2021届高考考生暑期自学自测（南通教研室）卷一

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2021届高考考生暑期自学自测（南通教研室）卷一

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为(　　)

A.(1,+∞)　　B.(0,2)　　C.(1,3)　　D.(0,3)　　

2.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A.　　B.　　C.　　D.　　

3.设不同直线l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是“l1∥l2”的(　　)

A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件　　

C.充分必要条件　　    D.既不充分也不必要条件　　

4.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则　(　　)

A.∠A'DB≤α　　B.∠A'DB≥α　　C.∠A'CB≤α　　D.∠A'CB≥α　　

5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛　　B.22斛　　C.36斛　　D.66斛　　

6.若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为(　　)

A.4   B.    C.6    D.

7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=(　　)

A.-a2

B.-a2

C.a2

D.a2

8.设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=(　　)

A.[0,1]　　B.(0,1]　　C.[0,1)　　D.(-∞,1]　　

9.由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.　　

10.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为(　　)

A.　　B.2　　C.　　D.2

11.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象(　　)

A.向右平移个单位　　B.向左平移个单位　　

C.向右平移个单位　　D.向左平移个单位

12.如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　)

A.①②　　B.③④　　C.①②③　　D.①②④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________.

14.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为________.

15.若x,y满足约束条件则的最大值为________.

16.定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x<0时, f '(x)<x,则不等式f(x)+≥f(1-x)+x的解集为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)写出☉C的直角坐标方程;

(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.

18.已知数列{an}满足a1=a>2,an=(n≥2,n∈N*).

(1)求证:对任意n∈N*,an>2;

(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由;

(3)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:当a=3时,Sn<2n+.

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:

(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?

(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

=,=- .

20.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

21.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,∠BCD=120°.

(1)当BC=CD时,求△BCD的面积;

(2)设∠CBD=θ,记四边形ABCD的周长为f(θ),求f(θ)的表达式,并求出f(θ)的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

23. 选修4—5:不等式选讲（10分）

已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.