx＋3b2－3＝0.由Δ>0得－2
当∠MAN为锐角或钝角时，易知AM，AN不共线．
当∠MAN为锐角时，(x1，y1＋1)(x2，y2＋1)>0，
即2b2＋b－1>0，故b<－1或b>，
又－2
[变式5] 在椭圆＋y2＝1上是否存在一点到直线m：x＋y＋2＝0的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，请说明理由．
解：设P(cos θ，sin θ)是＋y2＝1上任意一点，由点到直线距离公式得
d＝＝
＝，
因为sin∈[－1,1]，
所以dmax＝＋2.
(一)临界法则
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(C≠D)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋E＝0.
(2)过直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0交点的直线系方程为a1x＋b1y＋c1＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
(4)过直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.
[例1] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 过直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的交点的圆系方程为：
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(1＋λ)x＋2(λ－3)y＋m－3λ＝0.①
依题意，O在以PQ为直径的圆上，
则圆心显然在直线x＋2y－3＝0上，
则－＋2(3－λ)－3＝0，解得λ＝1.
又O(0,0)满足方程①，
则m－3λ＝0，故m＝3.
[微评] 利用直线与圆相交的圆系方程可以很好的解决这类题型，圆与圆相交的圆系方程问题也可以同样解决，只要能巧妙的构造圆系方程即可．
(二)临界知识
圆锥曲线的光学性质
(1)抛物线的光学性质：与对称轴平行的光线投射到抛物线上，经反射后反射光线必通过焦点．
(2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点．
(3)双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线投射到双曲线上，经反射后反射光线的延长线必通过另一个焦点．
为了节省篇幅，本书只证明椭圆的光学性质，抛物线、双曲线的光学性质请读者仿证．
证明：如图，已知椭圆在点P处的切线PE交x轴于点E，法线PQ交x轴于点Q，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，切点P(x0，y0)．
则PE：＋＝1，PQ：y－y0＝(x－x0)，
所以Q(e2x0,0)，|F1Q|＝e2x0＋c，|F2Q|＝c－e2x0，
|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝a－ex0.
于是有＝＝＝，
由角平分线定理知PQ平分∠F1PF2，性质得证．
[例2] 已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的平分线l所在的直线方程．
[解] (1)依题意，设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意可得e＝＝，
∴e2＝＝＝，即＝，①
又点A(2,3)在椭圆E上，∴＋＝1，②
∴由①②得a2＝16，b2＝12.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)如图，设椭圆E在点A处的切线为l′，由于直线l为∠F1AF2的平分线，所以，由椭圆的光学性质知l⊥l′.l′的方程为＋＝1，即x＋2y－8＝0，
所以l的方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
故∠F1AF2的平分线l所在的直线方程为2x－y－1＝0.
[微评] 本题若采用一般解法，则需进行繁琐的运算，而利用椭圆的光学性质，可使问题得以简单解决．
A组——易错清零练
1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.
3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx＋1－2k，
由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，
即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)
若1－4k2＝0，则k＝±，
当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；
当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．
若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．
综上所述，满足题意的直线l共有2条．
4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，
则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的方程为＋＝1.则b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.
答案：1或16
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，
可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
答案：x2－＝1(x<0)
B组——方法技巧练
1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A. B．3
C. D．2
解析：选C 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.
2．(2018·兰州模拟)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：选D 依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90°，∴AP―→·BP―→＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
3．(2018·惠州调研)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立．所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积S＝≥3，故△AOB面积的最小值为3.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．[2－，2＋] D.
解析：选A 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴－1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．[3，＋∞)
C．(0,3) D．(0,3]
解析：选A 根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．
6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，
∴＝，故＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
C组——创新应用练
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC―→＝＋，则r＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知OC―→＝＋，
两边平方化简得·＝－r2，
所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，
又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得r＝.
2．(2018·贵阳模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.
3．(2018·武汉调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d.∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.
4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．
解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．
解：(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程，
得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称．
①若点A，B是椭圆的短轴顶点，
则点M是椭圆的一个长轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，
则点M在椭圆的一个短轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，
设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
由
解得x＝，y＝，
∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理|OM|2＝，
∴＋＋
＝2×＋＝2，
故＋＋＝2为定值．
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