2019届二轮复习等差数列与等比数列问题的精彩妙解学案（全国通用）


2019届二轮复习 等差数列与等比数列问题的精彩妙解 学案 （全国通用）
考纲要求:
1.理解等差(比）数列的概念(定义、公差、等差中项)．掌握等差(比）数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等差(比）关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等差数列与一次函数的关系．了解等比数列与指数函数的关系．
4.掌握等差(比）数列的性质及其应用．
基础知识回顾:学 ]
一、等差(比）数列的定义通项公式及前n项和公式
1.等差数列
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为an＋1－an＝d(n∈N ，d为常数)．（提示：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列）．
（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的 等差中项 ．
（3）通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .4．前n项和公式：Sn＝ na1＋d ＝ .
2等比数列
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为＝q.
（2）等比中项：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.（提示：在等比数列中每项与公比都不为0）.
（3）通项公式：an＝a1qn－1. 前n项和公式：Sn＝
二、等差(比）数列的性质
　1.数列{an}是等差数列，则其项的性质有：
（1）an＝am＋(n－m)d，an＝An＋B等形式，d＝ （其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差）．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
　2.数列{an}是等差数列，则其和的性质有：
（1）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
（2）前n项和公式Sn＝n2＋(a1－)n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．
（3）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.
(4)在等差数列{an}中，若项数为偶数2n的等差数列{an}：S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．S偶－S奇＝nd，＝.若项数为奇数(2n＋1)的等差数列{an}：S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. ＝.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)
　3.数列{an}是等比数列，则其项的性质有：
(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N )，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；
4.数列{an}是等比数列，则其和的性质有：
(1)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．
应用举例:
类型一、等差数列的基本运算
【例1】【贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第三次月考】设是等差数列的前项和,
,,则公差
A． B． C． 1 D． -1
【答案】D

【点睛】
本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【例2】【北京市101中学2019届高三10月数学（理）统练试题（5）】已知为等差数列，为其前n项和，若，则（ ）
A． 17 B． 14 C． 13 D． 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。
【详解】
设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，
，
解得，，
所以，故答案选B。
【点睛】
本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。
【例3】【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． -8
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得(a1+4)2＝a1(a1+6)，解之可得a1，代入等差数列的求和公式可得．

【点睛】
本题考查等差数列的求和公式，涉及等比中项的应用，属中档题．
类型二、等差数列的性质及最值
【例4】【湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考】在等差数列中，，公差为，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意计算，求出取得最大值时的取值范围

【点睛】
本题主要考查的是等差数列和的性质，结合题意列出关于的表达式，求出不等式的取值范围。
【例5】【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：
①；②；③；④．
其中一定正确的结论是（ ）
A． ①② B． ①③④ C． ①③ D． ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】
先由得到，再利用等差数列性质得到，，故正确的结论为①③④.
【详解】
设等差数列的公差为，则，故即.①正确.
若，则且它们为的最大值，②错误.
，故，③正确.
，故④正确，综上选B.
【点睛】
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
【例6】【上海市大同中学2018届高三三模考试】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则中最大项为（ ） 学 ]
A． B． C． D．
【答案】C

考点：等差数列．
类三、等比数列的基本运算
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．
常见的命题角度有：(1)求首项a1，公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．
角度一：求首项a1，公比q或项数n
【例7】【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】数列为等比数列，首项，前项和，则公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的定义，写出前3项和，解方程即可求出公比.

【点睛】
本题考查等比数列的前项和与数列的通项的应用，项数较少时可直接计算各项的和，如前3项和，项数较多时常用前项和公式计算，但要注意根据的取值的分类讨论.
【例8】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】等比数列中，，则公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列为等比数列及，即可求得公比.
【详解】
∵数列为等比数列，
∴
∴
故选B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.
角度二：求通项或特定项
【例9】【宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第四次模拟考试】已知等比数列中，
则
A． B． -2 C． 2 D． 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列性质得，，再根据等比数列性质求得.

【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
【例10】【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】在等比数列中，是方程的两根，则=( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦达定理得到，再利用数列的性质计算.
【详解】
因为是方程的根，故且 ，由是等比数列可知，故，
因为，故，故，选B.
【点睛】
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
角度三：求前n项和
【例11】【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数，数列为等比数列，，，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质得和f（x）+f（﹣x）=1，再由倒序相加得到和，即可求出答案．

∴设S2019=f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna2019）①，
∵S2019=f（lna2019）+f（lna2018）+…+f（lna1）②，
①+②得2S2019=2019，
∴S2019
故答案为：.
【点睛】
考查学生利用等比数列性质的能力，以及指数对数函数的综合运用能力．对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
【例12】【长春市普通高中2019届高三质量监测（一）】各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则 .
【答案】10
【解析】
【分析】
根据等比数列的前N项和的性质若是等比数列的和，则仍是等比数列，得到：，解得.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和的性质的应用，若是等比数列的和，则仍是等比数列，要熟练掌握利用方程组法和数列性质法，解等比数列的问题，考查学生的运算能力．
角度四：等比数列的性质
【例13】【安徽省定远重点中学2018届高三5月高考模拟考试】等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】5.
【解析】
【分析】
先由等比数列的性质求出 ，再根据性质化简
，代入即可求出答案．
【详解】
由题意知，且数列的各项均为正数，所以，
，
．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．
【例14】【陕西省咸阳市2018届高三模拟考试（三模）】已知数列为等比数列，且，则的值为 ．
【答案】.
【解析】
分析：利用等比数列的性质可求得，再代入计算.

点睛：已知，若是等差数列，则，若是等比数列，则；
已知，若是等差数列，则，若是等比数列，则.
点评：等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
类型二、等差（比）数列的判断与证明
【例15】【湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考】设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1 =1，a3=7，an=2an-1+a2 - 2(n≥2).
(I)证明：{an+1）为等比数列；
(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，S是否成等差数列？
【答案】（1）证明见解析；（2），，，成等差数列．
【解析】
【分析】
（1）由题意求得，进而利用等差数列的定义可判定是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，求得，由等比数列的求和公式和等差数列的求和公式，可得，再由等差数列中项公式，即可判定.

（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，，成等差数列． 学
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的定义的应用，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，其中熟记等差、等比数列的定义和通项公式，以及前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
【例16】【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】数列满足：，（）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前999项和.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）方程两边减3后，取倒数可化简得，即可证明（2）化简
，相加相消求和即可.

（2）由（1）得，解之得：；
所以，
于是，
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.
方法、规律归纳:
1.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
2.等比数列的判定方法有： 学 ]
(1)定义法；(2)等比中项公式法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．
实战演练:
1．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知等差数列的前项和 ，且，则（ ）
A． 2 B． C． D．
【答案】C
【解析】

【点睛】
(1)本题主要考查等差数列的前n项和和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.
2．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】若等差数列的公差且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是等差数列,设a3=a1+2d，a7=a1+6d．结合a1、a3、a7成等比数列，得到a1=2d．进而求出的值
【详解】
设等差数列的首项为a1，公差为d，则a3=a1+2d，a7=a1+6d．
因为a1、a3、a7成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），
解得：a1=2d．所以 .故选A
【点睛】
本题综合考查了等差数列与等比数列，考查了等比数列的性质，解答本题的关键是找出首项a1与d的关系，难度一般.
3．【宁夏育才中学2019届高三上学期月考二】设为等差数列的前n项和，且
， ，则( )
A． B． C． 2018 D． 2016
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质：设为等差数列的前n项和，则数列为等差数列，可得数列的首项、公差。再由条件可求，进而可求得。
【点睛】
解决有关等差数列的和有关的问题。一种方法，注意等差数列性质：设为等差数列的前n项和，则数列为等差数列的运用。另一种方法，注意基本量的运用，可由前n项和公式将条件转化为，再进行求解，即可求解。
4．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知数列是首项为3，公差为d(d∈N )的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设得到，再根据2019是该数列的一项得到，由求出结果

【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式，较为基础。
5．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】等比数列中，，，，则（ ）
A． 64 B． 128 C． 256 D． 512
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得数列的首项和公比，然后求解的值即可.
【详解】
由题意结合等比数列的通项公式可得：
，解得：，则.
本题选择A选项.
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
6．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得
（ ，解出 ．即可．

【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．
7．【广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺】等比数列的前项和，成等差数列，，则（ ）
A． 15 B． -15 C． 4 D． -4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用成等差数列求出公比即可得到结论．

【点睛】
本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．

8．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测】已知等比数列的前项和，则
．
【答案】5.
【解析】
分析：根据题意先表示出前三项，然后根据等比中项求出r，再计算即可.
详解：由题可知：

故答案为5
点睛：考查等比数列的基本定义和基本性质，属于基础题.
9．【福建省漳平市第一中学2019届高三年上学期第一次月考】已知数列的前项和
，则数列的前100项的和为
【答案】5050
【解析】
【分析】
利用把递推关系变形为，从而为等差数列，利用其前项和公式可得前项的和.
【点睛】
数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.
10．【西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考】若数列的前n项和，则的通项公式
【答案】
【解析】
【分析】
把的式子代入已知中得到数列的首项，再由时，，推得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，即可求解.
【详解】
由题意，当时，，解得，
当时，，
即，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列与的关系的应用，其中熟记数列的与的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．【辽宁省部分重点高中2019届高三9月联考】已知数列是等差数列，，，成等比数列，则该等比数列的公比为 ．
【答案】或
【解析】
【分析】
先根据，，成等比数列解得公差与首项关系，再根据，的比值确定公比.

【点睛】
本题考查等差数列与等比数列基本量运算，考查基本求解能力.
12．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为 ．
【答案】或
【解析】
【分析】
分类讨论和两种情况即可求得的值.
【详解】
当时，恒成立，当时：
当数列的公差时，即，
据此可得，则，
当数列的公差时，由题意有：，， ]
两式作差可得：，
整理可得：，即：，①
则，②
②-①整理可得：恒成立，
由于，故，据此可得：，
综上可得：的值为或.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，数列的前n项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．【2018年9月23日 《每日一题》一轮复习【理】-每周一测】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.
【答案】见解析 . ]
【解析】
【分析】
可设5个数分别为，根据题设得到关于的方程组，解这个方程组可得所求的5个数.

【点睛】
一般地，如果5个数成等差数列，我们可以设5个数分别为，这种假设的方法称为对称假设.类似地，如果个数成等差数列，那么这4个数也可以假设为.
14．【湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考】若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求出，再求出，再利用求出的通项公式.(2)先求出足，再利用错位相减求得，即得，再对n分奇偶讨论即得解.

（2）由数列满足，
数列的前项和为
，
∴，
两式作差，得
∴，∴．
不等式，化为，
时，，取，∴．
时，，取，∴．
综上可得：实数的取值范围是．
【点睛】
(1)本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的最值问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是错位相减准确计算出，其二是再对n分奇偶讨论求得实数λ的取值范围．
15．【2018年9月30日《每日一题》一轮复习（理）-每周一测】已知是等差数列，满足，，数列满足，，且 是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，都有成立，求正整数的值.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】
【分析】
(1)先求出等差数列的通项，再求等比数列的通项即得的通项公式.(2) 由题意，应为数列的最大项. 计算出，对n分类讨论即得存在或，使，都有成立.

设，则为等比数列.
，，
设的公比为，则，故.
则，即.
所以（）
故的通项公式为（）.

【点睛】
（1）本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查数列的最大项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)研究数列的单调性，一般利用作差法，先求出，再研究函数的图像和性质.