2020届二轮复习数列（一）学案（全国通用）


年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
数列的定义
教学目的

教学内容
一、 知识网络


二、命题分析
数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点．历年
来，数列在高考中的题型有如下特征：
1．每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点．
2．每年必出一道解答题，题目往往与函数、导数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力．相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查．
3．从新考纲的要求来看，2018年高考仍将延续这些特征，并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力．

三、复习建议
针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点：
1．重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质．
2．重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确．
3．重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会．

四、知识讲解
第一节 数列的概念与简单表示法
（一）高考目标
考纲解读
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
考向预测
1．已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项．
2．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想．
3．由数列的递推关系式求数列的通项公式的是本节重点，也是本节难点．

（二）课前自主预习
知识梳理
1．数列的定义
按照 排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )．
2．数列与函数的关系
在函数意义下，数列是定义域为N＋(或它的 )的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取 时所对应的一列 f(1)，f(2)，…，f(n)……通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为 ，简记为{an}，其中an是数列的第 项．
3．数列的分类
分类
原则
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数
无穷数列
项数
项与项间的大小关系
递增数列

其中n∈N*
递减数列

常数列
an＋1＝an
其他
标准
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
4.数列的表示法
(1)数列的一般形式可以写成：
(2)数列的表示法分别为 、
5．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
6．数列的递推公式
若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n>1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．


（三）基础自测
1．(2018·安徽文)设数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)
A．15　　　　　B．16 C．49　　　 D．64
[答案]　A
[解析]　a8＝S8－S7＝64－49＝15，a8＝15.
2．数列，－，，－，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n＋1 B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n＋1 D．an＝(－1)n
[答案]　C
3．若数列{an}(n∈N*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an＋1)在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是(　　)
A．当且仅当n＝1时，Sn最小 B．当且仅当n＝8时，Sn最大
C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大 D．Sn有最小值，无最大值
[答案]　C
[解析]　由题意得：an－an＋1－2＝0，则an＋1－an＝－2，所以数列{an}是以a1＝14，d＝－2的等差数列，
则Sn＝14n＋×(－2)＝－n2＋15n，所以当且仅当n＝7或8时，Sn最大．
4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
A．1　 　 　B.　 　 　C.　 　 　D.
[答案]　B
[解析]　S5＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝.
5．将全体正整数排成一个三角形数阵：
　　　　　　1
　　　　　2　3
　　　　4　5　6
　　　7　8　9　10
　…　…　…　…　…　…　…　
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[解析]　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中
第＋3个，即为.
[答案]　
6．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a2018＝________.
[答案]　
[解析]　由－＝5知，数列是以＝3为首项，以5为公差的等差数列，
故＝＋2018d＝3＋10055＝10058.
7．写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)；
(2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．
[解析]　(1)由条件得a1＝0，a2＝0＋1＝1＝12，
a3＝1＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，归纳通项公式为an＝(n－1)2.
(2)由条件得a1＝3，a2＝3a1＝32，a3＝3a2＝33，a4＝3a3＝34，归纳通项公式为an＝3n.

（四）典型例题
1.命题方向：有数列的前几项探索数列的通项公式
[例1]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1,3,6,10,15，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)3,33,333,3333，….
[分析]　先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项之间的联系．
[解析]　(1)注意到前四项中两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，，，，…，
因而有an＝.
(2)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项同乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此把第1项变为－，
至此原数列已化为－，，－，，…，∴an＝(－1)n·.
(4)将数列各项改写为：，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
∴an＝(10n－1)．
[点评]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决这一问题的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系．如果关系不明显，可将项适当变形，让规律突显出来以便于找出通项公式．
跟踪练习1：
根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)1，，，，，…
(2)－，，－，，－，，…
(3)，，，，，…；
(4)，－1，，－，，－，….
(5)1,3,7,15,31，…
[解析]　(1)将数列写成：
，，，，，…
观察分子、分母与项数n之间的联系，易知：
其通项公式为an＝.
(2)这是一个与(－1)n有关的数列，可将数列写成
－，，－，，－，，…
可知分母组成以3为公差的等差数列，分子为以3为首项，1为公差的等差数列，因此其通项公式为：
an＝(－1)n.
(3)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，－，所以an＝(－1)n＋1·.
(5)考虑数列的差分数列{an＋1－an}．
a2－a1＝2
a3－a2＝4，
a4－a3＝8，
……
an－＝2n－1.(n≥2)
将这n－1个式子累加，得
an－＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2　(n≥2)
∴ an＝＋2n－2＝1＋2n－2＝2n－1.　(n≥2)
当n＝1时，此式仍成立，故所求通项公式为an＝2n－1.
[点评]　根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是惟一的．其中常用方法是观察法．观察an与n之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法.
2.命题方向：由与的关系求通项
[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求an的通项公式及S10.
[解析]　(1)由a1＝S1＝(a1－1)得a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，解得a2＝.同理a3＝－
(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．即an＝(－)n，∴S10＝＝.
(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－.
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．即an＝(－)n，∴S10＝＝.
[点评]　数列的通项an与前n项和Sn的关系是：
an＝.
此公式经常使用，应引起重视．当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
跟踪练习2：
已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
[解析]　利用数列的通项an与前n项和Sn的关系
an＝.
解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
又∵a1＝－1，适合，an＝4n－5，
∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1，
因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1.
当b≠－1时，a1＝3＋b不合适an＝2·3n－1，
∴an＝.
综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
3.命题方向：根据递推公式求通项公式
[例3]　根据下列条件，写出数列的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1.
[分析]　(1)将递推关系写成n－1个等式累加．
(2)将递推关系写成n－1个等式累乘，或逐项迭代也可．
[解析]　(1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式：
an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
将其相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，
∴an＝a1＋＝2＋＝.
(2)方法一：∵an＝···…···a1＝n－1·n－2·…·2·1·a1
＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
∴an＝.
方法二：由2n－1an＝an－1得an＝n－1an－1
∴an＝n－1an－1＝n－1·n－2an－2=…＝n－1·n－2·…·1a1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝.
[点评]　1.已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．
所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.
2．已知a1且＝f(n)(n≥2)，可以用“累乘法”，
即＝f(n)，＝f(n－1)，…，＝f(3)，＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.
提醒：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个．

跟踪练习3：
根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．
(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)．
[解析]　(1)∵an＝an－1＋3n－1，
∴an－an－1＝3n－1，
an－1－an－2＝3n－2，
an－2－an－3＝3n－3，
…
a2－a1＝31.
以上n－1个等式两边分别相加得
an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
a2＝a1.
以上n－1个式子等式两边分别相乘得an＝a1···…·＝＝.
4.命题方向：函数与方程思想在数列中的应用
[例4]　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·()n，求n为何值时，an取最大值．
[分析]　已知数列{an}的通项公式，要求n为何值时an取最大值，则需满足.因为涉及an－1，所以应先讨论a1是否为最大值，然后再由不等式组去求使an最大时n的取值．
[解析]　易知a1不是数列{an}中的最大的项，
∴an若取最大值应满足(n≥2)，
由已知中an＝(n＋1)·()n，则有
an－an＋1＝(n＋1)·()n－(n＋2)·()n＋1＝()n·[n＋1－(n＋2)]＝()n·.
由an－an＋1≥0，即()n·≥0，
解不等式，得n≥8；
an－an－1＝(n＋1)·()n－(n－1＋1)·()n－1＝()n－1·[(n＋1)·－n]＝()n－1·，
当an－an－1≥0，即()n－1·≥0，
解不等式，得n≤9；
∴同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8,9，
又a8＝9×()8，a9＝10×()9，
即a8＝a9＝.
∴当n＝8或n＝9时，a8＝a9两项都是数列{an}中的最大项．
[点评]　数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系．如：数列中的最大、最小项问题；数列的单调性问题等都可以借助于函数知识研究，当然也有差别．高考对本考点的考查主要以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，主要同函数、不等式等内容结合，结合性较强，有一定的难度．备考中应从函数的角度把握数列中最大、最小项的求法以及数列单调性的判断方法．
跟踪练习4：
已知函数f(x)＝，数列{an}满足f()＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}是递减数列．
[解析]　(1)解：f(x)＝，
∴f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝an－，
∴an－＝－2n，∴an2＋2n·an－1＝0.
又an>0，∴an＝－n.
(2)证明：∵an>0，且an＝－n，
∴＝＝<1.
∴an＋1
（五）思想方法点拨：
1．数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同．数列可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．
2．观察法是求数列通项公式的最基础的一个方法，它一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出该数列的通项公式，一般来说，所给的数列的前几项规律性特别强并且规律也比较明显，要么能直接看出，要么需略作变形即可．
3．通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点．运用时，不要忘记对an＝Sn－Sn－1(n≥2)的条件的验证．
4．数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法．观察法和猜想法一般适合于选择题和填空题；如果在解答题中用猜想法，则一定要用数学归纳法加以证明．而特定系数法一般是适合已知数列的类型的题目．

(六)课后强化作业
一、选择题
1．已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)
A．－165　　　　　B．－33 C．－30 D．－21
[答案]　C
[解析]　∵对任意p、q∈N*都有ap＋q＝ap＋aq.
∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a2＝－30.
2．已知函数f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0　　　　　B．100 C．－100 D．10200
[答案]　B
[解析]　当n为奇数时，
an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)
当n为偶数时，
an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，
则an＝(－1)n(2n＋1)，
a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋9…－199＋201＝2×50＝100.
3．(2018·沈阳一模)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是(　　)
A．34950　　 B．35000　　 C．35010　 　D．35050
[答案]　A
[解析]　由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.
4．(2018·陕西理)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　an＋1>|an|，∴－an＋10，且an＋an＋1>0，则{an}为递增数列，反之若{an}为递增数列，an＋1>|an|不一定成立．
5．(2018·济南统考)已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[24,36] B．[27,33] C．{a|27≤a≤33，a∈N*} D．{a|24≤a≤36，a∈N*}
[答案]　A
[解析]　由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需5.5≤≤7.5⇒24≤a≤36即可．
6．(2018·上饶一模)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2018的值是(　　)
A．2009×2018 B．2018×2018 C．20182 D．2018×2018
[答案]　D
[解析]　解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×1　a2＝1×2　a3＝2×3　a4＝3×4
猜想a2018＝2018×2018，故选D.
解法2：an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.
所有等式左右两边分别相加
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．
∴an－a1＝2＝n(n－1)．
∴an＝n(n－1)．故a2018＝2018×2018.
7．若数列{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T4，则当Tn取最小值时，n的值等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
[答案]　B
[解析]　由T8＝T4，a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且数列{an}是正项递增数列，所以a5＜a6＜1＜a7＜a8，因此T6取最小值．
8．数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a2018等于(　　)
A. B. C. D.
[答案]　B
[解析]　∵an＋1＝，∴＝＋3.
∴{}是以an＝1为首项，3为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)×3＝3n－2，an＝，
∴a2018＝＝.
二、填空题
9．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．
已知数列{an}是等积数列，且a1＝2，公积为5，Tn为数列{an}前n项的积，则T2018＝________.
[答案]　2·51002
[解析]　T2018＝a1(a2a3)·(a4a5)…(a2004·a2018)＝2·51002.
10．设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)(an＋3)，则数列{an}的通项公式an＝________.
[答案]　2n＋1
[解析]　∵4Sn＝an2＋2an－3，
∴当n≥2时，4Sn－1＝an－12＋2an－1－3.
两式相减得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
又∵an>0.∴an－an－1＝2.
当n＝1时，由4a1＝a12＋2a1－3，
得a1＝3，故an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
11．已知an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．
[答案]　10　9
[解析]　an＝＝＝1＋
当1≤n≤9时，<0，an递减．
当n≥10时，>0，an递减．
∴最大项为a10，最小项为a9.
三、解答题
12．已知数列{an}满足：a1＝1,4n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于？
[解析]　(1)an＝··…···a1＝n－1·n－2·…·2·1＝1＋2＋…＋(n－1)
＝＝n(n－1)
∴an＝()n(n－1)
(2)当n≤3时，(n－1)n≤6，an＝()(n－1)n≥
当n≥4时，(n－1)n≥10，an＝()(n－1)n≤
所以，从第4项开始各项均小于.
13．下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所成的数列为{an}(n∈N,1≤n≤8)．

(1)写出数列的前4项；
(2)求{an}的通项公式；
(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA9，OA2018的长分别是多少？
[解析]　(1)∵a1＝OA1＝1，由勾股定理得
a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝＝2；
(2)观察{an}的前几项，可以发现数列的项恰好是序号的算术平方根，即有通项公式an＝；
(3)OA9＝a9＝3，OA2018＝a2018＝＝2.
[点评]　由归纳法，找出数列的通项公式，或由数列的通项公式写出数列的项，对数列做出某种判断，是高考命题的方向，此类题对逻辑推理能力有较高的要求．
14．已知数列{an}的前n项和为n2＋pn，数列{bn}的前n项和为3n2－2n.
(1)若a10＝b10，求p的值；
(2)取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．
[解析]　(1)由已知，
an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p　(n≥2)，
bn＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5　(n≥2)．
∴a10＝19＋p，b10＝55.
由a10＝b10，得19＋p＝55.∴p＝36.
(2)b1＝S1＝1，满足bn＝6n－5.
∴数列{bn}的通项公式为bn＝6n－5.
取{bn}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为
b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.
∴cn＝12n－11.
15．(2018·全国卷Ⅰ理)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解析]　本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查．
an＋1－2＝－－2＝，
取倒数有＝＝＋2
即bn＋1＝4bn＋2，得bn＋1＋＝4，
又a1＝1，故b1＝＝－1
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
bn＋＝－×4n－1，即bn＝－－.