2020届北京市高三3月第一次在线大联考数学试题（解析版）

2020届北京市高三3月第一次在线大联考数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】根据复数运算可求得，进而得到对应点的坐标，从而得到结果.

【详解】

，，对应点的坐标为，

对应的点位于第一象限.

故选：.

【点睛】

本题考查复数对应点的坐标的求解，涉及到复数的运算和共轭复数的定义，属于基础题.

2．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由指数函数和对数函数单调性分别求得集合，根据补集和交集的定义可求得结果.

【详解】

，，

又，.

故选：.

【点睛】

本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到利用指数函数和对数函数单调性求解不等式的问题，属于基础题.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数真数大于零可得一元二次不等式，解不等式可求得结果.

【详解】

由得：，解得：，

定义域为.

故选：.

【点睛】

本题考查对数型函数的定义域的求解，涉及到一元二次不等式的解法；关键是明确对数有意义则真数必须大于零.

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据奇偶性的定义和初等函数的单调性依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】

对于，在上单调递减，不合题意，错误；

对于，定义域为，且，满足偶函数定义；根据二次函数性质可知在上单调递增，满足题意，正确；

对于，，则为奇函数，不合题意，错误；

对于，定义域为，为非奇非偶函数，不合题意，错误.

故选：.

【点睛】

本题考查初等函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.

5．“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据方程表示双曲线的充要条件可构造不等式求得，由推出关系可确定结果.

【详解】

若表示双曲线，则，解得：.

，，

“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.

故选：.

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到方程表示双曲线的充要条件，属于基础题.

6．已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设圆心，利用点到直线距离可构造方程求得，根据点的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.

【详解】

圆的圆心在直线上，可设，

圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.

到直线的距离，，解得：或，

或，

在直线的左上方，，，，

圆的标准方程为：.

故选：

【点睛】

本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量.

7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据奇偶性可排除；根据函数在的单调性可排除，由此得到结果.

【详解】

由得：，定义域为.

，

为奇函数，图象关于原点对称，排除；

，在上单调递减，排除.

故选：.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，解决此类问题通常采用排除法，排除的依据通常为奇偶性、特殊位置符号、单调性.

8．已知函数的部分图象如图所示，若点，且，则和的值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由和可确定周期为并且，由此可确定，进而解得；代入，对应余弦函数图象可确定，结合的范围可求得.

【详解】

，，，，

，

由图象及知：，，，解得：.

，，

解得：，又，.

故选：.

【点睛】

本题考查利用余弦型函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够利用最值和图象与轴的交点确定周期，利用最值点对应余弦函数图象可求得初相.

9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图可得三棱锥的直观图，可确定其可看做由长、宽、高分别为、、的长方体切割而成，则长方体外接球即为三棱锥外接球，通过求解长方体外接球表面积得到结果.

【详解】

根据三视图可知该三棱锥的直观图如下图所示：

其中，平面，，，

则该三棱锥可看做由长、宽、高分别为、、的长方体切割而成，

则长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，，解得：，

三棱锥外接球的表面积.

故选：.

【点睛】

本题考查棱锥外接球表面积的求解，涉及到利用三视图还原几何体；关键是能够明确所求三棱锥的外接球即为长方体的外接球，通过长方体外接球半径为体对角线的一半可求得外接球半径，进而求得结果.

10．甲、乙、丙、丁四位生物学专家在筛选临床抗病毒药物，，，时做出如下预测：

甲说：和都有效；

乙说：和不可能同时有效；

丙说：有效；

丁说：和至少有一种有效.

临床试验后证明，有且只有两种药物有效，且有且只有两位专家的预测是正确的，由此可判断有效的药物是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【解析】从四名专家中分别假设两名预测准确，进而判断其他专家预测的准确性和药物的有效性，直到满足题意的情况出现.

【详解】

假设甲、乙预测正确，则有效药物为，可知丁预测也正确，不合题意；

假设甲、丙预测正确，则有效药物为，不合题意；

假设甲、丁预测正确，则有效药物为，可知乙预测也正确，不合题意；

假设乙、丙预测正确，则有效，可知丁预测也正确，不合题意；

假设乙、丁预测正确，若均有效，或无效，有效，则丙预测也正确，不合题意；若有效，无效，则至少一个有效，若有效，则甲预测也正确，不合题意；若有效，则甲、丙预测均错误，此时有效药物为，预测正确的专家为乙和丁，满足题意；

假设丙、丁预测正确，若均有效，则乙预测也正确，不合题意；若有效，无效，则至少一个有效，乙预测也正确，不合题意.

综上所述：有效药物为.

故选：.

【点睛】

本题考查逻辑推理的知识，解决此类问题常采用假设的方式，通过判断其他推理的正确性得到是否与已知矛盾，进而得到结果.

二、填空题

11．已知，，若，则__________.

【答案】

【解析】由数量积的坐标运算构造方程求得，进而得到的模长；由向量夹角公式可求得结果.

【详解】

由得：，解得：，，

，，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，涉及到数量积的坐标运算，属于基础题.

12．麒麟是中国传统瑞兽.古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.下图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长5cm，宽4cm的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为__________.

【答案】

【解析】利用几何概型知识可确定，由此可求得结果.

【详解】

矩形面积，

设黑色部分的面积为，根据几何概型的知识，得，

故黑色区域的面积的估计值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查几何概型的应用，属于基础题.

13．已知抛物线过点，则__________，若点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离等于，设为坐标原点，则__________.

【答案】       

【解析】将代入抛物线方程可求得；由抛物线焦半径公式可构造方程求得点坐标，进而求得结果.

【详解】

抛物线过，，解得：.

设，，解得：，，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查根据抛物线所过点求解参数、抛物线焦半径公式的应用，涉及到两点间距离公式的应用，属于基础题.

14．已知数列的通项公式为，其前项和为，则__________.

【答案】

【解析】分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.

【详解】

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，.

，.

【点睛】

本题考查利用数列前项和的周期性求值的问题，关键是能够通过取值验算出数列的前项和的周期.

15．已知下列命题：

①函数在上单调递减，在上单调递增；

②若函数在上有两个零点，则的取值范围是；

③函数在上单调递减；

④当时，函数的最大值为.

上述命题正确的是__________（填序号）.

【答案】①②③

【解析】根据复合函数单调性可判断出①正确；利用数形结合的方式可确定当与有两个交点时的范围，知②正确；利用整体对应法判断正弦型函数的单调性，可确定③正确；利用基本不等式可求得函数最大值，知④错误.

【详解】

①在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，①正确；

②令，则在上有两个零点等价于与有两个交点；

在平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：

由图象可知：若与有两个交点，则，②正确；

③，

当时，，此时单调递减，③正确；

④当时，，

（当且仅当，即时取等号），

，④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查函数部分相关命题的辨析，涉及到复合函数单调性的判断、根据函数零点个数求解参数范围、正弦型函数单调性的求解、利用基本不等式求解函数的最值等知识；是对于函数值域、性质等知识的综合考查.

三、解答题

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角；

（2）若，___________________（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分）.

①的面积为，求的周长；

②的周长为21，求的面积.

【答案】（1）（2）①周长为②面积为

【解析】（1）根据同角三角函数关系和正弦定理可化简已知等式为，从而配凑出，从而求得；

（2）①由三角形面积公式求得，结合（1）中等式可求得，进而得到结果；

②根据周长，结合（1）中等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】

（1）由得：

，

即.

由正弦定理得：，即，

，.

（2）①由三角形面积公式得：，解得：.

由（1）知：，

，

的周长为.

②，，

由（1）得：，，解得：，

的面积.

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是能够熟练利用余弦定理将与进行转化，属于常考题型.

17．如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点.

（1）求证：CM∥平面PAB；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行判定定理可证得结论；

（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.

【详解】

（1）如图，取的中点，连接.

分别为的中点，，

又且，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面.

（2）由题意知：两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，则，，.

平面，为平面的一个法向量，

，

二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.

18．某家电公司进行关于消费档次的调查，根据家庭年均家电消费额将消费档次分为4组：不超过3000元、超过3000元且不超过5000元、超过5000元且不超过10000元、超过10000元，从A、B两市中各随机抽取100个家庭，统计数据如下表所示：

年均家电消费额不超过5000元的家庭视为中低消费家庭，超过5000元的视为中高消费家庭.

（1）从A市的100个样本中任选一个家庭，求此家庭属于中低消费家庭的概率；

（2）现从A、B两市中各任选一个家庭，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；

（3）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的家庭年均家电消费额，估计A、B两市中，哪个市的家庭年均家电消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）.

【答案】（1）（2）（3）B市的家庭年均家电消费额的方差较大

【解析】（1）由古典概型概率公式可直接求得结果；

（2）根据积事件概率公式和分类加法原理可计算得到概率；

（3）根据数据的分散程度可确定结果.

【详解】

（1）市的个样本中有个中低消费家庭，

则从市的个样本中任选一个家庭，此家庭属于中低消费家庭的概率.

（2）从市的个样本中选一个家庭，记为；从市的个样本中选一个家庭，记为，设的消费档次不低于的消费档次为事件，

则，

估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率约为.

（3）市的家庭年均家电消费额的方差较大.

理由如下：从表中数据可知，在市的100个样本与市的个样本中，市的样本分布较为分散，所以市的家庭年均家电消费额的方差较大.

【点睛】

本题考查古典概型概率、积事件概率问题的求解、方差与数据分散度之间的关系等知识；关键是明确方差越大，数据越分散，属于基础题.

19．已知椭圆的右顶点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据离心率、右顶点坐标和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求得；利用点到直线距离公式可求得到距离，由可求得结果.

【详解】

（1）椭圆的右顶点为，，

设椭圆的焦距长为，则，

椭圆的离心率为，，，，

椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知：椭圆的左焦点为，

则直线的方程为，即，

将代入消去可得：，

设，，则，，

.

又点到直线的距离，

的面积.

【点睛】

本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积的求解问题；求解三角形面积的关键是能够熟练应用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形的底和高.

20．已知函数.

（1）若在上是减函数，求实数的最大值；

（2）若，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）根据函数单调性可将问题转化为在上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为，利用导数求得的最大值，进而得到结果；

（2）将问题转化为的证明；利用单调递增和零点存在定理可确定存在，使得，从而得到；根据导函数正负可确定单调性，进而得到，化简后，结合基本不等式可证得结论.

【详解】

由函数解析式可知，定义域为.

（1），

在上是减函数，在上恒成立，即恒成立

令，则，在上单调递增，

，，解得：，

的最大值为.

（2）由（1）知：，则，

在上单调递增.

，当时，，，此时，

由零点存在定理可知，存在，使得，即，

.

当时，；当时，，

当时，单调递减；当时，单调递增，

（当且仅当，即时取等号）.

当时，.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式的问题；根据单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为恒成立问题进行求解；证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题.

21．已知数组，如果数组满足，且，其中，则称为的“兄弟数组”.

（1）写出数组的“兄弟数组”；

（2）若的“兄弟数组”是，试证明：成等差数列；

（3）若为偶数，且的“兄弟数组”是，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】（1）根据“兄弟数组”的定义直接求解即可得到结果；

（2）依次列举出时的式子，将第②④⑥⑧⑩个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加可整理得到，进而得到结论；

（3）依次列举出时的式子，将上述个等式中的第个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加整理可得结果.

【详解】

（1）由知：，，，，，.

，，，

，，同理可得：，，，

.

（2）对于数组及其“兄弟数组”，

…①，…②，…③，…④，

……，…⑪，

将上述几个等式中的第②④⑥⑧⑩个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加得：，

即，，

成等比数列.

（3），，，……，.

由于为偶数，将上述个等式中的第这个等式的两边分别乘以，再与其他等式相加得：，

即，.

【点睛】

本题考查数列中的新定义运算的问题，关键是能够充分理解“兄弟数组”的定义，结合两数组所满足的递推关系式得到“兄弟数组”中的各项；并灵活利用加减运算进行配凑.