2020届二轮复习（理）第5讲选择题的解题方法学案

第5讲　选择题的解题方法

「题型特点解读」　　选择题在高考中题目数量多，占分比例高，概括性强，知识覆盖面广，注重多个知识点的小型综合．我们在解题时要充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，选最简解法，以准确、迅速为宗旨，绝不能“小题大做”．

方法1  直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．

例1　(1)(2019·开封市高三第三次模拟)空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图：

给出下列四个结论：

①该地区在该月2日空气质量最好；②该地区在该月24日空气质量最差；③该地区从该月7日到12日AQI持续增大；④该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关．

其中所有正确结论的编号为(　　)

A．①② B．①②③

C．①②④ D．③④

答案　B

解析　对于①，由于2日的空气质量指数AQI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以正确；对于②，由于24日的空气质量指数AQI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以正确；对于③，从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI持续增大，所以正确；对于④，从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关，所以错误．故选B.

(2)(2019·洛阳市高三第三次统一考试)若m，n，p∈(0，1)，且log3m＝log5n＝lg p，则(　　)

答案　A

解析　设log3m＝log5n＝lg p＝a(a<0)，所以m＝3a，n＝5a，

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法

直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等．

1．(2019·北京丰台区高三上学期期末)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝|OF|，则此双曲线的离心率为(　　)

A. B．

C．2 D．

答案　C

解析　在Rt△OAF中，tan∠AOF＝，所以cos∠AOF＝＝，且|OF|＝c，所以|OA|＝a.根据题意有a＝c，即离心率＝2.

2．(2019·西安市高三第三次质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为(　　)

A．90° B．60°

C．45° D．30°

答案　B

解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ON∥CD，MN∥AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，BO⊥AC，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝，所以BD＝2，则OM＝BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.

方法2  排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．

例2　(1)(2019·南宁模拟)设函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)∪(2，＋∞)

B．(0,2)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

D．(－1,3)

答案　C

解析　取x0＝1，则f(1)＝＋1＝＜3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.

(2)已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c<0

D．a<0，b<0，c<0

答案　C

解析　依题意x≠－c，故－c>0，则c<0，排除B；f(0)＝>0，故b>0，排除D；当x→＋∞时，f(x)<0，则a<0，排除A.综上所述，故选C.

排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况

(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．

(2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．

1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)

A.∪(2，＋∞)  　　 B．(2，＋∞)

C.  　　 D.

答案　A

解析　解法一：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a与b不反向，所以－2λ－1<0且λ≠2，解得λ∈∪(2，＋∞)．

解法二：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A.

2．函数f(x)＝的图象大致是(　　)

答案　D

解析　由函数的解析式得，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)在定义域内是偶函数．当x＝±1时，f(x)＝0，当x∈(0,1)∪(－1,0)时，f(x)<0，可排除B，C；当x→0时，f(x)→0，排除A，选D.

方法3  特值法

从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．

例3　(1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z

C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y

答案　A

解析　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.

(2)(2019·蚌埠高三下学期第二次质检)函数y＝，x∈(－π，π)的图象大致为(　　)

答案　D

解析　设y＝f(x)＝，则f(－x)＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A.由f＝＝>0，排除B.由f＝＝>0，排除C，故选D.

在题设条件成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略．

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是(　　)

A．a＋c＞2b B．a＋c＜2b

C．a＋c≥2b D．a＋c≤2b

答案　D

解析　不妨令A＝B＝C＝60°，则可排除A，B；再令A＝30°，B＝60°，C＝90°，可排除C，故选D.

2．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　)

A.＜＜ B．＜＜

C.＝＝ D．＜＜

答案　B

解析　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时C正确．取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时A正确．取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时D正确．综上，利用排除法可知选B.

方法4  数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．

例4　(1)已知动点P在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足||＝1，·＝0，则||的最小值是(　　)

A. B．

C．2 D．3

答案　C

解析　由||＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则·＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使||取得最小值，需使||取得最小值，而||的最小值为6－3＝3，此时||＝2，故选C.

(2)(2019·西安市高三第三次质量检测)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

答案　A

解析　因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数．

又x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，所以函数f(x)的图象如图所示．

再作出y＝log3|x|的图象，易得两函数图象有4个交点，所以方程f(x)＝log3|x|有4个根．故选A.

利用数形结合思想解决最值问题的一般思路

利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．

(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．

(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．

1．(2019·开封市高三第三次模拟)已知a＝2ln 3，b＝3ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>c>b B．b>c>a

C．c>a>b D．c>b>a

答案　C

解析　由题意得a＝ln 9，b＝ln 8，∴a>b.c－a＝－2ln 3＝2＝2·，设f(x)＝x－eln x，

∴f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝e，故f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(e)＝0，又x→0和x→＋∞时，f(x)→＋∞，作出f(x)的大致图象如图所示．故当x>e时，f(x)>0，∵3>e，∴f(3)>0，即3－eln 3>0，

∴c－a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选C.

2．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

A. B．－

C．± D．－

答案　B

解析　根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝sin∠AOB≤，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝，点O到直线l的距离为，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－.

方法5  估算法

由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．

例5　(1)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)

A. B．5

C．6 D．

答案　D

解析　连接BE，CE，问题转化为求四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，设四棱锥E－ABCD的高为h，则V四棱锥E－ABCD＝S正方形ABCD·h＝×9×2＝6，所以只有D符合题意．

(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)＞1对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

答案　A

解析　因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以＝π，解得ω＝2.

故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由f(x)＞1，可得sin(2x＋φ)＞0.

又x∈，所以2x∈.

对于B，D，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意；对于C，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意．选A.

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．可从题设条件估计大致范围、大致区间等，也可找端点、极限位置，从而达到求解的目的．

1．(2019·全国卷Ⅰ) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

答案　B

解析　设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890.

由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得>≈0.618，解得n<42.071.由已知可得＝≈0.618，解得m<178.218.综上，此人身高m满足169.890<m<178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.

2．已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠AFC＝∠BFC＝30°，则三棱锥F－ABC的体积为(　　)

A．3 B．2

C． D．1

答案　C

解析　解法一：(一般法)根据题意画出图象如图所示，因为FC为球的直径，所以∠FAC＝∠FBC＝90°.

又∠AFC＝∠BFC＝30°，所以AC＝BC＝2，FA＝FB＝2，设D为AB的中点，连接FD，则FD⊥AB，由FD2＝FA2－AD2得FD＝，所以S△FAB＝AB·FD＝.连接球心O与底面三角形FAB的外接圆圆心O1，可知OO1⊥底面FAB，则三棱锥C－FAB的高h与OO1平行，又O为FC的中点，易知h＝2OO1，经计算可得OO1＝，所以三棱锥C－FAB的高h＝2OO1＝，所以V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB＝S△FAB·h＝××＝.故选C.

解法二：(估算法)观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出三棱锥F－ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．计算完S△FAB＝AB·FD＝后，我们将三棱锥C－FAB的高h近似认为是AC，则V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB≈S△FAB·AC＝××2＝，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C.