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    2019届二轮复习(文)圆锥曲线综合学案(全国通用)
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    2019届二轮复习(文)圆锥曲线综合学案(全国通用)

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    ]

    【母题原题1】【2018新课标120

    设抛物线,点 ,过点的直线交于 两点.

    1)当轴垂直时,求直线的方程;

    2)证明:

    y1+y2y1y2的表达式代入①式分子,可得

    所以kBM+kBN=0,可知BMBN的倾斜角互补,所以∠ABM=ABN

    综上,∠ABM=ABN

    点睛该题考查的是有关直线与抛物线的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量在解题的过程中,第一问求直线方程的时候,需要注意方法比较简单,需要注意的就是应该是两个,关于第二问,在做题的时候需要先将特殊情况说明,一般情况下,涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积,借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.  

    【母题原题2】【2017新课标1,文20A,B为曲线C:y=上两点,AB的横坐标之和为4.

    (1)求直线AB的斜率;

    (2)M为曲线C上一点,CM处的切线与直线AB平行,AMBM,求直线AB的方程.

    【母题原题3】【2016新课标1,文20在直角坐标系xOy,直线l:y=t(t≠0)y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.

    ();

    ()H以外,直线MHC是否有其它公共点?说明理由.

    【解析】()由已知得M(0,t),P.

     

    【命题热点剖析1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理 一般以椭圆或抛物线为背景,而文 一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一.从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,考查方向为以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题, 也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.

    2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系.轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求.

    应试经验与技巧

    1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中的分母大小,的分母比的分母大,则焦点在x轴上,的分母比的分母小,则焦点在y轴上.

    2.注意椭圆的范围,在设椭圆上点的坐标,,这往往在求与点有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因.

    3.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义.

    4.直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行.

    5.在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下:(1)是否还遗漏了一些点?是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在?(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么限制?确保轨迹上的点不多不少

    6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下:第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下;对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数;如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.

    重点知识整合

    1.椭圆的第一定义:平面内到两个定点的距离之和等于定长()的点的轨迹.

    注意:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于,轨迹是线段FF,当常数小于,无轨迹.

    2.直线和椭圆的位置关系

    1)位置关系判断:

        直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到的形式(这里的系数A一定不为0,设其判别式为,

    1)相交:直线与椭圆相交;

    2)相切:直线与椭圆相切;

    3)相离:直线与椭圆相离;

    (2弦长公式:

    1)若直线与圆锥曲线相交于两点AB,分别为AB的横坐标,,分别为AB的纵坐标,,若弦AB所在直线方程设为,.

    2)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径:,最长为

    3椭圆的中点弦问题:遇到中点弦问题常用韦达定理点差法求解.在椭圆,为中点的弦所在直线的斜率.

    3.与焦点三角形相关的结论

    椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,,则在椭圆,有以下结论:- 

    (1),且当为短轴端点时,最大为

    2;焦点三角形的周长为

     (3),为短轴端点时,的最大值为

    4.直线和抛物线的位置关系

    1)位置关系判断:直线与双曲线方程联立方程组,消掉y,得到

    的形式,,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,设其判别式为,

    相交:直线与抛物线有两个交点;相切:直线与抛物线有一个交点;

    相离:直线与抛物线没有交点.

    注意:过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.

    2)焦点弦:若抛物线的焦点弦为AB,,则有,.

    3) 在抛物线,为中点的弦所在直线的斜率.

    4)若OAOB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点,反之亦成立.

    5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:

       

        

          

    1:建立坐标系;:设动点坐标.

    建立适当的直角坐标系,(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.

    (1)    所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点.

    (2)    没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系.

    2、现():由限制条件,列出几何等式.

    写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}

    这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确.

    3:代换

    用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0

    常常用到一些公式.

    4:化简

    化方程f(x,y)=0为最简形式.

    要注意同解变形.

    5、证明

    证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.   ]

    化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).

    注意:这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字口诀:建设现()代化.

     

    1山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷(二)已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上一点,面积的最大值为.

    Ⅰ)求椭圆的方程;

    Ⅱ)过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于,且,证明直线过定点,并求的面积的取值范围.

    【解析】试题分析:

    解得.

    所以椭圆的方程为.

    Ⅱ)设方程为,联立

    因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0

    ,即

    .解得:.

    直线方程为:,所以直线过定点

    .

    点睛:求定点,定值问题常见的方法有两种:

    (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

    (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.   

    2陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆的离心率为

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)设是椭圆的右顶点,过点作两条直线分别与椭圆交于另一点,若直线的斜率之积为,求证:直线恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

    整理得,解得(舍去)

    直线,知直线恒过点

    点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.

    3山东省肥城市2018届高三适应性训练已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点上的点,满足.

    (1)当点在圆上运动时,判断点的轨迹是什么?并求出其方程;

    (2)若斜率为的直线与圆相切,与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点,且(其中是坐标原点),求的取值范围.

    (2)设直线:

    直线与圆相切,得,即

    联立消去得:

    ,得

    所以,得

    ,解得:

    故所求范围为.

    点睛:直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.  

    4山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟设椭圆的右焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

    (1)求椭圆的方程;

    (2)若上存在两点,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形的面积的最小值.

    (ii)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立

    点睛:本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到目标函数的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

    5重庆市西南大学附中高2018级第四次月考已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为,顶角为的等腰三角形.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设是椭圆上三动点,且,线段的中点为,求的取值范围.

    【解析】分析:1两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为,顶角为的等腰三角形.说明,再由直角三角形得,从而可得值,得标准方程;

    的斜率不存在时,

    ,,得,∴

    的斜率存在时,设

    得:

    点在椭圆上得得:,此时总成立

         

    ,∴

    综上:

    点睛:本题考查直线与椭圆的位置关系问题,考查“设而不求”的思想方法,考查范围问题,解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数,这里关键是参数的选择要恰当.第(2)题中可用下列方法

    6辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟已知椭圆的焦距为,离心率为,圆是椭圆的左右顶点,是圆的任意一条直径,面积的最大值为2.

    (1)求椭圆及圆的方程;  | |k ]

    (2)若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,求的取直范围.

    【解析】分析:(1)易知当线段AB在y轴时,,结合

    可求,可求椭圆方程和圆的方程;

    (2)设直线L方程为:y=kx+m,直线为圆的切线,

    直线与椭圆联立,,得,利用弦长公式

    可得,然后利用换元法求其范围即可.

    详解:

    解:(1) 设B点到x轴距离为h,则,易知当线段AB在y轴时,

    点睛:本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是难题.    

    7江西省临川一中2018届高三模拟考试已知的直角顶点轴上,点为斜边的中点,且平行于轴.

    (Ⅰ)求点的轨迹方程;

    (Ⅱ)设点的轨迹为曲线,直线的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,的最大值.

    【解析】试题分析:(1)设的中点的坐标为,根据,;(2)(2)讨论BC的斜率,求出圆P的半径和横坐标,计算最小值,进而得到的最大值.

    详解:

    设点的坐标为(,则的中点的坐标为,点的坐标为

    ,得

    经检验,当点运动至原点时,重合,不合题意舍去.

    点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.

    8四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试在平面直角坐标系中,点分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为,点在双曲线上,不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.

    (1)求动点的轨迹的方程;

    (2)过点的直线交的轨迹两点,上一点,且满足,其中,求的取值范围.

    【解析】试题分析:(1根据题意列出表达式又因为点在双曲线上,所以,联立两个方程可得到参数值;(2)联立直线和椭圆得到二次方程,又因为,得代入椭圆方程得,根据弦长公式得到,求表达式的范围即可.

    (2)由题意可知该直线存在斜率,设其方程为.

    ,得    ]

    ,则

    ,得

    代入椭圆方程得,由

    ,则,∴.

    点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.

    9山东省实验中学2015级第二次模拟考试过抛物线 的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为,与抛物线准线的交点为 ,点在抛物线准线上的射影为,若 的面积为 .

    ( 1 ) 求抛物线的标准方程;

    ( 2 ) 过焦点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且相交于点,轴交于点,求证: .

    2)易知直线的斜率存在,设直线,设

    联立消去,得

    ,设

    点坐标

    ,得

    ,

    所以,即.

    点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;

    (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p若不过焦点,则必须用一般弦长公式.

    10河北省石家庄二中2018届高三三模已知椭圆的左右顶点分别为,右焦点的坐标为,点坐标为,且直线轴,过点作直线与椭圆交于两点(在第一象限且点在点的上方),直线交于点,连接.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设直线的斜率为,直线的斜率为,问:的斜率乘积是否为定值,若是求出该定值,若不是,说明理由.

    联立

    所以    

    因为点在直线上,所以可设

    在直线上,所以:

    所以

    点睛:圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线,常用解题步骤为:

    设动点和动直线、即引入参数;

    结合已知条件将目标式用参变量表示,   ]

    3通过化简消参求得定值.

    设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.

    11河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一已知椭圆的上顶点为,点,上且不在轴上的点,直线交于另一点,若的离心率为的最大面积等于.

    (Ⅰ)求的方程,

    (Ⅱ)若直线分别与轴交于点,试判断是否为定值.

    坐标之间的关系。因为是直线DP与椭圆的交点,故设直线的方程为并与椭圆的方程联立可得方程组消去,得变形可得,由韦达定理,得变形即可求值, 。可得结论。

    详解:(1)由题意。可得的最大面积为 

    ..

      .

    联立①②③,解得

    点睛:1求椭圆或双曲线的方程,就是求的值,求值时注意的运用;

    2解决解析几何中的定值问题,应在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少  

    12辽宁省凌源二中2018届高考三模是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点,当它与轴正方向的夹角为60°时,.

    (1)求抛物线的方程;

    (2)已知,设是该抛物线上的任意一点,轴上的两个动点,且取得最大值时,求的面积.

    【解析】分析:1)设,则由抛物线的定义得轴正方向的夹角60°时,,由从而可得结果;2)设,则

    ,则

    所以

    所以

    当且仅当时等号成立,此时

    所以.

    点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

    13河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当轴正方向的夹角为时, .

    (1)求抛物线的方程;

    (2)已知,设是该抛物线上的任意一点, 轴上的两个动点,且,当计取得最大大值时,求的面积.

    ,

    所以,抛物线的方程为.

    (2)因为,所以点在线段的中垂线上,

    ,

    所以

    所以 .

    当且仅当时等号成立,此时.

    所以 .

    点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;

    (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.  

    14河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟已知椭圆为左焦点,为上顶点,为右顶点,若,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为.

    (1)求的标准方程;

    (2)是否存在过点的直线,与交点分别是,使得?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.

    点睛:求椭圆的标准方程,关键是基本量的确定,方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题,可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式,进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.

    15湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题已知椭圆,过上一动点轴,垂足为点.当点满足时,点的轨迹恰是一个圆.

    (1)求椭圆的离心率;

    (2)若与曲线切于点的直线与椭圆交于两点,且当轴时,,求的最大面积.

    【解析】分析:(1)先求点N的轨迹方程得到,再求椭圆的离心率.(2)先转化为求|AB|的最大值,

    设直线(斜率显然存在),

    由直线与相切知,,即

    联立直线与椭圆的方程  ……

    其中

    那么

    ),则

    又函数上单调递增,则,故

    ,即的最大面积为

    点睛:(1)本题主要考查轨迹方程和椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析转化推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是求,其二是求|AB|的最大值,本题利用的是换元后利用基本不等式解答,也可以平方后利用导数解答.


     

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