2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.

【详解】

由解得，所以，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．若（），，则（    ）

A．0或2 B．0 C．1或2 D．1

【答案】A

【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.

【详解】

由于（），，所以，解得或.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

3．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数的定义域为，在上为减函数.

A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.

B选项，的定义域为，不符合.

C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.

D选项，的定义域为，不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

4．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.

【详解】

由于等差数列中，所以，化简得，所以为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.

5．若单位向量，夹角为，，且，则实数（    ）

A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1

【答案】D

【解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.

【详解】

由于，所以，即，，即，解得或.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养高于乙

B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C．乙的六大素养中逻辑推理最差

D．乙的六大素养整体平均水平优于甲

【答案】D

【解析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

7．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

8．在中，，，，则边上的高为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.

【详解】

过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.

9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（    ）

A．6种 B．12种 C．24种 D．36种

【答案】B

【解析】分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.

【详解】

如果甲单独到县，则方法数有种.

如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.

故总的方法数有种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

10．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.

①，，所以，故①正确.

②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.

③，，，故平面不成立，故③错误.

④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.

综上所述，正确的命题有个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

11．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.

【详解】

不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

12．已知，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.

【详解】

构造函数，

是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，

的定义域为，且，

所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.

不等式等价于，

等价于，注意到，

结合图像关于对称和单调递增可知.

所以不等式的解集是.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.

二、填空题

13．若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】4

【解析】【详解】

作出可行域如图所示：

由，解得.

目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.

14．若，则______.

【答案】

【解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．

【详解】

解：若，则，

即，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

15．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

由于，所以，

由于区间上的值小于0恒成立，

所以（）.

所以，

由于，所以，

由于，所以令得.

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

三、双空题

16．三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.

【答案】       

【解析】由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.

【详解】

依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.

四、解答题

17．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求的值；

（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

（，其中）

【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系

【解析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.

（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.

【详解】

（1）由题意，解得.

（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.

完善列联表如下：

，

对照表格可知，，

不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.

【点睛】

本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.

18．如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.

（1）求线段的长；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

【详解】

（1）由题意，，

设与交于点，在中，可求得，则，

可求得，则

（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，

建立空间直角坐标系.

，，，

，，易得平面的法向量为.

，，易得平面的法向量为.

设二面角为，由图可知为锐角，所以

.

即二面角的余弦值为.

【点睛】

本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19．已知数列满足，，，且.

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和

【详解】

（1）已知，

则，

且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，

所以，.

（2）由（1）得：，

，①

，②

①－②可得，

则

即.

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.

20．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.

（1）求的方程；

（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）是定值，且定值为2

【解析】（1）设出点坐标并代入椭圆方程，根据列方程，求得的值，结合求得的值，进而求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的横坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得，由此化简求得为定值.

【详解】

（1）已知点在椭圆：（）上，

可设，即，

又，

且，可得椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.

联立直线与椭圆的方程可得：，

由，可得，

联立直线与椭圆的方程可得：，即，

即.

即为定值，且定值为2.

【点睛】

本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.

21．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.

（参考数据：）

【答案】（1）（2）2

【解析】（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.

（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

（1）已知函数，则处即为，

又，，

可知函数过点的切线为，即.

（2）注意到，

不等式中，

当时，显然成立；

当时，不等式可化为

令，则，

，

所以存在，

使.

由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.

且在区间上，递减，在区间上，递增，

即的最小值为，令，

则，将的最小值设为，则，

因此原式需满足，即在上恒成立，

又，可知判别式即可，即，且

可以取到的最大整数为2.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

22．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的普通方程；

（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.

【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）

【解析】（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.

（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.

【详解】

（1）曲线的普通方程为：；

曲线的普通方程为：.

（2）设过原点的直线的极坐标方程为；

由得，所以曲线的极坐标方程为

在曲线中，.

由得曲线的极坐标方程为，所以

而到直线与曲线的交点的距离为，

因此，

即的最小值为.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.

23．已知函数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

由此可知，的解集为

（2）当时，

的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.

当时，，且，不恒成立，不符合题意.

当时，，

若，则，故不恒成立，不符合题意；

若，则，故不恒成立，不符合题意.

综上，.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.