2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测 数学（理）
展开武汉市2020届高中毕业生学习质量检测
理科数学
武汉市教育科学研究院命制
2020.3.7
本试卷共5页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选择题的作答；每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内。
5.请学生自行打印答题卡，不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图。
6.答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝
A. B.－ C.2 D.－2
2.已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x(x＋3)≤0}，则M∩N＝
A.[－3，2) B.(－3，2) C.(－1，0] D.(－1，0)
3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为
A. B. C. D.
4.在正项等比数列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝
A.2 B.4 C. D.8
5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为
A. B. C. D.
6.已知等边△ABC内接于圆T：x2＋y2＝1，且P是圆上一点，则的最大值是
A. B.1 C. D.2
7.已知函数f(x)＝sin2x＋sin2(x＋)，则f(x)的最小值为
A. B. C. D.
8.已知数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝
A.2n B.n2 C.n＋2 D.3n－2
9.已知a＝0.80.4，b＝0.40.8，c＝log84，则
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a.
10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、两三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为
A. B. C. D.
11.已知点P在椭圆：上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆的离心率e＝
A. B. C. D.
12.已知关于x的不等式对于任意x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为
A.(－∞，1－e] B.(－∞，－3] C.(－∞，－2] D.(－∞，2－e2]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为 。
14.若函数在(0，)。上单调递减，则实数a的取值范围为 。
15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A将受到热带风暴的影响(精确到0.01)。
16.在三棱锥S－ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA＝，SB＝2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S－AB－C的余弦值为 。
三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(本小题满分12分)
在OABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，。
(1)求A的余弦值；
(2)求△ABC面积的最大值。
18.(本小题满分12分)
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点。
(1)求证：AC⊥QL；
(2)求点A到平面PQL的距离。
19.(本小题满分12分)
已知抛物线：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足＝(2，2)。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知经过点A(3，－2)的直线交抛物线于M，N两点，经过定点B(3，－6)和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由。
20.(本小题满分12分)
有人收集了某10年中某城市居民年收入(即该城市所有居民在一年内收入的总和)与某种商品的销售额的相关数据：
且已知。
(1)求第10年的年收入x10；
(2)若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程。
(I)求第10年的销售额y10；
(II)若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少?(精确到0.01)
附加：(1)在线性回归方程中，。
(2)
21.(本小题满分12分)
(1)证明函数y＝ex－2sinx－2xcosx在区间(－π，－)上单调递增；
(2)证明函数f(x)＝－2sinx在(－π，0)上有且仅有一个极大值点x0，且0<f(x0)<2。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2－4ρcosθ＋3＝0。
(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－a＋1|。
(1)当a＝4时，求解不等式f(x)≥8；
(2)已知关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，求参数a的取值范围。
