吉林省梅河口市第五中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

梅河口五中高三下学期模拟考试
数学（文科）

1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0 } ，则 A Ç B 等于( ) A. {1}
B. {1, 2}

C. {0,1, 2, 3}

D. {-1, 0,1, 2, 3}

2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) ， i 为虚数单位，则 z + 2 = ( )
z - 1

A. -1 - i

B. 1+ i

3
C. 1 - i
2
D. 1 + 3 i
2


3、命题"
"x Î R, x 3 - x 2 + 1 £ 0 "的否定是( )





4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ，且 (a + b) / /(ma - b) ，则实数 m = （ ）


A. 1 B. -1 C. 7
5
D. - 7
5


2
ç ÷
5、已知 a = 21.2 ， b = æ 1 ö
è ø

-0.8

， c = 2 log5 2 ，则 a, b, c 的大小关系为( )


A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a

6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹

日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a, b 分别为 8, 2 ， 则输出的 n = ( )


A.2 B.3 C.4 D.5

7、在△ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 A = 30°, b2 = 2ac ，则 b sin B =
c

（ ）


A. 1 B. 2 C. 1
2



D. 3
2



8、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ，则sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的概率为
4 4 2


（ ）

A. 3
4
D. 1
3


B. 2
3


C. 1
2



9、已知直线 y = kx(k ¹ 0) 与双曲线 x
2 y 2
-

= 1(a > 0, b > 0) 交于 A, B 两点，以 AB 为直

a2 b2

径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 4a 2 ，则双曲线的离心率为( )


A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

10、设函数 f ( x) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x Î D ，都有

f ( x + m) > f ( x) ，则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的



奇函数，且当 x > 0 时， f ( x) =
x - a - a （ a Î R ）．若 f ( x) 为 R 上的“20 型增函数”，


则实数 a 的取值范围是（ ）


A． a > 0
B． a < 5
C． a < 10
D． a < 20


11、已知过球面上三点 A, B, C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且


AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( )

A. 42p B. 48p C. 54p

D. 60p

12、已知直线 l : y = -2 x - m(m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2 - 2x - 2 y - 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相

交于不同两点 M , N .若| MN |£ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（ ）



A. [ 5, 5) B. [2, 5 5 - 3)
C. (5, 5 5 ) D.



( 3, 2)

13、设曲线 y = ax2 在点 (1, a) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直，则 a = .

ì x - 2 y £ 0
í
14、已知 x, y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 ，则 z = x + y 的最小值为 ．
î
ï x ³ 1
15、已知正数 x, y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 .


16、△ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b = 2 ，

则△ ABC 面积的最大值是 .
17、已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 8，a3 + a8 = 2a5 + 2 ．

(1)求 an ；

(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ，求证T < 3 .
S
4
n n
n

18、如图，在三棱柱 ABC - A1 B1C1 ，侧棱垂直于底面， AB ^ BC, E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点.



(1).求证：平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1 ；

(2).求证： C1 F / / 平面 ABE .

19、如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ^ 平面 ABCD ，

AB / /CD, AB ^ BC, AB = BC = 4, CD = 2CE = 2 .


（1）证明：平面 PAD ^ 平面 PDE ；

（2）若△PAB 的面积为 2 21 ，求三棱锥 P - ADE 的体积.


2
20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x
y 2
+ = 1 的左顶点为 A，右焦点为 F，P，

4 3

Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x2 + y2 = r 2 (r > 0) .

（1）若 PF ^ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；


（2）若圆 O 的半径为 2，点 P，Q 满足 k

值.

21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .
2

OP × kOQ

= - 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大
4


（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围；

（2）当 a = 0 , b = - 1 时，方程 x2 = 2mf ( x) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值.

22、选修 4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系

ìï x =
中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 í
3 - t

( t 为参数)，曲线 C 的极坐标



æ p ö
3
方程为 r= 4 sin çq+ ÷ .
è ø
ïî y = 1 + 3t


(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积．


23、已知函数 f (x) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x) £ 2 的解集；
(2)若 f ( x) 的最大值为 m，正数 a, b, c 满足 a + b + c = m ，求证： a2 + b2 + c2 ³ 3 .

1 答案及解析：

答案：B

解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0}= {x -1 £ x £ 2 } ，

∴ A Ç B = {1, 2} .故选 B.



2 答案及解析： 答案：D
解析： z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3 i ，故选 D.

z - 1
-2i 2




3 答案及解析：

答案：C


解 析 ： 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 "x Î R,x3 - x 2 + 1 £ 0
的 否 定 是


“ 3 2

$x0 Î R,x0
- x0
+ 1 > 0 ”，故选 C.




4 答案及解析：

答案：B

解析：易知 a + b = (-1,1), ma - b = m(4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ，因为

(a + b) / /(ma - b) ，所以 (-1) ´ (-m - 2) - 1´ (4m + 5) = 0 ，解得： m = -1， 故选 B.


5 答案及解析： 答案：A


2
ç ÷
解析：∵ a = 21.2 > 2 ， b = æ 1 ö
è ø
-0.8

5 5
= 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ，


∴ c < b < a .故选 A.



6 答案及解析：

答案：D

解析：输入的 a, b 分别为 8, 2, n = 1

第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件，

第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件，
第四次执行循环体后 n = 4, a = 81 , b = 32 ，不满足退出循环的条件，
2

第五次执行循环体后 n = 5, a = 243 , b = 64 ，满足退出循环的条件，
4
故输出的 n = 5 ，故选 D.



7 答案及解析： 答案：A

解析：因为 b2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 sin A sin C = 2 sin 30o sin C = sin C ，所


b sin B
以
c
sin 2 B
= = 1，
sin C


故选 A.


8 答案及解析： 答案：D

π π π 3

解析：所有的基本事件构成的区间长度为
- (-
) = ，由 0 £ sin 2 x £ ，解得：

4 4 2 2


0 £ 2 x £ π ，则 0 £ x £ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的
3 6 2

π - 0
6 1
概率为 P = π = 3 ，
2
故选:D.



9 答案及解析： 答案：D




∵AB 为圆的直径

∴ÐAFB = 90°

根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形

∴S = 1 S = S
△ABF 2 AFBF ' △FBF '

2
又 b 2 2 2 2

S△FBF
' = = b
tan 45°
= 4a
，可得： c
= 5a



∴e2 = 5 Þ e =
5 .故选 D.





10 答案及解析：

答案：B
解析：若 a £ 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x - a | -a =| x |= x ， 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x) = x ，符合题意；

ì- x, 0 < x < a
若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x - a | -a = í ，
î x - 2a, x ³ a

又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x) 对于任意 x Î R 恒成

立，∴问题等价于将 f ( x) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f ( x + 20) 图象恒在


f ( x) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (-¥, 5) ，故选 B.



11 答案及解析： 答案：C



1 2 2

Rt△ACD 中，
cosA = ，则 sinA = .

3

在△ABC 中，由正弦定理得 6 sin A
3

= 2r, r = 9
4
2 ，△ABC 外接圆的半径


r = 9 2 =

3 R Þ R2 = 27 ，S= 4pR2 = 54p .故选:C.

4 2 2





12 答案及解析：

答案：B

解析：圆 C 方程可化为： ( x -1)2 + ( y -1)2 = 25 Þ C (1,1) ，圆 C 半径 r = 5


| MN |£ 2 | CM + CN |=| MN |2 £ 4 | CM + CN |2


即| MN |2 £ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM × CN


∴| MN |2 £ 100 + 100 + 8 | CM | × | CN | cos ÐMCN


uuuur
2 uuuur

Þ| MN |2 £ 100 + 100 + 200 ´ 25 + 25- | MN |
50

Þ| MN |£ 4 5


设圆心 C 到直线 y = -2 x - m 的距离为 d


则 2 r 2 - d 2 = 2 25 - (| 3 + m |)2 £ 4 5 Þ m ³ 2
5

又直线 y = -2 x - m 与圆 C 相交，可得 d < r



| 3 + m |
即
5

< 5 Þ m < 5 5 - 3



综上所述： m Î[2, 5 5 - 3)

故选 B.

13 答案及解析： 答案：1

解析： y ' = 2ax ，所以切线的斜率 k = 2a ，

又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0

垂直得 2a ´ æ - 1 ö = -1 ，解得 a = 1.
ç 2 ÷
è ø




14 答案及解析：

答案： 3
2






ì x - 2 y £ 0

í
解析：作出 x，y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 对应的平面区域如图：
î
ï x ³ 1



由 z = x + y 得 y = -x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线，

平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时，直线 y = -x + z 的截距最小，此时 z

最小，

ì x = 1 1
由 í Þ A(1, ) ，
î x - 2 y = 0 2

z = 1 + 1 = 3 ．
此时 min 2 2
3
故答案为： ．
2



15 答案及解析：

答案：25

解析：由正数 x，y 满足 3x+4y=xy，∴．
∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当 x=2y=10 时， 取等号．

∴x+3y 的最小值为 25． 故答案为：25．





16 答案及解析：


答案：
2 + 1
2


解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得，

sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ， 又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ，
即 tan B = 1, B = 45° .


在△ ABC 中，由余弦定理得 a2 + c2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a2 + c2 -
2ac = 2 ，


又因为 a2 + c2 ³ 2ac ，


∴ 2 = a2 + c2 -
2ac ³ (2 -
2 ) ac ，



由此可得 ac £ 2
2 -

= 2 +
2
2 ，当且仅当 a = c 时等号成立，

△ ABC 面积 S = 1 ac sin B =
2 (2 +
2 ) =
2 +1 ，

2 4 2
故△ ABC 面积 S 最大值为 2 +1 .
2




17 答案及解析：

í
答案：（1）设公差为 d，由题意有 ì



2a1 + d = 8 ，

î2a1 + 9d = 2a1 + 8d + 2

解得 a1 = 3, d = 2 ，



所以 an = 2n + 1 .

（2）由（1）知， Sn



= n (3 + 2n + 1) = n2 + 2n ，
2

则 1 = 1
= 1 ( 1 -
1 ) ，

Sn n(n + 2) 2
n n + 2


所以T
= 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + × × × + ( 1
- 1 ) + ( 1 -
1 )]

n 2 3 2 4 3 5
n - 1
n + 1
n n + 2

= 1 (1 + 1 - 1 -
1 ) < 3 .

2 2 n + 1
n + 2 4




18 答案及解析：

答案：(1).在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， BB1 ^ 底面 ABC

所以 BB1 ^ AB

又因为 AB ^ BC

BC Ç BB1 = B


BC, BB1 Ì 平面 B1 BCC1


所以 AB ^ 平面 B1 BCC1

又 AB Ì 平面 ABE

所以平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1

(2).证明： AB 取的中点 G，连接 EG, FG

因为 E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点

所以 FG / / AC ，且 FG = 1 AC
2

因为 AC / / A1C1 ，且， AC = A1C1 ，所以 FG / / EC1 ，且 FG = EC1 ，所以四边形为 FGEC1 平行 四边形
所以 C1 F / / EC

又因为 EG Ì 平面 ABE ， C1 F Ë 平面 ABE

所以 C1 F / / 平面 ABE


19 答案及解析：

答案：（1）在直角梯形 ABCD 中， AB =


BC =


4 ，CD =


2 ，CE = 1，Ð ABE = Ð ECD



\ DE =
CE 2 + CD2 =
5 ， AB =
BE 2 +
AB2 = 5



AD =
(AB - CD)2 +
BC 2 = 2 5



\ DE 2 +
AE 2 =
AD2 ，

\ AD ^ DE
Q PD ^ 平面 ABCD ， DE Ì 平面 ABCD ，

\ PD ^
DE ，又 AD I PD = D

\ DE ^ 平面 PAD ，又 DE Ì 平面 PDE ，
\ 平面 PAD ^ 平面 PDE

（2）设 PD =
h ， BD =
CD2 +
BC 2 =
2 5 ， AD = 2 5



\ PA =
PB =
h2 + 20



\ S
ΔPAB =
1 鬃AB PA2 - ( 1 AB)2 =
2 2
2×h2 + 16 =

2 21


\ h = 5


又 S△ADE =
1 AD ×DE = 5
2


\ 1 5 5

VP- ADE =
S△ADE ×h =
3 3




20 答案及解析：


x2
答案：（1）因为椭圆 C 的方程为
2
y
+ = 1 ，所以 A (-2, 0) , F (1.0) .

4 3

因为 PF ^ x 轴，所以 P æ1, ± 3 ö ，而直线 AP 与圆 O 相切，
ç 2 ÷
è ø




ç
2
è
÷
根据对称性，可取 P æ1, 3 ö ，
ø

则直线 AP 的方程为 y = 1 ( x + 2) ，即 x - 2 y + 2 = 0 .
2

2 4
由圆 O 与直线 AP 相切，得 r = ，所以圆 O 的方程为 x2 + y 2 = .
5 5

（2）易知，圆 O 的方程为 x2 + y 2 = 3 .




①当 PQ ^ x 轴时， k × k

= -k
2 = - 3 ，所以 k = ± 3 ，

OP OQ OP 4
OP 2



此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 2 2 .



②当 PQ 与 x 轴不垂直时，设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ，P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ¹ 0) ，


首先由 k × k
= - 3 ，得 3x x

+ 4 y y

= 0 ，

OP OQ 4
1 2 1 2

2 2
即 3x1 x2 + 4 (kx1 + b) (kx2 + b) = 0 ，所以 (3 + 4k
) x1 x2 + 4kb ( x1 + x2 ) + 4b

= 0 （*）


ì y = kx + b
ï

联立 í x2
ï

y 2
+ = 1
，消去 x，得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 - 12 = 0 ，在 D > 0 时

î 4 3



8kb

4b 2 -12

）式，得 2b2 = 4k 2
3 + 4k 2

代入（*
3 + 4k 2



x1 + x2 = -
, x1 x2 =
+ 3 .





由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d =
b
，
k 2 + 1




所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l = 2 4 - d 2 =
8 + 2
k 2 + 1

，故当 k = 0 时，l 有最大值



为 10 .

综上，因为 10 > 2 2 ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 10 .



21 答案及解析：

答案：（1）由题意，函数 f ( x) 的定义域为 (0, +¥) ，则导数为 f '( x) = 1 - ax - b x

由 f (1) = 0 ，得 b = 1 - a ，

∴ f '( x) = 1 - ax + a - 1 = -(ax + 1)( x - 1)
x x
①若 a ³ 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 .

当 0 < x < 1时， f '( x) > 0 ，此时 f ( x) 单调递增； 当 x > 1 时， f '( x) < 0 ，此时 f ( x) 单调递减.
所以 x = 1 是 f ( x) 的极大值点

②若 a < 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = - 1 .
a
因为 x = 1 是 f ( x) 的极大值点，所以 - 1 > 1 ，解得 -1 < a < 0
a
综合①②：a 的取值范围是 a > -1

（2）因为方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解，所以 x2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解


2 x2 - 2mx - 2m
设 g ( x) = x 2 - 2m ln x - 2mx ，则 g '( x) = ，
x

令 g '( x) = 0 ，即 x2 - mx - m = 0 .



m -
因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x1 =
m2 + 4m
2
m +
< 0 （舍去）， x2 =
m2 + 4m
2


当 x Î (0, x2 ) 时， g '( x) < 0 ， g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减，
当 x Î (x2 , +¥) 时， g '( x) > 0 ， g ( x) 在 ( x2 , +¥) 单调递增 当 x = x2 时， g '( x) = 0 ， g ( x) 取最小值 g ( x2 )


ï
ìg ( x ) = 0 ì x 2
则 2 ，即 2
- 2m ln x2 - 2mx2 = 0
，

í
îg '( x2 ) = 0
í 2
ïî x2
- mx2 - m = 0


所以 2m ln x2 + mx2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x2 + x2 -1 = 0(*)

设函数 h( x) = 2 ln x + x - 1，

因为当 x > 0 时， h( x) 是增函数，所以 h( x) = 0 至多有一解



m +
因为 h(1) = 0 ，所以方程 (*) 的解为 x2 = 1 ，即
m2 + 4m
2
= 1 ，解得 m = 1
2





22 答案及解析：

ìï x =
答案：(1)由 í


3 - t



，消去参数 t 得 3x + y = 4 ，直线 l 的普通方程为 3x + y - 4 = 0 .

ïî y = 1 + 3t

2
æ p ö
由 r= 4 sin çq+ ÷ = 2 sinq+ 2 3 cosq 得， r = 2rsinq+ 2 3rcosq，
è 3 ø

即 x2 + y 2 = 2 y + 2 3x ，


∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x -
3)2 + ( y - 1)2 = 4 .


-4
(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d = = 2 .
( 3)2 + 12


直线 l 过圆 C 的圆心 ( 3,1) ，∴ MN
= 2r = 4 ，

所以△MON 的面积 S = 1 MN ´ d = 4 .
2
解析：



23 答案及解析：

答案：（1）当 x £ 0 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x) ³ 2 ，得 x + 3 ³ 2 ， 解得 x ³ -1 ，此时 -1 £ x £ 0 ；
当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ，由 f ( x) ³ 2 ，得 3 - 3x ³ 2 ，

解得 x £ 1 ，此时 0 < x £ 1 ；
3 3

当 x ³ 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 £ -6 ，此时不等式 f ( x ) ³ 2 无解.

综上所述，不等式 f ( x ) ³ 2 的解集为 é-1, 1 ù ；
ê 3 ú
ë û

ì x + 3, x £ 0
í3
（2）由 1 可知 f ( x ) = ï - 3x, 0 < x < 3 .
ï- x - 3, x ³ 3


当 x £ 0 时， f ( x ) = x + 3 £ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 - 3x Î (-6, 3) ；当 x ³ 3 时，

f ( x ) = -x - 3 £ -6 .

所以，函数 y = f ( x) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 .

由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ) ³ (a + b + c )2 ，即 3(a2 + b2 + c2 ) ³ 32 ， 即 a2 + b2 + c2 ³ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立.
因此， a2 + b2 + c2 ³ 3 .