安徽省定远县育才学校2020届高三5月模拟考试数学（文）试题

2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试

文科数学

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.设全集，集合，，则

A.                                    B.                              C.                           D.

2.已知复数，为虚数单位，则

A.                                   B.                              C.                                     D.

3.在中， ，点为边上一点，且，则

A.                                      B.                                 C.                                          D.

4.运行如图所示的程序框图，输出的x是

A.                                   B.                                C.                                               D.

5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.

现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为

A.  B.  C.  D.

6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为

A.                                                  B.                                        C. 1                                 D.

7.设等差数列的前n项和为，若，则的值等于

A. 54 B. 45 C. 36 D. 27

8.函数的部分图像大致是

A.     B.     C.     D.

9.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10.在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是

A.     B.     C. 平面平面    D. 平面平面

11.已知函数与，则函数 在区间上所有零点的和为

A.                                     B.                                    C.                              D.

12.已知 是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．

14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，则的值为__________．

15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．

16.设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____．

A.                             B.                                   C.                                D.

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分12分）

（1）求角；

（2）若，求 的面积.

18. （本小题满分12分）

随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；

（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；

（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？

（参考数据：）

19. （本小题满分12分）

四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.

（1）求证：；

（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值．

21（本小题满分12分）

.已知函数．

求的单调区间；

若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知三点， ， ．

（1）求经过， ， 三点的圆的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值．

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试

文科数学参考答案

1.B   利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可.

因为 ，

又因为 ，

，故选B.

2.B

   先化简复数z求出z，再求.

由题得，

所以.故答案为：B

3.D

   3.∵

∴。故选D.

4.A

   模拟运行如图所示的程序框图知，

该程序运行后输出的．故选：A．

5.A

   由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得解

设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，

则图（3）中阴影部分的面积为：9S，

又图（3）中大三角形的面积为16S，

由几何概型中的面积型可得：

此点取自阴影部分的概率为，故选：A.

6.A

   利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.

函数的图象向左平移个单位长度后，

图象所对应解析式为：，

由关于轴对称，则，

可得，，又，所以，

即，

当时，所以，，故选A．

7.A

8.D

   为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，设，则，即在区间上递增，且，又在区间上，排除B；当时， ，排除C，故选D.

9.A

   先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a的范围．

设则，当时，

所以在上递增，得

所以当时，恒成立.

若不等式在上恒成立，得函数在上递减，

即当时，恒成立，所以

即，可得恒成立，因为,所以，故选：．

10.A

   利用排除法，由与重合排除选项；由与重合且与重合排除选项；

与重合时，排除选项，从而可得结果.

与重合时，不成立，排除选项；

与重合且与重合时，平面平面不成立，排除选项；

与重合时，平面平面不成立，排除选项.故选A.

11.D

   在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，画出函数的图象，根据函数的图象关于点对称可得结果.

在区间上所有零点的和，

等价于函数的图象交点横坐标的和，

画出函数的图象，

函数的图象关于点对称，则共有8个零点，其和为16. 故选D.

12.B

   由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.

与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等故选：B

13.-1

   画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值．

画出约束条件表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数过点A时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为．

故答案为：．

14.   由频率分布直方图可得支出的钱数在的同学有个，支出的钱数在的同学有个，又支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，所以 故答案为100

15.   将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.

16.    因为点为椭圆内一点，所以，设左焦点，则，又，所以

，也就是即，从而.

17.(1) (2)

   （1）因为 ，所以有，由正弦定理可得，因 ，故，所以得到，∵  所以.

（2）法1:根据正弦定理，于是可得.∵ ， ∴，又因为，由余弦定理得，两式联立得，解得或（负值舍去）.∴.

法2：因为，所以，代入得，所以.因为，所以.根据正弦定理，于是可得，∴

18.    （1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40

则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.

（2）由（1）中的样本评分数据可得

，

则有

所以均值，方差.

（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”，

由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，

则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为

19.   （1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；

（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．连接PF，BD,

∵是等边三角形，F为AD的中点，

∴PF⊥AD，

∵底面ABCD是菱形，，

∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，

∴BF⊥AD，

又PF，BF⊂平面PBF，PF∩BF＝F，

∴AD⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，

∴AD⊥PB．

（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面PAD，

∴BF⊥平面PAD，又BF⊂平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PF⊥平面ABCD，

连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，

∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，

此时CG=CP,

∴四面体的体积．

所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.

20.   （1）过作于，则，

当共线时，取最小值．

解得或．

当时，抛物线的方程为，

此时，点与点在抛物线同侧，这与已知不符．

∴，抛物线的方程为．

（2），设，

由，得，

所以，，且由得．

因为直线的倾斜角互补，所以，

∵，

∴，即，

，

，，

由，得，

所以，

．

21..   ．

，

由得，，

当时，在或时 ，

在时，

的单调增区间是和，单调减区间是；

当时，在时，

的单调增区间是；

当时，在或时，

在时．

的单调增区间是和，单调减区间是．

由可知在区间上只可能有极小值点，

在区间上的最大值在区间的端点处取到，

即有且，

解得．

即实数a的取值范围是．

22.（1）；（2）．

   （1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。

（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。

23.（1）或；（2）

∵函数，∴当时， ；当时， ；

当时，

（1）当时，不等式化为，解得，

当时，不等式化为，无解，

当时，不等式化为，解得，

综上，不等式的解集为或

（2） 由上述可知的最小值为9，因为不等式恒成立，所以，所以，故实数的取值范围为