2020届江苏省高邮市高三12月阶段性学情联合调研数学理试题
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数学理试卷2019. 12.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1、己知全集U＝｛一1，0，2｝，集合A＝｛－1，0｝，则CUA＝
2、己知复数为虚数单位），复数z虚部为
3.设向量＝(l， k)，＝(－2，k－3)，若∥，则实数k的值为
4.函数＝的单调减区间为 ．
5.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于
6.己知偶函数在[0，＋∞)单调递减，＝0，若f(2x－1）＞0，则x的取值范围是
7.如图，己知棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，
则三棱锥M一A1AB的体积
8.在△ABC中，如果sin A: sin B：sin C＝2：3：4，则sin C＝
9.己知等比数列｛｝的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝
l0.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y－6＝0，假定将军从点P（3，－2）处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为
l1．在平行四边形ABCD中，己知AB＝6，AD＝5，，＝－18，
则＝
12.己知x ∈ (0，3)则的最小值
13.己知△ABC的面积为＋1，AC＝2，且＝1，则tanA的值为
14.己知函数的图象上有一且仅有两个不同的点关于直线y＝－2的对称点在
kx－y－3＝0的图象上，则实数k的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分·请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或计算步骤．
15．（本题满分14分）
若函数的图象经过点(0，），且相邻的两条对称轴之
间的距离为6.
（I)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x ∈ [－1，5]时，g(x)
的值域．
16.（本题满分14分）
如图，在四棱锥P － ABCD中，底面ABCD是平亏四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD.
（1)求证：PB //平而AEC；．
(2)若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD
17.（本题满分14分）
如图①，某半径为lm的圆形广告牌，安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告
牌制作一合金支架．如图②，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN，线段PA，线段PB构成．其中
点P为广告牌的最低点，且为弧MN中点，点A，B在墙面上，PA垂直于墙面．兼顾美观及有效支
撑，规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为．经测算，PA、PB段的每
米制作费用分别为a元、a元，弧MN段侮米制作费用为3a元．
（1）试将制作一个支架所需的费用表示为θ的函数；
(2)求制作支架所需费用的最小值．
18.（本题满分16分）
如图，己知椭圆C：过点（1，），离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k> 0)的直线线l与椭圆相交于M，N两点．
（l)求椭圆C的标准方程；
(2) 记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）己直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值·
19.（本题满分16分）
己知函数
(1)当a＝1时，求f (x)在x＝1处的切线方程：
C2）当a＞0时，讨论f (x)的单调性；
（3)若f (x)有两个极值点x1，x2 (x1≠x2），且不等式f(x1)＋f(x2）＜ (x1＋x2）恒成立，求实数的取值范围
20.（本题满分16分）
若数列｛｝满足，则称｛｝为“螺旋递增数列”．
（1)设数列｛cn｝是“螺旋递增数列”，且，求c2020；
(2)设数列｛an｝是“螺旋递增数列”，其前n项和为Sn，求证：｛Sn｝中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列｛dn｝是“螺旋上升数列”，且，记数列的n项和为Tn．问是否存在实数t，使得对任意的恒成立？若存在，请求出
实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
2020届高三年级阶段性学情联合调研
数学附加试卷
（满分40分，考试时间30分钟）
21A．（本小题满分10分）
己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·
（1)求实数a，b的值：
（2）求矩阵A的逆矩阵．
21B.（本小题满分10分）
己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标
方程
(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)己知P为曲线C:为参数）上点，求P到直线l的距离的最小值．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，
AA1＝2，点P是棱BB1上点，满足
（l）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；
(2)若二面角P一A1C－B的余弦值为，求的值．
23．（本小题满分10分）
如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于
两点，交抛物线的准线于点H，其中．过点H作y轴的垂线
交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.
（1)求p的值；
（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．
数学参考答案
试卷（Ⅰ）
一、填空题：
1．{2} 2． 3．1 4． 5．8 6． 7．
8． 9． 448 10． 11．15 12． 13． 14．或
二、解答题：
15．解：(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，
记的周期为，则，
又，. .........................................2分
;
的图象经过点，
，， .............................4分
函数的解析式为 ...............................6分
(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，
由(1)得，，
函数的解析式为； .............10分
当时，，则.
综上，当时，的值域为. ...............................14分
16．证明:（1）连接交于，
因为是平行四边形，所以是的中点，
因为为的中点，所以// …………………4分
又因为平面，平面
所以//平面 ………………7分
（2）因为且是的中点，所以
又因为平面，平面，所以 ………………9分
因为四边形是矩形，所以，因为平面且
所以平面 又因为平面，所以 …………11分
平面且
所以平面 …………14分
17.解：（1）在扇形OMN中，劣弧MN的长度为
在中，， ……4分
所以所需费用， ……6分
（2）
……9分
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以当时，有最小值 ……13分
答：所需费用的最小值元． ……14分
18.解:（1）设椭圆的焦距为.离心率为
， 解得. ……………3分
则椭圆的方程为. ……………4分
(2) 设点
，整理可得
即， ……………6分
代入坐标，可得即，又点在椭圆C上
，解得
直线的斜率 ……………10分
（3）直线的方程为
由消去得
……………12分
又
……………16分
19.解：（1）当时，， ，
所以在处的切线方程为，即……3分
（2）定义域为，
①若时，，，
所以单调递增区间为，无减区间； ……5分
②若，则
当时，；当时，
所以单调递增区间为，无减区间； ……6分
③若时，由，得或
当，或时，
当时，
所以单调递增区间为，
单调递减区间为 ……8分
（3）由（1）知，，且，……………………………………………9分
不等式恒成立等价于
恒成立
又
所以， …………………………………13分
令（），则，
所以在上单调递减， ……………………………15分
所以，所以 ……………………………………16分
20.解：（1），，是以为首项4为公比的等比数列，
，，
∵数列是“螺旋递增数列”，∴. …………………4分
（2）由数列是“螺旋递增数列”得，故，
∴中存在连续三项成等差数列； ……………6分
（注：给出具体三项也可）
假设中存在连续四项成等差数列，
则，即，
当时，，①
当时，，②
由数列是“螺旋递增数列”得，③
①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列. …………10分
（3）∵，，是以为首项为公差的等差数列，
，又数列是“螺旋递增数列”，
故，
， ……………12分
①当时，
，，
又恒成立，恒成立，. …………………14分
②当时，
，，
又恒成立，恒成立，.
综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是. ………………16分
数学试卷（Ⅱ）
21.（本题满分10分）
解：（1）因为 ， ……………………2分
所以 所以 ． ……………………4分
（2） ， ……………………6分
． ……………………10分
22.（本题满分10分）
解：(1) 直线l的极坐标方程ρsin＝2，则
ρsinθ－ρcosθ＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝4， ……………………3分
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0. …………………5分
(2) 因为P为曲线上一点，
所以P到直线l的距离
……………………8分
所以当cos(θ＋φ)＝1时，d的最大值为 ……………………10分
- （本题满分10分）
解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2λ)． ……………………1分
(1) 由λ＝得，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，－2)，
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，
从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2，2，1)． ……………………3分
设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n1〉|＝||＝，
所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为. ……………………5分
(2) 设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
＝(1，0，2λ－2)，
由得
不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，
所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2，1)．
则cos〈n1，n2〉＝.
因为二面角PA1CB的余弦值为，
所以＝， ……………………8分
化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝或λ＝
0≤λ≤1 ……………………10分
- （本题满分10分）
解答：（1）设方程为，
与联立，消去整理得
所以，得（舍去）或 ……2分
（2）由（1）知抛物线方程为，，准线方程为
因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，
由得，
所以 ……4分
令，则，所以，
方程为
由得，
所以，，代入，得
所以 ……6分
到直线的距离为
到直线的距离为
所以四边形的面积 ……8分
令，则
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以，当时，有最小值，的最小值为 ……10分
