2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据集合中元素特征解方程组即可得解.

【详解】

解方组得.

所以

故选：D

【点睛】

此题考查求集合的交集，关键在于准确求解方程组，注意集合中元素的表示方法.

2．设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】根据已知条件求出a=1，再根据复数的运算法则求解复数，即可得到其在复平面内的点所在象限.

【详解】

，=，

所以对应点位于第一象限.

故选：A

【点睛】

此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.

3．从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（    ）

A．55 B．80 C．90 D．110

【答案】D

【解析】利用抽样比求解

【详解】

设该样本中获得或等级的学生人数为，则

故选：D

【点睛】

本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题

4．已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值.

【详解】

为第二象限角，且，

原式=.

故选：C

【点睛】

此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.

5．在的展开式中，前3项的系数和为（    ）

A．16 B．32 C．80 D．160

【答案】B

【解析】根据二项式定理展开可得前三项的系数之和.

【详解】

由二项式定理的展开式可得，前三项的系数和为：.

故选：B

【点睛】

此题考查二项式定理，根据二项式定理展开式求指定项的系数，关键在于熟记展开式的通项.

6．设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则∠B=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.

【详解】

由正弦定理可得：

，

.

故选：D

【点睛】

此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.

7．已知函数的导数为，且，则函数图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据导函数求出，讨论的函数图象，结合奇偶性和特殊值即可得解.

【详解】

，，

,

所以为奇函数，且当时，有g(x)<0.

结合选项，只有A符合题意.

故选：A

【点睛】

此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.

8．棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（    ）

A．5 B． C． D．6

【答案】C

【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.

详解：取BC中点M，取中点N，则四边形即为所求的截面，

根据正方体的性质，可以求得，

根据各边长，可以断定四边形为菱形，

所以其面积，故选C.

点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果.

9．执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的值为4,则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.

详解：根据题中所给的程序框图，

可以判断出，根据判断框里的条件，

就要求，

从而求得，故选B.

点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.

10．双曲线C：的左右焦点分别为，点P在双曲线C上，满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点Q，且，则的值等于（    ）

A． B． C．7 D．8

【答案】C

【解析】根据F1F2⊥PF2，可设P，求得，结合双曲线的定义即可求解.

【详解】

F1F2⊥PF2，可设P，则由

设，

可得，点Q在直线上，所以，

所以

所以.

故选：C

【点睛】

此题考查根据双曲线的几何特征求线段的比例关系，关键在于熟练掌握双曲线的性质.

11．已知函数是偶函数，且函数在区间上是增函数，则下列大小关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数是偶函数，关于x＝0对称，则的图象关于直线x=1对称，结合单调性比较大小.

【详解】

函数是偶函数，关于x＝0对称

的图象关于直线x=1对称，且在区间上是增函数，则在(0，1)上为减函数，

，

 ，

所以.

故选：D

【点睛】

此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.

12．函数的最大值为，且对任意实数，都有，则有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据，可得函数关于对称，结合三角函数和二次函数的对称性与最值即可得解.

【详解】

由，可得函数关于对称，关于对称，

所以必有关于对称，

依题意有.

故选：B

【点睛】

此题考查根据函数的最值和对称性求参数的取值，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的基本性质.

二、填空题

13．已知为两个单位向量，且向量与垂直，则=_________

【答案】5

【解析】根据向量垂直求出，即可得解.

【详解】

由题：向量与垂直，

，解得

所以

故答案为：5

【点睛】

此题考查平面向量的基本运算，根据向量的垂直关系求数量积，根据数量积求向量的模长，考查基础知识.

14．实数满足不等式组，则的最大值是_______

【答案】13

【解析】作出可行域，则即可行域内的点（x，y）到原点的距离的平方，根据几何意义求解.

【详解】

（x，y）的平面区域如图所示的ΔABC平面区域（包括边界），

表示该平面区域内一点到原点的距离的平方，

由几何意义和图形可知，当(x，y)取点B时最大，所以最大值为22+32=13

故答案为：13

【点睛】

此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决非线性目标函数的最值问题，关键在于准确进行转化，转化为距离的平方求解.

15．点P(4，4)为曲线C：上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则____________

【答案】

【解析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l的斜率，求出点Q的坐标，即可得解.

【详解】

P=，即，即，导函数

所以焦点F(0，1)，准线为y=-1；直线PF的斜率k1=，Q(x1，y1)处切线l的斜率k=；依题意得kk1=-1；所以. 切线l的方程为，与准线的交点M().所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查求抛物线的方程，根据导数的几何意义求曲线上在某点处切线方程，计算向量的数量积.

16．在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=，以BD为折痕，将四边形折成一个的二面角，并且这个二面角的顶点A，B，C，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________

【答案】

【解析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积.

【详解】

折成的立体图形如图所示，O为球心，E为BD的中点，∠CEH=，

CE=，所以由得：

，所以，球面积为

故答案为：

【点睛】

此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.

三、解答题

17．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．

(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)

(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:

试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;

(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.

【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为和；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)由茎叶图中的数据分布情况可知,乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小；(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:=；(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为,不是二级的概率为,依题意知的可能取值为:0,1,2,3,4,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望.

解析：

(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.

(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:==,

故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为或0.2)和或0.12).

(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为,

不是二级的概率为,

依题意知的可能取值为:0,1,2,3,4.

又或0.4096),

或0.4096),

或0.1536),

或0.0256),

=或0.0016).

故的分布列为:

或.

18．已知数列{}中，，点在直线上，

（1）证明数列为等比数列，并求其公比；

（2）设，数列的前项和为，若，求实数的最小值.

【答案】（1）证明见解析，；（2）

【解析】（1）根据点在直线上，得，通过构造即可得证等比数列；

（2）由（1）求出数列{}的通项公式，求出，根据不等关系求解最值.

【详解】

（1）依条件有，

当时，有，两式相减有.

因为，所以有为定值，

所以数列为等比数列，其公比q=2.

（2）由（1）得

所以，所以数列为等差数列，

由

令，则，所以有

所以，所以的最小值为

【点睛】

此题考查根据递推关系证明数列为等比数列，根据数列通项公式求和，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及讨论数列的最值.

19．三棱柱的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D、D1分别为棱AC和A1C1的中点.

（1）求侧（左）视图的面积，并证明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）8，证明见解析；（2）

【解析】（1）根据三视图判定面面垂直关系并证明，然后计算侧视图的面积；

（2）建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示求二面角的大小.

【详解】

解：（1）由视图可知，侧面A1ACC1⊥底面ABC，BD⊥AC

因为BD底面ABC，AC=侧面A1ACC1底面ABC

所以BD⊥侧面A1ACC1

因为BD平面B1BDD1

所以平面B1BDD1⊥侧面A1ACC1

侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD的长，所以面积S=4×2=8

（2）由（1）可知，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

各点坐标为A(2，0，0)， D(0，0，0)， B(0，2，0)， C(-2，0，0)， A1(1，0，4)， D1(-1，0，4)， C1(-3，0，4)

B1(-1，2，4)

设平面A1BD的法向量为，则有：

=0

令，可得

设平面B1BD的法向量为，则有：

=0

令，可得，

设二面角的大小为，则有

【点睛】

此题考查根据三视图识别几何体的关系，求侧视图的面积，证明面面垂直，通过向量求二面角的大小.

20．设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）在区间上是减函数，在区间上是增函数；（2）

【解析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；

（2）不等式化为，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围.

【详解】

解：（1）

所以为增函数，又因为

所以，当时，；当时，

所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数

（2）不等式化为

设，

由（1）可知是上的增函数，

因为，所以，当，函数g(x)在区间上的增函数

所以，所以当时符合题意.

当，，所以存在，使得；

并且当；

当；

所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数

最小值为，不等式不恒成立

综上，使得命题成立的实数的取值范围是

【点睛】

此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.

21．如图，已知椭圆C：（）的上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作圆（圆在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点，

【解析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆，解出B，D坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率的关系，表示出直线BD的方程即可求得过定点.

【详解】

解：（1）依题意可得：）

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：

，

可得；同理可得

由圆M与l相切得：

由韦达定理得：

所以直线BD的斜率……

直线BD的方程为：

化简为：，即

所以，当变化时，直线BD总过定点

【点睛】

此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解.

22．曲线C的参数方程为（为参数，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与直线交于点P，动点Q在射线OP上，且满足|OQ||OP|=8.

（1）求曲线C的普通方程及动点Q的轨迹E的极坐标方程；

（2）曲线E与曲线C的一条渐近线交于P1，P2两点，且|P1P2|=2，求m的值.

【答案】（1）C：，E：；（2）

【解析】（1）对曲线C的参数方程中两个等式同时平方处理即可得到普通方程，根据|OQ||OP|=8，所以结合直线的极坐标方程即可得解；

（2）根据极坐标方程及几何关系|P1P2|即可求解.

【详解】

解：（1）由题：，所以,

两式平方得

曲线C的普通方程为

设，则

因为|OQ||OP|=8，所以

又因为P点是直线和的交点，所以

所以，即

所以动点Q的轨迹E的极坐标方程为

（2）双曲线C的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为；

它与曲线E的两个交点P1.P2，其中一个为极点，

所以|P1P2|

 所以

【点睛】

此题考查根据直线的参数方程求普通方程，求曲线的极坐标方程，根据极坐标方程结合弦长求参数的取值.

23．设,.

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意实数，使不等式恒成立的最小正数a，有，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）根据绝对值的意义即可求得解集；

（2）根据不等式恒成立求出，利用柯西不等式即可得证.

【详解】

解：（1）当a=1时，由 1<f(x)<3可得：1<|2x-3|<3或

或.

所以不等式的解集为

（2）对于任意实数x及正数a，

当且仅当时取等号，所以只要，所以

所以

由柯西不等式得：

当且仅当时取等号

【点睛】

此题考查解含绝对值的不等式，根据不等式恒成立求参数的取值范围，根据柯西不等式证明不等式，综合性比较强.