2020数学(理)二轮复习第2部分专题1第2讲　恒等变换与解三角形学案

第2讲　恒等变换与解三角形

[做小题——激活思维]
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A.　　　　　 B.
C. D．1
B　[根据＝，
有＝，得sin B＝.故选B.]
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　)
A. B.
C. D.或
C　[由a2＝b2＋bc＋c2，
得b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理的推论得：cos A＝＝－，∴A＝.]
3．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝(　　)
A．7 B．
C．－7 D．－
B　[sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，
即cos α＝－.又α为第二象限角，∴tan α＝－，
∴tan＝＝.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，C＝，△ABC的面积为，则c＝(　　)
A．13 B．3
C． D．
C　[∵△ABC的面积为，∴absin C＝×3×b×＝，∴b＝1，
∴由余弦定理得c＝＝＝.故选C.]
5．已知tan α＝－，则＝________.
－　[＝
＝＝tan α－＝－.]
6．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
π　[∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.]
[扣要点——查缺补漏]
1．正弦定理
＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，如T1.
2．余弦定理及其变形
a2＝b2＋c2－2bccos A，
cos A＝，如T2.
3．如图所示，在△ABC中，AD平分角A，则＝.

4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝，如T3.
5．面积公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝(a＋b＋c)·r(其中r为△ABC内切圆的半径)，如T4.
6．二倍角公式及其变形
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)

(3)tan 2α＝.如T5.
7．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，如T6.

　三角恒等变换(5年3考)

[高考解读]　高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.
1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α ＝(　　 )
A.　　　B.　　　C．－　　　D．－
D　[法一：(公式法)cos－α＝，sin 2α＝cos
＝cos＝2cos2－1＝－，故选D.
法二：(整体代入法)由cos＝(sin α＋cos α)＝，得sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
即sin 2α＝2sin αcos α＝－.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－　[∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.]
[教师备选题]
1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]
2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
B　[法一：由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
法二：tan α＝＝
＝
＝cot＝tan
＝tan，
∴α＝kπ＋，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.]


三角函数式化简求值的“三看”原则
(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；
(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；
(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．

1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
A　[因为α，β都是锐角，且cos α＝＜，所以＜α＜，又sin(α＋β)＝＞，所以＜α＋β＜，
所以cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝，cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝，故选A.]
2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简等于(　　)
A．－2 B．－
C．－1 D．1
C　[＝＝＝－1.]
3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，则α＋2β的值为________．
　[∵cos α＝，α∈，∴sin α＝，
∴tan α＝7；
cos β＝，β∈，
∴sin β＝，
∴tan β＝，
∴tan 2β＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝－1，
∵α∈，β∈，
∴α＋2β∈，
∴α＋2β＝.]
　利用正、余弦定理解三角形(5年11考)

[高考解读]　高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正(余)弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查.
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
C　[根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
切入点：△ABC面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
关键点：余弦定理公式的变形：a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A.
[解](1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
[教师备选题]
1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
[解](1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
即BC＝5.

用正、余弦定理求解三角形注意2点,
(1)分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质(三角形内角和，大边对大角等)求解三角形.
(2)在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc经常用到.
提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.

1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D．2
C　[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C.]
2．(知识间的内在联系)已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S＝a2－(b－c)2，bc＝4，则S＝(　　)
A．2 B．4
C. D．2
A　[由4S＝a2－(b－c)2可得4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，
∴2bcsin A＝2bc－2bccos A，
即sin A＋cos A＝1，
所以sin＝，
又0＜A＜π，所以＜A＋＜，
即A＋＝，∴A＝.
∴S△ABC＝bcsin A＝×4＝2.故选A.]
3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.
10　[设CD＝h，则AD＝，BD＝h.
在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，
则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，
可得1302＝3h2＋－2·h··，
解得h＝10，故塔的高度为10 m．]
4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
[解](1)∵a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
∴由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B
＝9＋(b－2)2－2×3×(b－2)×，
∴b＝7，∴c＝b－2＝5.
(2)在△ABC中，∵cos B＝－，∴sin B＝，
由正弦定理：＝，
∴sin C＝＝＝，
∵b＞c，∴B＞C，∴C为锐角，
∴cos C＝，
∴sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C
＝×－×＝.
　与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)

[高考解读]　与三角形有关的最值(范围)问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.
(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；
(2)由△ABC为锐角三角形求得C的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．
[解](1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0° 因此，△ABC面积的取值范围是.
[教师备选题]
1．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
(－，＋)　[如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF 在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，
CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－ 2．(2013·全国卷Ⅱ)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解](1)由题意及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B， ①
又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，
等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.

与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略
策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解．
策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a2＋b2，a＋b，ab的等式求最值．

1．(角度的最值范围问题)(2019·武汉模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是(　　)
A.　　　 B.
C. D.
C　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，
又B∈(0，π)，∴B∈，故选C.]
2．(长度的最值范围问题)在△ABC中，若C是钝角，且B＝，则的取值范围是________．
(2，＋∞)　[∵C为钝角，∴C＝－A＞，
∴0＜A＜.
由正弦定理，得＝
＝＝＋·.
∵0＜tan A＜，∴＞，
∴＞＋×＝2，即＞2.]
3．(综合应用)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(sin C，sin A)，且m∥n.
(1)若cos A＝，b＋c＝6，求△ABC的面积；
(2)求sin B的取值范围．
[解]　因为m∥n，所以sin2A＝sin Bsin C，结合正弦定理可得a2＝bc.
(1)因为cos A＝，所以＝，即＝，解得bc＝9.
从而△ABC的面积S△ABC＝bcsin A＝×9×＝，故△ABC的面积为.
(2)因为a2＝bc，所以cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时，取等号)．
因为0 由正弦定理，知0