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2020届二轮复习（理）专题四第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积学案
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专题四 立体几何与空间向量
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查：(1)空间几何体的三视图并结合几何量(线段长度、表面积、体积等)的计算等．(2)球与多面体的组合，并结合考查球的表面积和体积的计算等． 2.从高考特点上，题型为选择题或填空题，难度中等，分值约5分.
核心知识回顾
1.空间几何体的三视图
(1)空间几何体三视图的画法规则
①长对正，即正(主)视图和俯视图的长相等；
②高平齐，即正(主)视图和侧(左)视图的高相等；
③宽相等，即侧(左)视图和俯视图的宽相等；
④看不见的轮廓线要用虚线表示．
(2)空间几何体三视图的摆放规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．
2．空间几何体的表面积
(1)多面体的表面积为各个面的面积的和．
(2)圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中，r为底面半径，l为圆柱的高)．
(3)圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l)．
(4)圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中圆台的上、下底面半径分别为r′和r，母线长为l)．
(5)球的表面积公式：S＝4πR2(其中球的半径为R)．
3．空间几何体的体积
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V球＝πR3(其中R为球的半径)．
热点考向探究
考向1 空间几何体的三视图
例1 (1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为( )
A．②①① B．②①②
C．②④① D．③①①
答案 A
解析 由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C；俯视图应当是①，排除B.故选A.
(2)(2019·湖南永州高三第三次模拟)正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图(由左往右看)是( )
答案 A
解析 从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线．故选A.
(1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算．
(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则．
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
答案 C
解析 若俯视图为C中的图形，则对应的几何体为如图所示的正方体(棱长为2)中的四棱锥P－ABCD，所以该四棱锥的体积V＝·S正方形ABCD·PA＝×(2×2)×2＝，显然符合题意．经验证知其他选项不满足题意．故选C.
2.如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )
答案 C
解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.
考向2 空间几何体的表面积与体积
例2 (1)(2019·湖南永州高三第三次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半个圆柱中间去掉半个圆锥，则半个圆柱体积为V1＝π×12×2＝π，半个圆锥体积为V2＝×π×12×2＝，则该几何体的体积为V＝V1－V2＝.故选D.
(2)(2019·重庆南开中学高三第三次教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．42 B．45
C．46 D．48
答案 C
解析 由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM－CDGF，所以该几何体的体积为4×3×4－××2×3×2＝48－2＝46.故选C.
(3)(2019·山东省济宁市高三第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．24＋9π B．12＋9π
C．12＋5π D．24＋4π
答案 B
解析 由三视图可知，几何体是一个高为3，底面半径为4的圆锥的，故该几何体的表面积S＝×3×4＋×3×4＋×π×42＋×π×4×＝12＋9π.故选B.
(1)由三视图求表面积和体积时，解题的关键是对所给三视图进行分析，得到几何体的直观图．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面积时要注意重合部分的面积．
(3)求规则几何体的体积，只需确定底面积与相应的高，而一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形的方法，转化求解．
1.(2019·马鞍山高考数学一模)如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )
A．(2＋)π
B．(2＋2)π
C．(4＋)π
D．(4＋2)π
答案 D
解析 由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体．其中底面圆的半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以组合体的表面积为S＝2×π×1×＋2π×1×2＝2π＋4π.故选D.
2．某几何体的三视图如图所示(在如图的网格纸中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．54
C．60 D．64
答案 C
解析 还原几何体如图所示，该几何体是底面为矩形的四棱锥．所以该几何体的表面积S＝3×6＋×6×4＋×5×3×2＋×6×5＝18＋12＋15＋15＝60.故选C.
3.(2019·毛坦厂中学高三4月联考)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3,27立方寸＝1升，则商鞅铜方升的容积约为( )
A．0.456升 B．0.467升
C．0.486升 D．0.487升
答案 B
解析 由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成(如图所示)，故其体积V≈(5.4－1.6)×3×1＋3×（）2×1.6＝12.6(立方寸)，12.6÷27≈0.467(升)．故选B.
考向3 多面体与球
例3 (1)(2019·河北省唐山市高三第二次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．16π B．14π
C．10π D．8π
答案 C
解析 将三视图还原为如图所示的几何体，该几何体为半个球挖去一个圆锥，球半径为R＝，圆锥底面半径r＝1，由题知母线长为2，则该几何体的表面积S＝×4πR2＋πR2－πr2＋×2πr×2＝10π，故选C.
(2)(2019·安徽省马鞍山市高考一模)在三棱锥A－BCD中，BC⊥BD，AB＝AD＝BD＝4，BC＝6，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球体积为( )
A．36π B.
C. D．288π
答案 C
解析 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD，∵AB＝AD＝BD＝4，所以△ABD是边长为4的等边三角形，由正弦定理得△ABD的外接圆的直径为2r＝＝8，所以该球的直径为2R＝＝10，则R＝5.因此，三棱锥A－BCD的外接球体积为V＝πR3＝π×53＝.故选C.
多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
1.(2018·襄阳五中一模)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A．π B．3π
C．5π D．7π
答案 D
解析 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，得OB＝，所以外接球半径为R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π×＝7π.故选D.
2．表面积为16π的球面上有四个点P，A，B，C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面PAB⊥平面ABC，则棱锥P－ABC体积的最大值为________．
答案 3
解析 设球半径为r，∵4πr2＝16π，∴r＝2.
又∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴△ABC外接圆半径r1＝2××＝2，
∵r＝r1，∴外接球的球心，即为△ABC外接圆圆心．当P在AB上投影在AB中点时，棱锥高达到最大，体积最大．设高为h，则h2＝4－1＝3，∴h＝.
∴V＝××(2)2×＝3.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．240 B．220
C．200 D．260
答案 A
解析 根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2，下底为8，高为4，腰为5，所以表面积S＝2××(2＋8)×4＋2×10＋8×10＋2×(5×10)＝240.故选A.
2．(2019·东北三省四市高三第一次模拟)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵．其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为2；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π.
其中所有正确结论的编号为( )
A．①②③ B．②③
C．①③④ D．①②④
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，对于①，易证AB⊥平面PAD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；对于②，PB＝＝2，故正确；对于③，四个侧面中没有全等的三角形，故错误；对于④，外接球的直径为PB＝2，故外接球的表面积为24π，正确，故选D.
3．(2019·江西八所重点中学高三4月联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由三视图得该四面体的直观图如图，图中三角形ABC是等腰三角形，且三角形的中线AO是三棱锥A－BCD的高，且AO＝2，底面△BCD是直角边为2的等腰直角三角形，6条棱长分别是BC＝CD＝2，AB＝AC＝，BD＝2，AD＝3，该四面体最长的棱长与最短的棱长分别为3,2，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是，故选D.
4．(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
答案 40
解析 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
『金版押题』
5．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )
A．2＋ B．2＋
C．4＋ D．4＋
答案 A
解析 该几何体由一个三棱柱和半个圆柱组成，其中三棱柱底面为等腰直角三角形，高为2，圆柱底面半径为1，高为1.∴V＝V三棱柱＋V圆柱＝×××2＋×π×12×1＝2＋.故选A.
6．一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图，该几何体的直观图是三棱锥P－ABC.主视图是边长为2的正三角形PAC，平面PAC⊥平面ABC，三棱锥的高是，其中DA＝DB＝DC＝1，PD⊥平面ABC，球心O在PD上，设球的半径为r，则r2＝(－r)2＋12，解得r＝，故V＝.故选B.
配套作业
一、选择题
1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 C
解析 侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A．3 B．3
C．9 D．9
答案 A
解析 由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S＝×(2＋4)×1＝3，高h＝3，故其体积V＝Sh＝3，故选A.
3．(2019·成都市外国语学校高三一诊)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16π－ B．16π－
C．8π－ D．8π－
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V＝×π×22×4－×42×2＝8π－.故选D.
4．(2019·安徽马鞍山高中毕业班第二次教学质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )
A．20 B．22
C．24 D．19＋2
答案 B
解析 通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”．所以表面积S＝×(1＋2)×2×2＋×(1＋2)×2×2＋4＋3＋×××2＝22.故选B.
5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于( )
A．4＋(cm3) B．4＋(cm3)
C．6＋(cm3) D．6＋(cm3)
答案 D
解析 根据该几何体的三视图，可得该几何体是一个直三棱柱与一个半圆柱的组合体，该直三棱柱的底面是边长为2 cm的等腰直角三角形，高为3 cm，半圆柱的底面半圆的半径为1 cm，高为3 cm，因此该几何体的体积V＝×2×2×3＋×π×12×3＝6＋(cm3)．故选D.
6．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．6π B．4＋4π
C．8＋6π D．4＋6π
答案 C
解析 由三视图知该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱上下部各截去一个高为2的半圆柱，如图所示，则该几何体的表面积为2π×12＋2π×1×2＋2×2×2＝8＋6π，故选C.
7．(2019·广东东莞市高三教学质量监测)如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A. B.
C. D．R
答案 D
解析 如题图，设球的球心为O，体积为V，上面圆锥的高为h，体积为V1，下面圆锥的高为H，体积为V2；圆锥的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知，h＋H＝2R，|OO1|＝H－R，由题意可知，V1＋V2＝V⇒πr2h＋πr2H＝×πR3⇒r2(h＋H)＝R3，而h＋H＝2R，∴r＝R，由于OO1垂直于圆锥的底面，所以OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知，R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2⇒H＝R，可知h＝R，这两个圆锥高之差的绝对值为R，故选D.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，三视图对应的几何体为ABCDEF，其体积为×43－××42×2＝.故选D.
9．(2019·江西南昌外国语学校高三高考适应性测试)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A．4π B．6π
C．8π D．9π
答案 B
解析 如图，取AC的中点D，连接SD，BD.因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－，在Rt△SDC中，SD＝＝＝，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝＝－，解得SB＝，在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝()2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝＝，EC＝＝，所以点E为该球的球心，半径为，所以该球的表面积为S＝4×π×（）2＝6π，故选B.
10．(2019·广州高中毕业班综合测试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A. B．7π
C. D．8π
答案 B
解析 由题意可知，几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为1，圆柱的高为2，可得该几何体的表面积为×4π×12＋2×π×12＋2π×2＝7π.故选B.
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为( )
A．27π B．30π
C．32π D．34π
答案 D
解析 根据三视图可知，此多面体为三棱锥A－BCD，且侧面ABC⊥底面BCD，△ABC与△BCD都为等腰三角形，如图所示．根据题意可知，三棱锥A－BCD的外接球的球心O位于过△BCD的外心O′，且垂直于底面BCD的垂线上，取BC的中点M′，连接AM′，DM′，OO′，O′B，易知O′在DM′上，过O作OM⊥AM′于点M，连接OA，OB，根据三视图可知M′D＝4，BD＝CD＝2，故sin∠BCD＝，
设△BCD的外接圆半径为r，根据正弦定理可知，2r＝＝5，故BO′＝r＝，M′O′＝，设OO′＝x，该多面体的外接球半径为R，在Rt△BOO′中，R2＝2＋x2，在Rt△AMO中，R2＝2＋(4－x)2，所以R＝，故该多面体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.故选D.
12．(2019·大兴区高三4月一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )
A. B．2
C．3 D．2
答案 B
解析 由三视图得该几何体的直观图是图中的三棱锥A－BCD，所以CD＝3，BD＝＝，AB＝＝，AC＝ ＝3，
BC＝＝2，
AD＝＝2.所以AD是最长的棱，即三棱锥最长棱的棱长为2，故选B.
二、填空题
13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．
答案 50π
解析 由题意知，该几何体是三棱锥S－ABC，将其放入长方体中，情形如图所示．于是该长方体的对角线长为＝5.长方体的外接球也就是该三棱锥的外接球，于是其半径为，从而外接球的表面积是50π.
14．(2019·玉溪一中高三下学期第五次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．
答案
解析 画出三视图对应的直观图如图所示三棱锥A－BCD.故体积为××1×2×2＝.
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查：(1)空间几何体的三视图并结合几何量(线段长度、表面积、体积等)的计算等．(2)球与多面体的组合，并结合考查球的表面积和体积的计算等． 2.从高考特点上，题型为选择题或填空题，难度中等，分值约5分.
核心知识回顾
1.空间几何体的三视图
(1)空间几何体三视图的画法规则
①长对正，即正(主)视图和俯视图的长相等；
②高平齐，即正(主)视图和侧(左)视图的高相等；
③宽相等，即侧(左)视图和俯视图的宽相等；
④看不见的轮廓线要用虚线表示．
(2)空间几何体三视图的摆放规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．
2．空间几何体的表面积
(1)多面体的表面积为各个面的面积的和．
(2)圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中，r为底面半径，l为圆柱的高)．
(3)圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l)．
(4)圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中圆台的上、下底面半径分别为r′和r，母线长为l)．
(5)球的表面积公式：S＝4πR2(其中球的半径为R)．
3．空间几何体的体积
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V球＝πR3(其中R为球的半径)．
热点考向探究
考向1 空间几何体的三视图
例1 (1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为( )
A．②①① B．②①②
C．②④① D．③①①
答案 A
解析 由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C；俯视图应当是①，排除B.故选A.
(2)(2019·湖南永州高三第三次模拟)正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图(由左往右看)是( )
答案 A
解析 从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线．故选A.
(1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算．
(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则．
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
答案 C
解析 若俯视图为C中的图形，则对应的几何体为如图所示的正方体(棱长为2)中的四棱锥P－ABCD，所以该四棱锥的体积V＝·S正方形ABCD·PA＝×(2×2)×2＝，显然符合题意．经验证知其他选项不满足题意．故选C.
2.如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )
答案 C
解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.
考向2 空间几何体的表面积与体积
例2 (1)(2019·湖南永州高三第三次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半个圆柱中间去掉半个圆锥，则半个圆柱体积为V1＝π×12×2＝π，半个圆锥体积为V2＝×π×12×2＝，则该几何体的体积为V＝V1－V2＝.故选D.
(2)(2019·重庆南开中学高三第三次教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．42 B．45
C．46 D．48
答案 C
解析 由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM－CDGF，所以该几何体的体积为4×3×4－××2×3×2＝48－2＝46.故选C.
(3)(2019·山东省济宁市高三第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．24＋9π B．12＋9π
C．12＋5π D．24＋4π
答案 B
解析 由三视图可知，几何体是一个高为3，底面半径为4的圆锥的，故该几何体的表面积S＝×3×4＋×3×4＋×π×42＋×π×4×＝12＋9π.故选B.
(1)由三视图求表面积和体积时，解题的关键是对所给三视图进行分析，得到几何体的直观图．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面积时要注意重合部分的面积．
(3)求规则几何体的体积，只需确定底面积与相应的高，而一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形的方法，转化求解．
1.(2019·马鞍山高考数学一模)如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )
A．(2＋)π
B．(2＋2)π
C．(4＋)π
D．(4＋2)π
答案 D
解析 由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体．其中底面圆的半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以组合体的表面积为S＝2×π×1×＋2π×1×2＝2π＋4π.故选D.
2．某几何体的三视图如图所示(在如图的网格纸中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．54
C．60 D．64
答案 C
解析 还原几何体如图所示，该几何体是底面为矩形的四棱锥．所以该几何体的表面积S＝3×6＋×6×4＋×5×3×2＋×6×5＝18＋12＋15＋15＝60.故选C.
3.(2019·毛坦厂中学高三4月联考)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3,27立方寸＝1升，则商鞅铜方升的容积约为( )
A．0.456升 B．0.467升
C．0.486升 D．0.487升
答案 B
解析 由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成(如图所示)，故其体积V≈(5.4－1.6)×3×1＋3×（）2×1.6＝12.6(立方寸)，12.6÷27≈0.467(升)．故选B.
考向3 多面体与球
例3 (1)(2019·河北省唐山市高三第二次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．16π B．14π
C．10π D．8π
答案 C
解析 将三视图还原为如图所示的几何体，该几何体为半个球挖去一个圆锥，球半径为R＝，圆锥底面半径r＝1，由题知母线长为2，则该几何体的表面积S＝×4πR2＋πR2－πr2＋×2πr×2＝10π，故选C.
(2)(2019·安徽省马鞍山市高考一模)在三棱锥A－BCD中，BC⊥BD，AB＝AD＝BD＝4，BC＝6，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球体积为( )
A．36π B.
C. D．288π
答案 C
解析 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD，∵AB＝AD＝BD＝4，所以△ABD是边长为4的等边三角形，由正弦定理得△ABD的外接圆的直径为2r＝＝8，所以该球的直径为2R＝＝10，则R＝5.因此，三棱锥A－BCD的外接球体积为V＝πR3＝π×53＝.故选C.
多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
1.(2018·襄阳五中一模)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A．π B．3π
C．5π D．7π
答案 D
解析 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，得OB＝，所以外接球半径为R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π×＝7π.故选D.
2．表面积为16π的球面上有四个点P，A，B，C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面PAB⊥平面ABC，则棱锥P－ABC体积的最大值为________．
答案 3
解析 设球半径为r，∵4πr2＝16π，∴r＝2.
又∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴△ABC外接圆半径r1＝2××＝2，
∵r＝r1，∴外接球的球心，即为△ABC外接圆圆心．当P在AB上投影在AB中点时，棱锥高达到最大，体积最大．设高为h，则h2＝4－1＝3，∴h＝.
∴V＝××(2)2×＝3.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．240 B．220
C．200 D．260
答案 A
解析 根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2，下底为8，高为4，腰为5，所以表面积S＝2××(2＋8)×4＋2×10＋8×10＋2×(5×10)＝240.故选A.
2．(2019·东北三省四市高三第一次模拟)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵．其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为2；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π.
其中所有正确结论的编号为( )
A．①②③ B．②③
C．①③④ D．①②④
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，PD⊥平面ABCD，PD＝2，对于①，易证AB⊥平面PAD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；对于②，PB＝＝2，故正确；对于③，四个侧面中没有全等的三角形，故错误；对于④，外接球的直径为PB＝2，故外接球的表面积为24π，正确，故选D.
3．(2019·江西八所重点中学高三4月联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由三视图得该四面体的直观图如图，图中三角形ABC是等腰三角形，且三角形的中线AO是三棱锥A－BCD的高，且AO＝2，底面△BCD是直角边为2的等腰直角三角形，6条棱长分别是BC＝CD＝2，AB＝AC＝，BD＝2，AD＝3，该四面体最长的棱长与最短的棱长分别为3,2，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是，故选D.
4．(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
答案 40
解析 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
『金版押题』
5．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )
A．2＋ B．2＋
C．4＋ D．4＋
答案 A
解析 该几何体由一个三棱柱和半个圆柱组成，其中三棱柱底面为等腰直角三角形，高为2，圆柱底面半径为1，高为1.∴V＝V三棱柱＋V圆柱＝×××2＋×π×12×1＝2＋.故选A.
6．一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图，该几何体的直观图是三棱锥P－ABC.主视图是边长为2的正三角形PAC，平面PAC⊥平面ABC，三棱锥的高是，其中DA＝DB＝DC＝1，PD⊥平面ABC，球心O在PD上，设球的半径为r，则r2＝(－r)2＋12，解得r＝，故V＝.故选B.
配套作业
一、选择题
1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 C
解析 侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A．3 B．3
C．9 D．9
答案 A
解析 由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S＝×(2＋4)×1＝3，高h＝3，故其体积V＝Sh＝3，故选A.
3．(2019·成都市外国语学校高三一诊)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16π－ B．16π－
C．8π－ D．8π－
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V＝×π×22×4－×42×2＝8π－.故选D.
4．(2019·安徽马鞍山高中毕业班第二次教学质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )
A．20 B．22
C．24 D．19＋2
答案 B
解析 通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”．所以表面积S＝×(1＋2)×2×2＋×(1＋2)×2×2＋4＋3＋×××2＝22.故选B.
5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于( )
A．4＋(cm3) B．4＋(cm3)
C．6＋(cm3) D．6＋(cm3)
答案 D
解析 根据该几何体的三视图，可得该几何体是一个直三棱柱与一个半圆柱的组合体，该直三棱柱的底面是边长为2 cm的等腰直角三角形，高为3 cm，半圆柱的底面半圆的半径为1 cm，高为3 cm，因此该几何体的体积V＝×2×2×3＋×π×12×3＝6＋(cm3)．故选D.
6．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．6π B．4＋4π
C．8＋6π D．4＋6π
答案 C
解析 由三视图知该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱上下部各截去一个高为2的半圆柱，如图所示，则该几何体的表面积为2π×12＋2π×1×2＋2×2×2＝8＋6π，故选C.
7．(2019·广东东莞市高三教学质量监测)如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A. B.
C. D．R
答案 D
解析 如题图，设球的球心为O，体积为V，上面圆锥的高为h，体积为V1，下面圆锥的高为H，体积为V2；圆锥的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知，h＋H＝2R，|OO1|＝H－R，由题意可知，V1＋V2＝V⇒πr2h＋πr2H＝×πR3⇒r2(h＋H)＝R3，而h＋H＝2R，∴r＝R，由于OO1垂直于圆锥的底面，所以OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知，R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2⇒H＝R，可知h＝R，这两个圆锥高之差的绝对值为R，故选D.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，三视图对应的几何体为ABCDEF，其体积为×43－××42×2＝.故选D.
9．(2019·江西南昌外国语学校高三高考适应性测试)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A．4π B．6π
C．8π D．9π
答案 B
解析 如图，取AC的中点D，连接SD，BD.因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－，在Rt△SDC中，SD＝＝＝，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝＝－，解得SB＝，在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝()2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝＝，EC＝＝，所以点E为该球的球心，半径为，所以该球的表面积为S＝4×π×（）2＝6π，故选B.
10．(2019·广州高中毕业班综合测试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A. B．7π
C. D．8π
答案 B
解析 由题意可知，几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为1，圆柱的高为2，可得该几何体的表面积为×4π×12＋2×π×12＋2π×2＝7π.故选B.
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为( )
A．27π B．30π
C．32π D．34π
答案 D
解析 根据三视图可知，此多面体为三棱锥A－BCD，且侧面ABC⊥底面BCD，△ABC与△BCD都为等腰三角形，如图所示．根据题意可知，三棱锥A－BCD的外接球的球心O位于过△BCD的外心O′，且垂直于底面BCD的垂线上，取BC的中点M′，连接AM′，DM′，OO′，O′B，易知O′在DM′上，过O作OM⊥AM′于点M，连接OA，OB，根据三视图可知M′D＝4，BD＝CD＝2，故sin∠BCD＝，
设△BCD的外接圆半径为r，根据正弦定理可知，2r＝＝5，故BO′＝r＝，M′O′＝，设OO′＝x，该多面体的外接球半径为R，在Rt△BOO′中，R2＝2＋x2，在Rt△AMO中，R2＝2＋(4－x)2，所以R＝，故该多面体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.故选D.
12．(2019·大兴区高三4月一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )
A. B．2
C．3 D．2
答案 B
解析 由三视图得该几何体的直观图是图中的三棱锥A－BCD，所以CD＝3，BD＝＝，AB＝＝，AC＝ ＝3，
BC＝＝2，
AD＝＝2.所以AD是最长的棱，即三棱锥最长棱的棱长为2，故选B.
二、填空题
13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．
答案 50π
解析 由题意知，该几何体是三棱锥S－ABC，将其放入长方体中，情形如图所示．于是该长方体的对角线长为＝5.长方体的外接球也就是该三棱锥的外接球，于是其半径为，从而外接球的表面积是50π.
14．(2019·玉溪一中高三下学期第五次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．
答案
解析 画出三视图对应的直观图如图所示三棱锥A－BCD.故体积为××1×2×2＝.
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