2020届二轮复习简单的线性规划问题课时作业（全国通用）

简单的线性规划问题

1．(2018·北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(C)

A．－1  B．3

C．7  D．8

　 作出线段AB，如图所示．

作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值，为2×4－1＝7.

2．(2018·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y 的最小值是(A)

A．－15  B．－9

C．1  D．9

　 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.

3．(2018·广州一模)若x，y满足约束条件  则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(D)

A.   B.

C．－   D．－

　 画出可行域，如图：

(方法一)因为z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，

所以z表示可行域内的点与点(－1,0)的距离的平方减去1.

所以zmin＝()2－1＝－.

(方法二)z＝x2＋2x＋y2变形为(x＋1)2＋y2＝1＋z.

故目标函数可看作是以点(－1,0)为圆心，为半径的圆．

当圆与区域的边界相切时，取最小值．

所以d＝≤，所以1＋z≥，从而z≥－.

所以zmin＝－.

4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

　 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．

依题意，得z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，画出可行域如图阴影部分，

联立解得

知z在A点处取得最大值，故选B.

5．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为　9　.

　 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．

目标函数z＝x＋y取得最大值斜率为－1的平行直线x＋y＝z(z看作常数)的截距最大，

由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．

由得点C(5,4)，所以zmax＝5＋4＝9.

6．若实数x，y满足则

(1)的取值范围为　[2，＋∞)　；

(2)x2＋y2的取值范围为　(1,5]　.

　 作出可行域，其可行域是顶点分别为A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)的三角形及其内部(但不包括AC边)．

(1)因为表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，可知其取值范围为[2，＋∞)．

(2)因为x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到(0,0)的距离的平方，可知其取值范围为(1,5]．

7．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，问T中的点共确定多少条不同的直线？

　 画出不等式组所表示的平面区域(如下图所示)．

令z＝0，得直线l：x＋y＝0，平移直线l，由图象可知当直线经过整点A(0,1)时，z取最小值，当直线经过整点B(0,4)，C(1,3)，D(2,2)，E(3,1)，F(4,0)时，z取最大值．

所以T＝{(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，

所以T中的点可确定的直线有AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．

8．(2018·浙江卷)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)

A.  B.

C.  D.

　 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，

当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，

联立方程组求得A(1,2)，

联立方程组求得B(2,1)，

可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，

由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.

9．(2018·深圳二模)已知a<0，实数x，y满足若z＝x＋2y的最大值为5，则a＝　－2　.

　 画出可行域(如图)．

由z＝x＋2y，得y＝－＋.

平移y＝－经过A(－1,1－a)时，z取最大值，

所以zmax＝－1＋2－2a＝5，所以a＝－2.

10．(2018·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

　 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为

即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．

①

②

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．

又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得则点M的坐标为(6,3)．

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．