浙江省湖州市2020年中考数学真题试卷（含解析）
展开2020年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．数4的算术平方根是
A．2 B． C． D．
2．近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形内接于，，则的度数是
A． B． C． D．
5．数据，0，3，4，4的平均数是
A．4 B．3 C．2.5 D．2
6．已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形．若，则菱形的面积与正方形的面积之比是
A．1 B． C． D．
8．已知在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于点和点．则下列直线中，与轴的交点不在线段上的直线是
A． B． C． D．
9．如图，已知是斜边上的高线，．以为圆心，为半径的圆交于点，过点作的切线，交于点．则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ．
12．化简： ．
13．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则与之间的距离是 ．
14．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次 第一次 | 白 | 红Ⅰ | 红Ⅱ |
白 | 白，白 | 白，红Ⅰ | 白，红Ⅱ |
红Ⅰ | 红Ⅰ，白 | 红Ⅰ，红Ⅰ | 红Ⅰ，红Ⅱ |
红Ⅱ | 红Ⅱ，白 | 红Ⅱ，红Ⅰ | 红Ⅱ，红Ⅱ |
则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
16．如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点．交于点，连结．若的面积是2，则的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：．
18．解不等式组．
19．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，表示熨烫台的高度．
（1）如图．若，，求的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是（如图．求该熨烫台支撑杆的长度（结果精确到．
（参考数据：，，，．
20．为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
21．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
23．已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点，重合），折痕交边于点．
（1）特例感知 如图1，若，是的中点，求证：；
（2）变式求异 如图2，若，，，过点作于点，求和的长；
（3）化归探究 如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为．过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结，，和．
（1）如图1，当轴时，
①已知点的坐标是，求抛物线的解析式；
②若四边形是平行四边形，求证：．
（2）如图2，若，，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．数4的算术平方根是
A．2 B． C． D．
解：的平方为4，
的算术平方根为2．
故选：．
2．近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
解：将991000用科学记数法表示为：．
故选：．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是
A． B． C． D．
解：主视图和左视图是三角形，
几何体是锥体，
俯视图的大致轮廓是圆，
该几何体是圆锥．
故选：．
4．如图，已知四边形内接于，，则的度数是
A． B． C． D．
解：四边形内接于，，
，
故选：．
5．数据，0，3，4，4的平均数是
A．4 B．3 C．2.5 D．2
解：，
故选：．
6．已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形．若，则菱形的面积与正方形的面积之比是
A．1 B． C． D．
解：根据题意可知菱形的高等于的一半，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故选：．
8．已知在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于点和点．则下列直线中，与轴的交点不在线段上的直线是
A． B． C． D．
解：直线和直线分别交轴于点和点．
，
、与轴的交点为；故直线与轴的交点在线段上；
、与轴的交点为，；故直线与轴的交点在线段上；
、与轴的交点为，；故直线与轴的交点不在线段上；
、与轴的交点为，；故直线与轴的交点在线段上；
故选：．
9．如图，已知是斜边上的高线，．以为圆心，为半径的圆交于点，过点作的切线，交于点．则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
解：如图，连接．
是半径，，
是的切线，
是的切线，
，故选项正确，
，，
，
是切线，
，
，
，
，
，故选项正确，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
，故选项正确，
故选：．
10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是
A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：
故选：．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ．
解：
故答案为：
12．化简： ．
解：
．
故答案为：．
13．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则与之间的距离是 3 ．
解：过点作于，连接，如图，则，
在中，，
所以与之间的距离是3．
故答案为3．
14．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次 第一次 | 白 | 红Ⅰ | 红Ⅱ |
白 | 白，白 | 白，红Ⅰ | 白，红Ⅱ |
红Ⅰ | 红Ⅰ，白 | 红Ⅰ，红Ⅰ | 红Ⅰ，红Ⅱ |
红Ⅱ | 红Ⅱ，白 | 红Ⅱ，红Ⅰ | 红Ⅱ，红Ⅱ |
则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，
则两次摸出的球都是红球的概率为；
故答案为：．
15．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
解：在中，，，
，，
与相似的格点三角形的两直角边的比值为，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出，，的三角形，
，
，
，
此时的面积为：，为面积最大的三角形，其斜边长为：．
故答案为：．
16．如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点．交于点，连结．若的面积是2，则的值是 ．
解：连接，过作，交轴于，
，反比例函数的图象经过的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：．
解：原式．
18．解不等式组．
解：，
解①得；
解②得．
故不等式组的解集为．
19．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，表示熨烫台的高度．
（1）如图．若，，求的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是（如图．求该熨烫台支撑杆的长度（结果精确到．
（参考数据：，，，．
解：（1）过点作于，
，，
，
；
（2）过点作于，
，，
，
，
即该熨烫台支撑杆的长度约为．
20．为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
解：（1）抽查的学生数：（人，
抽查人数中“基本满意”人数：（人，补全的条形统计图如图所示：
（2），
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为；
（3）（人，
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．
21．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
解：（1）平分，
，
，
；
（2），
，
是的直径，，
的长．
22．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
解：（1）设甲车间有名工人参与生产，乙车间各有名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘名工人，由题意得：
，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：
（天．
选择方案一需增加的费用为（元．
选择方案二需增加的费用为（元．
，
选择方案一能更节省开支．
23．已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点，重合），折痕交边于点．
（1）特例感知 如图1，若，是的中点，求证：；
（2）变式求异 如图2，若，，，过点作于点，求和的长；
（3）化归探究 如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围．
【解答】（1）证明：，，
是等边三角形，
，，
由题意，得，，
，
使得等边三角形，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将沿过点的直线折叠，
情形一：当点落在线段上的点处时，如图中，
，
，
，
，
情形二：当点落在线段上的点处时，如图中，
同法可证，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
（3）如图3中，过点作于，过点作于．
，，
，
，
当时，设，则，
，
，
，
，
观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为．过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结，，和．
（1）如图1，当轴时，
①已知点的坐标是，求抛物线的解析式；
②若四边形是平行四边形，求证：．
（2）如图2，若，，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）①轴，点，
，
将点，代入抛物线解析式中，得，
，
抛物线的解析式为；
②如图1，过点作轴于，交于点，
轴，
，
点是抛物线的顶点坐标，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
即；
（2）如图2，．
抛物线的解析式为，
顶点坐标，
假设存在这样的点使四边形是平行四边形，
设点，，
过点作轴于点，交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
过点作轴于，交于，
，
，
，
，，
，
，
点的纵坐标为，
轴，
点的坐标为，，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为，
，，
存在这样的点，使四边形是平行四边形．
