辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考试题 数学（含答案）

2020渤大附中育明高中高三第一次考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

3.考试时间120分钟，满分150分

第I卷(选择题；共60分)

一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，集合B＝{x|2x＋1>1}，则A＝

A.[3，＋∞)    B.(3，＋∞)    C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)    D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)

2.已知i为虚数单位，若z·(1＋i)＝2i，则|z|＝

A.2     B.     C.1     D.

3.若命题“x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为

A.l≤a≤3     B.－1≤a≤3     C.－3≤a≤3     D.－1≤a≤1

4.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为

A.     B.     C.     D.

5.函数(x)＝在[－π，π]的图像大致为

6.当0<x<时，函数f(x)＝的最小值为

A.2     B.2     C.4     D.4

7.已知函数f(x)满足f(x)－f(－x)＝0且当x≤0时，f(x)＝－x3＋ln(1－x)，设a＝f(log36)，b＝f(log48)，c＝f(log510)，则a，b，c的大小关系是

A.b>c>a     B.a>b>c     C.c>b>a     D.b>a>c

8.已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，>0，若F(x)＝f(x)＋，则函数F(x)的零点个数为

A.0     B.1     C.2     D.0或2

二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9.已知f(x)＝，角α的终边经过点(1，2)，则下列结论正确的是

A.f(cosα)＝－1     B.f(sinα)＝1     C.f(f(cosα))＝     D.f(f(sinα))＝2

10.给出下列结论，其中不正确的结论是

A.函数的最大值为

B.已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠l)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)

C.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图像关于直线y＝x对称

D.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021

11.已知f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x，下列四个结论正确的是

A.f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)的图象

B.当x＝时，函数f(x)－g(x)取得最大值

C.y＝f(x)＋g(x)图象的对称中心是(，0)，k∈Z

D.y＝f(x)·g(x)在区间(，)上单调递增

12.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是

A.函数f(x)不存在两个不同的零点

B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C.当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根

D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2

第II卷(非选择题；共90分)

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.曲线y＝sinx＋ex在x＝0处的切线方程是           。

14.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺?现假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ，则tan(θ＋)＝           。

15.定义在R上的奇函数f(x)满足f(＋x)＝f(－x)，并且当0≤x≤时，f(x)＝16x－1，则f(7)＝           。

16.已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2则a的取值范围           ；且不等式f(x1)＋f(x2)<x1＋x2＋1恒成立，则实数1的取值范围           。(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)。

已知p：m－1≤t≤m2＋1，q：函数f(x)＝log3x－l在区间(，9)上没有零点。

(1)若m＝0，且命题P与q均为真命题，求实数t的取值范围；

(2)若P是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

18.(本小题满分12分)。

已知函数f(x)＝sinx(cosx－sinx)＋cos2x，x∈R。

(I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)若α为锐角且f(α＋)＝－，β满足cos(α－β)＝，求sinβ。

19.(本小题满分12分)。

某种出口产品的关税税率t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝，其中k，b均为常数。当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件。

(1)试确定k、b的值；

(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x。p＝q时，市场价格称为市场平衡价格。当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值。

20.(本小题满分12分)。

在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”。

(1)根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?

(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ζ，求随机变量ζ的期望。

(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折。如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?

附：

21.(本小题满分12分)。

已知函数f(x)＝ax2＋(a－1)x＋(1－2a)lnx(a>0)。

(1)若x＝2是函数的极值点，求a的值及函数f(x)的极值；

(2)讨论函数的单调性。

22.(本小题满分12分)。

已知函数f(x)＝aex－cosx－x(a∈R)

(I)若a＝1，证明：f(x)≥0；

(II)若f(x)在(0，π)上有两个极值点，求实数a的取值范围。

2020渤大附中育明高中高三第一次考试数学试卷参考答案

一、单选题（满分40分）

1------4  ABBC   5-------8  DCBA  

 二、多选题  （满分20分）

    9 AC  10  AB  11 CD     12 BCD

三、填空题（满分20分）

13．    14.       15．        

 16．      一轮练习册教师用书147页第16题

四、解答题（满分70分）

17．（满分10分）

（1）当时，，

由函数在区间没有零点，是增函数，得或，

解得或，∵p与均为真命题，

∴p为真命题，q为假命题，当q为假命题时，，               .3分

∴实数t的取值范围是.                                          .5分

（2）∵p是q成立的充分不必要条件，又恒成立，

∴或，                                           .8分

解得，∴实数m的取值范围是.                            .10分

18．（满分12分）

解：（Ⅰ）

．                                .4分

令，，解得，，

所以函数的单调递增区间为，．           .6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，

因为为锐角，所以，，                        .8分

又因为，所以，                       .10分

   ..12分

19．（满分12分）

解：（1）由已知可得：，∴， 

解得：b＝5，k＝1                                           .4分

（2）当p＝q时，

∴（1﹣t）（x﹣5）2＝﹣x⇒t＝11，            .8分 

而f（x）＝x在（0，4]上单调递减，∴当x＝4时，f（x）有最小值，

此时t＝1取得最大值5；                              .11分

故当x＝4时，关税税率的最大值为500%                            .12分

20．（满分12分）

（1）由已知得出联列表：

所以，                   .3分

（必须保留小数点后三位，否则不给分）

有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；                       .4分

（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为， ，

                                              .7分

（3）若选方案一，则需付款元                        .8分

若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，

，，，        

                    .11分

选择第二种优惠方案更划算                         .12分

21．（满分12分）

解：（1）∵ ，

∴，                                .2分

由已知 ，解得，      .4分

此时， ，

当和时， ， 是增函数，

当时， ， 是减函数，

所以函数在和处分别取得极大值和极小值，

的极大值为，                            .5分

的极小值为.                        .6分

（2）由题意得 ，

①当，即时，则当时,,单调递减；

当时 ,,单调递增．

②当，即时，则当和时,， 单调递增；当时,,单调递减．

③当，即时，则当和时，,单调递增；当时，，单调递减．

④当，即时，，在定义域上单调递增．

综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；②当时，在定义域上单调递增；③当时， 在区间上单调递减，在区间和上单调递增；④当时 在区间上单调递减，在区间（）上单调递增．            .12分

根据讨论情况酌情给分

22．（满分12分）

一轮练习册教师用书148页第20题

参考答案仅供参考，

若有错误敬请谅解！