山西省临汾2020届高三下学期模拟考试（1）数学（文）
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文科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合,，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知正六边形中，分别为
的中点，圆为六边形的内切圆，则往正六边形中投掷一点，该点不落在圆内的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
4．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
7．执行下面的程序框图，若输出的S的值为440，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知点是焦点为的抛物线上的一点，且，点是直线与的交点，若，则抛物线的方程为 （ ）
A． B．或
C． D．或
10．三棱锥中，底面为非钝角三角形，其中，
，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的点，且，若的面积为16，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
12．已知函数的定义域为，且，则与的大小关系为 （ ）
A．无法确定 B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知甲同学6次数学期中考试的成绩如下表所示：
年级 | 高一(上) | 高一(下) | 高二(上) | 高二(下) | 高三(上) | 高三(下) |
成绩 | 120 | 115 | 135 | 98 | 130 | 125 |
则该同学6次数学考试成绩的中位数为 .
14．已知实数满足，则的取值范围为 .
15．已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是 .
16．已知奇函数的定义域为，且当时，，曲线上存在四点，使得四边形为平行四边形，则四边形的面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.
（1）若，求；
（2）若，记，且，求的值．
18．（12分）随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.
（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在以及内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在内的概率.
19．（12分）已知四棱锥中，平面平面，
,.
（1）若，，求四棱锥的体积；
（2）证明：在线段上存在一点，使得平面.
20．（12分）已知椭圆过点，离心率为.直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的斜率.
21．（12分）已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递减，试探究函数在区间上的单调性；
（2）证明：方程在上有且仅有两解.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为；曲线：，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的参数方程，以及直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
设函数（其中）.
（1）解不等式：；
（2）若，解不等式.
文科数学答案与解析
1．【答案】D【解析】依题意，,，故，故，故选D.
2．【答案】A【解析】依题意，，则在复平面内，复数所对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.
3．【答案】B【解析】不妨设，故，连接，在等边三角形中可得，圆的半径为，故所求概率，故选B.
4．【答案】B【解析】依题意，记，
则，又
，两式相加可得
，
则，故选B.
5．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故选A.
6．【答案】D【解析】依题意，
，故，则，故选D.
7．【答案】C【解析】若判断框中填写“”，运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，，第五次，，退出循环，此时输出S的值为440，故选C.
8．【答案】D【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积，故选D.
9．【答案】B【解析】依题意，；设，联立，解得，故，则；因为，
故，解得，且；
又由得，，解得或，故选B.
10．【答案】C【解析】因为，为非钝角三角形，故，由余弦定理得，解得，故为直角三角形，其中；故，故，此时，注意到球心即为线段AC的中点O（此时点O到的距离均为4），故所求球体的体积，故选C.
11．【解析】C【解析】依题意，不妨设在上；因为，故为点到直线的距离，故；因为为直角三角形，，故，故，故 ①，因为双曲线的离心率，解得 ②，联立①②，解得，故双曲线的实轴长为16，故选C.
12．【答案】D【解析】依题意，，
令，故，
故，故在上单调递增，则，即，
故，即，故选D.
13．【答案】122.5【解析】将该同学6次数学考试成绩按照从小到大排列可得98,115,120,125,130,135，故中位数为122.5
14．【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，，即，故的取值范围为.
15．【答案】9【解析】依题意，数列为等差数列，因为，
即，即，因为，
即，因为在时单调递增，
其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.
16．【答案】【解析】依题意，作出函数的图象如下图所示，其中，故直线，点到直线的距离，，故四边形的面积为.
17．【解析】
（1）因为角成等差数列，所以；，即，
又因为，，所以；在中，由余弦定理得，
，即，解得.（6分）
（2）依题意，；因为，所以．
在中，，在中，，
由正弦定理得，，即，
化简得，于是．
因为，所以，
所以，解得，故．（12分）
18．【解析】
（1）依题意，所求人数为.（5分）
（2）依题意，年龄在内的有3人，记为，年龄在内的有2人，记为1,2；随机抽取2人，所有可能的情况为（A,B）,（A,C）,（A,1）,（A,2）,（B,C）,（B,1）,（B,2）,（C,1）,（C,2）,（1,2），共10种，其中年龄都在内的情况为（A,B）,（A,C）,（B,C），故所求概率.（12分）
19．【解析】
（1）依题意，；因为平面平面，故，
故四棱锥的体积.（5分）
（2）取边上靠近的三等分点，边上靠近的三等分点，连接；
因为，故；
又，，故；
故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，故平面；
因为，故，
因为平面，平面，故平面.
因为，故平面平面.
因为平面，故平面.（12分）
20．【解析】
（1）依题意，解得，
故椭圆的方程为.（4分）
（2）依题意，联立方程组:，
消去整理得，，故，
因为，所以，
所以，，即；
所以，即，得.（12分）
21．【解析】
（1）依题意，，由，
故函数的递减区间为；而当时，，故若函数在区间上单调递减，
函数在区间上也是单调递减.（4分）
（2）令，
因为，由得，
令，则，
因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则，
由得，
所以，又因为的对称轴为，
所以，
所以，所以，
又，
设中的较大数为，则，
故当时，方程在上有且仅有两解.（12分）
22．【解析】
（1）依题意，曲线的参数方程为（为参数），
直线，故极坐标方程为，即.（5分）
（2）依题意，可设直线的参数方程为（为参数），
代入并化简，得，；
设两点对应的参数分别为，则，
所以，所以．（10分）
23．【解析】
（1）依题意，，故或，
即或，
所以原不等式的解集为.（4分）
（2）依题意，，
当时，，解得，无解；
当时，，解得，故；
当时，，解得，即；
综上所述，当时，不等式的解集为.（10分）
