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2020年辽宁省丹东市中考数学试卷 解析版
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2020年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．2a2+a2＝3a4
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
5．（3分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（3分）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8，分别以B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则△BCE的内切圆半径是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：
①abc＞0；
②若点M（﹣，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③﹣＜a＜﹣；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）据有关报道，2020年某市斥资约5800000元改造老旧小区，数据5800000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ ．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b，且b＞0，则它的图象不经过第 象限．
12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是 ．
16．（3分）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2＝OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3＝OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4＝OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为 ．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
学习方式
老师直播教学课程
国家教育云平台教学课程
电视台播放教学课程
第三方网上课程
其他
根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有 人，其中选择B类型的有 人．
（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？
20．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是 ．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？
22．（10分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
24．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
七、（本题12分）
25．（12分）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
八、（本题14分）
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′O′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
2020年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．【解答】解：﹣5的绝对值|﹣5|＝5．
故选：B．
2．【解答】解：因为a3•a3＝a6≠2a3，故选项A计算不正确；
2a2+a2＝3a2≠3a4，故选项B计算不正确；
a9÷a3＝a6≠a3，故选项C计算不正确；
（﹣3a2）3＝﹣27a6，故选项D计算正确；
故选：D．
3．【解答】解：该几何体的俯视图为
故选：C．
4．【解答】解：根据题意得：9﹣3x≥0，
解得：x≤3．
故选：A．
5．【解答】解：∵从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，
∴抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是，
故选：C．
6．【解答】解：∵CO是△ABC的角平分线，
∴∠DCB＝∠DCA．
∵BD∥AC，
∴∠A＝∠DBA＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB．
∵∠AOD＝∠D+∠DBA，
∴∠D＝∠AOD﹣∠DBA
＝80°﹣45°
＝35°．
∴∠DCB＝35°．
∵∠D+∠DCB+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝110°．
故选：B．
7．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
由作图过程可得EB＝EC，
∵∠B＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△BCE的内切圆半径是×8××＝4．
故选：A．
8．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为：x＝﹣，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间，在抛物线上，
∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，
由二次函数图象可知，a＜0，
∴b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵点M（﹣，y1），在点C的下方，点N（，y2）在点C关于直线x＝2对称点的上方，
∴y1＜y2，故②正确；
∵，
解得：﹣＜a＜﹣，
故③正确；
∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2，
∴点A与点B关于直线x＝2对称，点D在直线x＝2上，
∴AB＝6，DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，
如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于AB＝3，即D（2，3），
则，
解得：，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，y＝，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾，
∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；
∴正确的有2个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【解答】解：数据5800000用科学记数法表示为：5.8×106．
故答案为：5.8×106．
10．【解答】解：原式＝mn（n2﹣4）
＝mn（n+2）（n﹣2）．
故答案为：mn（n+2）（n﹣2）．
11．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b，且b＞0，
∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
12．【解答】解：∵＝＝5，
∴＝×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2]＝，
∵＝5＜，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
13．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m≥﹣且m≠﹣1．
故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．
14．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝＝3，
∵cos∠OCB＝＝，
∴设BC＝4x，OC＝5x，则OB＝3x，
∴＝3，解得x＝，
∴BC＝2，OB＝，
∴C（，2），
∵sin∠CAB＝＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝AB﹣OB＝4﹣＝，
∴D（﹣，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣×2＝﹣10，
故答案为﹣10．
15．【解答】解：过点E作EH⊥BF于H．
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，
∴AD＝AC＝4，
∵DF＝FC，AE＝EC，
∴EF＝AD＝2，EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DAC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC＝2，
∴EF＝BE＝2，
∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，
∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝90°+30°＝120°，
∴∠EFB＝∠EBF＝30°，
∵EH⊥BF，
∴EH＝EF＝，FH＝EH＝，
∴BF＝2FH＝2，
∴S△EFB＝•BF•EH＝×2×＝2．
故答案为2．
16．【解答】解：在矩形OAA1B中，∵OA＝3，AA1＝2，
∴∠A＝90°，
∴OA1＝＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠OA1A2＝∠A＝90°，
∴△OA1A2∽△OAA1，
∴∠A1OA2＝∠AOA1，
∵A1B∥OA，
∴∠CA1C＝∠AOA1，
∴∠COA1＝∠CA1O，
∴OC＝CA1，
∵∠A2OA1+∠OA2A1＝90°，∠OA1C+∠A2A1C＝90°，
∴∠CA2A1＝∠CA1A2，
∴CA1＝CA2＝OC，
同法可证OC1＝A3C1，
∴CC1∥A2A3，CC1＝A2A3，
∴＝，
∵A1A2＝，
∴OA2＝＝＝，
∴A2A3＝×＝，
∴CC1＝A2A3＝，
∴＝＝××＝，
同法可证＝，
∵△A4A3C1∽△A3A2C，相似比为：，
∴＝（）2×＝，＝，…，
由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为．
故答案为．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝3x+10，
当x＝cos60°+6﹣1＝+＝时，
原式＝3×+10＝12．
18．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：
由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．
四、（每小题10分，共20分）
19．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有：240÷60%＝400（人），
其中选择B类型的有：400×10%＝40（人）；
故答案为：400，40；
（2）在扇形统计图中，D所对应的圆心角度数为：
360°×（1﹣60%﹣10%﹣20%﹣6%）＝14.4°，
∵400×20%＝80（人），
∴选择C三种学习方式的有80人．
∴补全的条形统计图如下：
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有：
1250×（60%+10%+20%）＝1125（人）．
答：选择A、B、C三种学习方式大约共有1125人．
20．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，
其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，
则P（小球上写的数字不大于3）＝；
故答案为：；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，
则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）＝＝．
五、（每小题10分，共20分）
21．【解答】解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是（x﹣150）人，依题意有
×1.5＝，
解得x＝450，
经检验，x＝450是原方程的解．
故八年级捐书人数是450人．
22．【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴tan∠FBC＝tan∠DBF＝＝，
∵DF＝2，
∴BD＝6，
设AB＝AF＝x，
∴AD＝x﹣2，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
解得：x＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
六、（每小题10分，共20分）
23．【解答】解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x，
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x，
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x＝14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
24．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
七、（本题12分）
25．【解答】（1）证明：如图1中，
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△BAB′（SAS），
∴DD′＝BB′．
（2）①解：如图2中，结论：CA′＝BM，∠BPC＝45°．
理由：设AC交BP于O．
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′＝AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴＝＝，∠A′CA＝∠ABM，
∴CA′＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°．
②解：如图3中，设AC交BP于O．
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴＝＝，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°．
③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H．
由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝AB＝2，
在Rt△A′AH中，A′H＝AA′＝1，AAH＝，
在Rt△AHC中，CH＝＝＝，
∴A′C＝A′H+CH＝+，
由②可知，A′C＝BM，
∴BM＝1+．
八、（本题14分）
26．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝﹣12x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）令y＝0，则有﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y＝﹣x+m，得到m＝2，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
由，解得或，
∴D（﹣1，）．
（3）设P（a，﹣a2+a+4），
则N（a，），F（a，﹣a+2），
∴PN＝﹣a2+a+4﹣＝﹣a2+a+，NF＝﹣（﹣a+2）＝a+，
∵N是线段PF的三等分点，
∴PN＝2NF或NF＝2PN，
∴﹣a2+a+＝a+1或a+＝﹣a2+2a+3，
解得a＝或﹣1或，
∵a＞0，
∴a＝或，
∴P（，+3）或（，）．
（4）如图2中，
∵A（﹣2，0），D（﹣1，），
∴直线AD的解析式为y＝x+5，
∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，
∴QQ′∥AD，
∵Q′（﹣，0），
∴直线QQ′的解析式为y＝x+2，设直线QQ′交抛物线于E，
由，解得或，
∴E（1，），
当点A′与D重合时，GM是△ADB的中位线，M（1，0），此时t＝，
当点Q′与E重合时，直线GM经过点（，），
∵GM⊥AD，
∴GM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，可得x＝，
∴M（，0），此时t＝＝，
观察图象可知，满足条件的t的值为≤t≤．
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．2a2+a2＝3a4
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
5．（3分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（3分）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8，分别以B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则△BCE的内切圆半径是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：
①abc＞0；
②若点M（﹣，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③﹣＜a＜﹣；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）据有关报道，2020年某市斥资约5800000元改造老旧小区，数据5800000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ ．
11．（3分）一次函数y＝﹣2x+b，且b＞0，则它的图象不经过第 象限．
12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是 ．
16．（3分）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2＝OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3＝OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4＝OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为 ．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
学习方式
老师直播教学课程
国家教育云平台教学课程
电视台播放教学课程
第三方网上课程
其他
根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有 人，其中选择B类型的有 人．
（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？
20．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是 ．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？
22．（10分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
24．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
七、（本题12分）
25．（12分）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
八、（本题14分）
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′O′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
2020年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．【解答】解：﹣5的绝对值|﹣5|＝5．
故选：B．
2．【解答】解：因为a3•a3＝a6≠2a3，故选项A计算不正确；
2a2+a2＝3a2≠3a4，故选项B计算不正确；
a9÷a3＝a6≠a3，故选项C计算不正确；
（﹣3a2）3＝﹣27a6，故选项D计算正确；
故选：D．
3．【解答】解：该几何体的俯视图为
故选：C．
4．【解答】解：根据题意得：9﹣3x≥0，
解得：x≤3．
故选：A．
5．【解答】解：∵从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，
∴抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是，
故选：C．
6．【解答】解：∵CO是△ABC的角平分线，
∴∠DCB＝∠DCA．
∵BD∥AC，
∴∠A＝∠DBA＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB．
∵∠AOD＝∠D+∠DBA，
∴∠D＝∠AOD﹣∠DBA
＝80°﹣45°
＝35°．
∴∠DCB＝35°．
∵∠D+∠DCB+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝110°．
故选：B．
7．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
由作图过程可得EB＝EC，
∵∠B＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△BCE的内切圆半径是×8××＝4．
故选：A．
8．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为：x＝﹣，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间，在抛物线上，
∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，
由二次函数图象可知，a＜0，
∴b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵点M（﹣，y1），在点C的下方，点N（，y2）在点C关于直线x＝2对称点的上方，
∴y1＜y2，故②正确；
∵，
解得：﹣＜a＜﹣，
故③正确；
∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2，
∴点A与点B关于直线x＝2对称，点D在直线x＝2上，
∴AB＝6，DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，
如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于AB＝3，即D（2，3），
则，
解得：，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，y＝，与点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾，
∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；
∴正确的有2个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【解答】解：数据5800000用科学记数法表示为：5.8×106．
故答案为：5.8×106．
10．【解答】解：原式＝mn（n2﹣4）
＝mn（n+2）（n﹣2）．
故答案为：mn（n+2）（n﹣2）．
11．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b，且b＞0，
∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
12．【解答】解：∵＝＝5，
∴＝×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2]＝，
∵＝5＜，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
13．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m≥﹣且m≠﹣1．
故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．
14．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝＝3，
∵cos∠OCB＝＝，
∴设BC＝4x，OC＝5x，则OB＝3x，
∴＝3，解得x＝，
∴BC＝2，OB＝，
∴C（，2），
∵sin∠CAB＝＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝AB﹣OB＝4﹣＝，
∴D（﹣，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣×2＝﹣10，
故答案为﹣10．
15．【解答】解：过点E作EH⊥BF于H．
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，
∴AD＝AC＝4，
∵DF＝FC，AE＝EC，
∴EF＝AD＝2，EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DAC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC＝2，
∴EF＝BE＝2，
∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，
∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝90°+30°＝120°，
∴∠EFB＝∠EBF＝30°，
∵EH⊥BF，
∴EH＝EF＝，FH＝EH＝，
∴BF＝2FH＝2，
∴S△EFB＝•BF•EH＝×2×＝2．
故答案为2．
16．【解答】解：在矩形OAA1B中，∵OA＝3，AA1＝2，
∴∠A＝90°，
∴OA1＝＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠OA1A2＝∠A＝90°，
∴△OA1A2∽△OAA1，
∴∠A1OA2＝∠AOA1，
∵A1B∥OA，
∴∠CA1C＝∠AOA1，
∴∠COA1＝∠CA1O，
∴OC＝CA1，
∵∠A2OA1+∠OA2A1＝90°，∠OA1C+∠A2A1C＝90°，
∴∠CA2A1＝∠CA1A2，
∴CA1＝CA2＝OC，
同法可证OC1＝A3C1，
∴CC1∥A2A3，CC1＝A2A3，
∴＝，
∵A1A2＝，
∴OA2＝＝＝，
∴A2A3＝×＝，
∴CC1＝A2A3＝，
∴＝＝××＝，
同法可证＝，
∵△A4A3C1∽△A3A2C，相似比为：，
∴＝（）2×＝，＝，…，
由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为．
故答案为．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝3x+10，
当x＝cos60°+6﹣1＝+＝时，
原式＝3×+10＝12．
18．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：
由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．
四、（每小题10分，共20分）
19．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有：240÷60%＝400（人），
其中选择B类型的有：400×10%＝40（人）；
故答案为：400，40；
（2）在扇形统计图中，D所对应的圆心角度数为：
360°×（1﹣60%﹣10%﹣20%﹣6%）＝14.4°，
∵400×20%＝80（人），
∴选择C三种学习方式的有80人．
∴补全的条形统计图如下：
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有：
1250×（60%+10%+20%）＝1125（人）．
答：选择A、B、C三种学习方式大约共有1125人．
20．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，
其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，
则P（小球上写的数字不大于3）＝；
故答案为：；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，
则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）＝＝．
五、（每小题10分，共20分）
21．【解答】解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是（x﹣150）人，依题意有
×1.5＝，
解得x＝450，
经检验，x＝450是原方程的解．
故八年级捐书人数是450人．
22．【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴tan∠FBC＝tan∠DBF＝＝，
∵DF＝2，
∴BD＝6，
设AB＝AF＝x，
∴AD＝x﹣2，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
解得：x＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
六、（每小题10分，共20分）
23．【解答】解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x，
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x，
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x＝14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
24．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
七、（本题12分）
25．【解答】（1）证明：如图1中，
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△BAB′（SAS），
∴DD′＝BB′．
（2）①解：如图2中，结论：CA′＝BM，∠BPC＝45°．
理由：设AC交BP于O．
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′＝AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴＝＝，∠A′CA＝∠ABM，
∴CA′＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°．
②解：如图3中，设AC交BP于O．
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴＝＝，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°．
③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H．
由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝AB＝2，
在Rt△A′AH中，A′H＝AA′＝1，AAH＝，
在Rt△AHC中，CH＝＝＝，
∴A′C＝A′H+CH＝+，
由②可知，A′C＝BM，
∴BM＝1+．
八、（本题14分）
26．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝﹣12x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）令y＝0，则有﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y＝﹣x+m，得到m＝2，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
由，解得或，
∴D（﹣1，）．
（3）设P（a，﹣a2+a+4），
则N（a，），F（a，﹣a+2），
∴PN＝﹣a2+a+4﹣＝﹣a2+a+，NF＝﹣（﹣a+2）＝a+，
∵N是线段PF的三等分点，
∴PN＝2NF或NF＝2PN，
∴﹣a2+a+＝a+1或a+＝﹣a2+2a+3，
解得a＝或﹣1或，
∵a＞0，
∴a＝或，
∴P（，+3）或（，）．
（4）如图2中，
∵A（﹣2，0），D（﹣1，），
∴直线AD的解析式为y＝x+5，
∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，
∴QQ′∥AD，
∵Q′（﹣，0），
∴直线QQ′的解析式为y＝x+2，设直线QQ′交抛物线于E，
由，解得或，
∴E（1，），
当点A′与D重合时，GM是△ADB的中位线，M（1，0），此时t＝，
当点Q′与E重合时，直线GM经过点（，），
∵GM⊥AD，
∴GM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，可得x＝，
∴M（，0），此时t＝＝，
观察图象可知，满足条件的t的值为≤t≤．
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