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2020年贵州省黔南州中考数学试卷
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2020年贵州省黔南州中考数学试卷
一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数的为93400人，将93400用科学记数法表示为（ ）
A．934×102 B．93.4×103 C．9.34×104 D．0.934×105
4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．74° D．75°
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元 B．7.5元 C．7.6元 D．7.7元
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
10．（3分）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
二、空（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
12．（3分）若单项式am﹣2bn+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝ ．
13．（3分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
14．（3分）函数y＝x﹣1的图象一定不经过第 象限．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 ．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 ．
17．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 ．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
20．（3分）对于实数a，b，定义运算“*“，a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（﹣）﹣1﹣3tan60°+|﹣|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心．OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）研究过短中，小明同学发现＝，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
23．（14分）勤劳是中生民的传統美德，学校要求学们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形統计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ，当x＝48时，对应的y＝ ．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
26．（14分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
27．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
2020年贵州省黔南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的定义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数的为93400人，将93400用科学记数法表示为（ ）
A．934×102 B．93.4×103 C．9.34×104 D．0.934×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：93400＝9.34×104．
故选：C．
4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．74° D．75°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×150°＝75°，
故选：D．
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，
故选：B．
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元 B．7.5元 C．7.6元 D．7.7元
【分析】设该商品每件的进价为x元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：12×0.8﹣x＝2，
解得：x＝7.6．
故选：C．
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：D．
10．（3分）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1在3和4之间，即3＜a＜4．
故选：C．
二、空（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
12．（3分）若单项式am﹣2bn+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝ 9 ．
【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵am﹣2bn+7与﹣3a4b4的和仍是一个单项式，
∴m﹣2＝4，n+7＝4，
解得：m＝6，n＝﹣3，
故m﹣n＝6﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
13．（3分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【解答】解：∵2，3，x，1，5，7的众数为7，
∴x＝7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、6、7，
则中位数为＝4；
故答案为：4．
14．（3分）函数y＝x﹣1的图象一定不经过第 二 象限．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象的性质作答．
【解答】解：由已知，得：k＞0，b＜0．故直线必经过第一、三、四象限．
则不经过第二象限．
故答案为：二．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 （﹣，2） ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
故答案为：（﹣，2）．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 10 ．
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
17．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为 4 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO＝3，AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，求出2AO•BO＝4，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵两条对角线的和为6，
∴AC+BD＝6，
∵菱形的周长为4，
∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，
∴AO+BO＝3，
∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，
即AO2+BO2＝5，AO2+2AO•BO+BO2＝9，
∴2AO•BO＝4，
∴菱形的面积＝AC•BD＝2AO•BO＝4；
故答案为：4．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，
∴OE＝2，
∴点C（6，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
20．（3分）对于实数a，b，定义运算“*“，a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 0 ．
【分析】求出x2﹣8x+16＝0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，
即x1＝x2＝4，
则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，
故答案为0．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（﹣）﹣1﹣3tan60°+|﹣|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂的规定、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣3×++（2×﹣2020）0
＝﹣2﹣3++（1﹣2020）2
＝﹣2﹣2+20190
＝﹣2﹣2+1
＝﹣1﹣2；
（2）解不等式≤1，得：x≥1，
解不等式是3x+2≥4，得：x≥，
则不等式组的解集为x≥1．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心．OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）研究过短中，小明同学发现＝，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
【分析】（1）过点O作OH⊥AB于H，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求OH＝＝OC，即可求结论．
（2）连接CD，EC，通过证明△DAC∽△CAE，可得，由DE＝AC＝3，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AB于H，
∵∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△AOC+S△ABO，
∴×3×4＝×3×+×5×OH，
∴OH＝，
∴OC＝OH，
且OH⊥BA，
∴AB是⊙O的切线；
（2）结论成立，
理由如下：连接CD，EC，
∵DE是直径，
∴∠ECD＝90°＝∠ACO，
∴∠ECO＝∠ACD，
∵OC＝OE，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴∠ACD＝∠CEO，
又∵∠DAC＝∠EAC，
∴△DAC∽△CAE，
∴，
∵OC＝，
∴DE＝2OC＝3＝AC，
∴＝，
故小明同学发现的结论是正确的．
23．（14分）勤劳是中生民的传統美德，学校要求学们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形統计图中m＝ 32 ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 57.6 度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到B类和C类的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到m和α的值；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°×＝57.6°，
故答案为：32，57.6；
（4）400×＝224（人），
即该校七年級有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣5═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 10 ，第五个图中y的值为 15 ．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 y＝ ，当x＝48时，对应的y＝ 1128 ．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出y＝，再代入x＝48可求出当x＝48时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵1＝，3＝，6＝，10＝，15＝，
∴y＝，
当x＝48时，y＝＝1128．
故答案为：y＝；1128．
（3）依题意，得：＝190，
化简，得：x2﹣x﹣380＝0，
解得：x1＝20，x2＝﹣19（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
26．（14分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连结OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连结OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
27．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+x+4 ，顶点坐标为 （4，） ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式可求a，b的值，由配方法可求顶点坐标；
（2）由余角的性质可得∠MAO＝∠B，利用三角函数可求tan∠MAO＝tan∠NAO＝tan∠CAO＝，可得∠CAO＝∠NAO，可得AC与AN共线，即可求解；
（3）先求出OB解析式，AF解析式，联立方程组可求点F坐标，由四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
∵：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣4）2+，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：y＝﹣x2+x+4，（4，）；
（2）点N在直线AC上，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，
∴点A（0，4），即OA＝4，
∵点B（8，4），
∴AB∥x轴，AB＝8，
∴AB⊥AO，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAM＝90°，
∵AM⊥OB，
∴∠BAM+∠B＝90°，
∴∠B＝∠OAM，
∴tan∠B＝tan∠OAM＝＝＝，
∵将Rt△OMA沿y轴翻折，
∴∠NAO＝∠OAM，
∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝，
∵OC＝2，OA＝4，
∴tan∠CAO＝＝，
∴tan∠CAO＝tan∠NAO，
∴∠CAO＝∠NAO，
∴AN，AC共线，
∴点N在直线AC上；
（3）∵点B（8，4），点O（0，0），
∴直线OB解析式为y＝x，
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴AF∥OB，
∴直线AF的解析式为：y＝x+4，
联立方程组：
解得：或
∴点F（，），
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF
∴S△OMA＝S△DEF，四边形OAFD是平行四边形，
∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，
∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD＝4×＝22．
一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数的为93400人，将93400用科学记数法表示为（ ）
A．934×102 B．93.4×103 C．9.34×104 D．0.934×105
4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．74° D．75°
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元 B．7.5元 C．7.6元 D．7.7元
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
10．（3分）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
二、空（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
12．（3分）若单项式am﹣2bn+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝ ．
13．（3分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
14．（3分）函数y＝x﹣1的图象一定不经过第 象限．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 ．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 ．
17．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 ．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
20．（3分）对于实数a，b，定义运算“*“，a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（﹣）﹣1﹣3tan60°+|﹣|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心．OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）研究过短中，小明同学发现＝，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
23．（14分）勤劳是中生民的传統美德，学校要求学们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形統计图中m＝ ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ，当x＝48时，对应的y＝ ．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
26．（14分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
27．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
2020年贵州省黔南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的定义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）某市2020年参加中考的考生人数的为93400人，将93400用科学记数法表示为（ ）
A．934×102 B．93.4×103 C．9.34×104 D．0.934×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：93400＝9.34×104．
故选：C．
4．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
6．（3分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．74° D．75°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×150°＝75°，
故选：D．
7．（3分）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，
故选：B．
8．（3分）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元 B．7.5元 C．7.6元 D．7.7元
【分析】设该商品每件的进价为x元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：12×0.8﹣x＝2，
解得：x＝7.6．
故选：C．
9．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：D．
10．（3分）已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1在3和4之间，即3＜a＜4．
故选：C．
二、空（本题10小题，每题3分，共30分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
12．（3分）若单项式am﹣2bn+7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝ 9 ．
【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵am﹣2bn+7与﹣3a4b4的和仍是一个单项式，
∴m﹣2＝4，n+7＝4，
解得：m＝6，n＝﹣3，
故m﹣n＝6﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
13．（3分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【解答】解：∵2，3，x，1，5，7的众数为7，
∴x＝7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、6、7，
则中位数为＝4；
故答案为：4．
14．（3分）函数y＝x﹣1的图象一定不经过第 二 象限．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象的性质作答．
【解答】解：由已知，得：k＞0，b＜0．故直线必经过第一、三、四象限．
则不经过第二象限．
故答案为：二．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 （﹣，2） ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
故答案为：（﹣，2）．
16．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 10 ．
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
17．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为 4 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO＝3，AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，求出2AO•BO＝4，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵两条对角线的和为6，
∴AC+BD＝6，
∵菱形的周长为4，
∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，
∴AO+BO＝3，
∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，
即AO2+BO2＝5，AO2+2AO•BO+BO2＝9，
∴2AO•BO＝4，
∴菱形的面积＝AC•BD＝2AO•BO＝4；
故答案为：4．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，
∴OE＝2，
∴点C（6，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
19．（3分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
20．（3分）对于实数a，b，定义运算“*“，a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 0 ．
【分析】求出x2﹣8x+16＝0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，
即x1＝x2＝4，
则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，
故答案为0．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算（﹣）﹣1﹣3tan60°+|﹣|+（2cos60°﹣2020）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂的规定、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣3×++（2×﹣2020）0
＝﹣2﹣3++（1﹣2020）2
＝﹣2﹣2+20190
＝﹣2﹣2+1
＝﹣1﹣2；
（2）解不等式≤1，得：x≥1，
解不等式是3x+2≥4，得：x≥，
则不等式组的解集为x≥1．
22．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心．OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）研究过短中，小明同学发现＝，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．
【分析】（1）过点O作OH⊥AB于H，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求OH＝＝OC，即可求结论．
（2）连接CD，EC，通过证明△DAC∽△CAE，可得，由DE＝AC＝3，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AB于H，
∵∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△AOC+S△ABO，
∴×3×4＝×3×+×5×OH，
∴OH＝，
∴OC＝OH，
且OH⊥BA，
∴AB是⊙O的切线；
（2）结论成立，
理由如下：连接CD，EC，
∵DE是直径，
∴∠ECD＝90°＝∠ACO，
∴∠ECO＝∠ACD，
∵OC＝OE，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴∠ACD＝∠CEO，
又∵∠DAC＝∠EAC，
∴△DAC∽△CAE，
∴，
∵OC＝，
∴DE＝2OC＝3＝AC，
∴＝，
故小明同学发现的结论是正确的．
23．（14分）勤劳是中生民的传統美德，学校要求学们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的作息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形統计图中m＝ 32 ，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是 57.6 度；
（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到B类和C类的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到m和α的值；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°×＝57.6°，
故答案为：32，57.6；
（4）400×＝224（人），
即该校七年級有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
24．（14分）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣5═40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
25．（12分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 10 ，第五个图中y的值为 15 ．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 y＝ ，当x＝48时，对应的y＝ 1128 ．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出y＝，再代入x＝48可求出当x＝48时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵1＝，3＝，6＝，10＝，15＝，
∴y＝，
当x＝48时，y＝＝1128．
故答案为：y＝；1128．
（3）依题意，得：＝190，
化简，得：x2﹣x﹣380＝0，
解得：x1＝20，x2＝﹣19（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
26．（14分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连结OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连结OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
27．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+x+4 ，顶点坐标为 （4，） ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式可求a，b的值，由配方法可求顶点坐标；
（2）由余角的性质可得∠MAO＝∠B，利用三角函数可求tan∠MAO＝tan∠NAO＝tan∠CAO＝，可得∠CAO＝∠NAO，可得AC与AN共线，即可求解；
（3）先求出OB解析式，AF解析式，联立方程组可求点F坐标，由四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
∵：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣4）2+，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：y＝﹣x2+x+4，（4，）；
（2）点N在直线AC上，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，
∴点A（0，4），即OA＝4，
∵点B（8，4），
∴AB∥x轴，AB＝8，
∴AB⊥AO，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAM＝90°，
∵AM⊥OB，
∴∠BAM+∠B＝90°，
∴∠B＝∠OAM，
∴tan∠B＝tan∠OAM＝＝＝，
∵将Rt△OMA沿y轴翻折，
∴∠NAO＝∠OAM，
∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝，
∵OC＝2，OA＝4，
∴tan∠CAO＝＝，
∴tan∠CAO＝tan∠NAO，
∴∠CAO＝∠NAO，
∴AN，AC共线，
∴点N在直线AC上；
（3）∵点B（8，4），点O（0，0），
∴直线OB解析式为y＝x，
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴AF∥OB，
∴直线AF的解析式为：y＝x+4，
联立方程组：
解得：或
∴点F（，），
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF
∴S△OMA＝S△DEF，四边形OAFD是平行四边形，
∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，
∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD＝4×＝22．
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