2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数字（文）试题
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文科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．直线与圆相交于、两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数：①；②；③；④．从中
任取两个函数，则这两个函数的奇偶性相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数且的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．设为双曲线的右焦点，过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于，两点，为坐标原点，四边形为菱形，圆与在第一象限的交点是，且，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．己知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列为等差数列，其前项和为，，则 ．
14．已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．
15．已知，，则 ．
16．设函数的两个零点分别为，，且在区间上恰有两个正整数，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）函数部分图象如图所示：
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．
18．（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，．
（1）证明：；
（2）若，，求点到平面的距离．
19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．
①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；
②求当天的利润不低于元的概率；
（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？
20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷
文科数学答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】D
12．【答案】C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为．
【解析】（1）由图可得，，所以，所以，
当时，，可得，
因为，所以，所以的解析式为．
（2）
，
因为，所以，
当，即时，有最大值，最大值为；
当，即时，有最小值，最小值为．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连，．
∵是正三角形，∴．
在中，，∴，∴平面，∴．
（2）正中，，
中，，∴，，
∵，∴，
∴中，，
∴，
∴．
由（1）证得：平面，
又为中点，∴，
设到平面的距离为，
，
∴，∴．
19．【答案】（1）见解析；（2），；（3）．
【解析】（1）当时，；
当时，．
（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：
．
②设“当天利润不低于”为事件，
由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，
∴，
所以当天的利润不低于元的概率为．
（3）若一天制作个蛋糕，
则平均利润为；
若一天制作个蛋糕，
则平均利润为，
∵，∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得，
∵，，∴，，
故椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程得，化简得，
设，，，，
，
点到直线的距离，
∵是线段的中点，∴点到直线的距离为，
∴
．
综上，面积的最大值为．
21．【答案】（1）；（2）不存在，见解析．
【解析】（1）依题意在上恒成立，
即，在上恒成立，
令，则当时，，
所以，即实数的取值范围是．
（2）依题意，所以，所以．
不等式在时恒成立．
即，即在时恒成立，
令，则．
因为，所以．
当时，，所以函数在上单调递增，
若，解得，与不符，应舍去；
当时，由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．
问题转化为恒成立时，求的最大值．
令，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
当时，．
因为，所以，即恒成立．
所以不存在整数使恒成立．
综上所述，不存在满足条件的整数．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，
曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为．
（2）由，得，
即直线的斜率为，从而，，
由已知，设，，
将代入，得，
同理，将代入，得，
所以．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
当时，无解；
当时，由，得，解得；
当时，由，解得．
所以的解集为．
（2）由，得，
设，
当时，；
当时，；
当时，，
∴，故实数的范围是．
