2020届江西省九江市高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）
展开2020届江西省九江市高三第一次模拟数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用集合的交运算进行求解.
【详解】
，，.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.
2．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数的四则运算求出，就能判别相应选项.
【详解】
因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.选D．
【点睛】
复数四则运算，属于简单题.
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据向量垂直得到，从而可得答案.
【详解】
∵，
∴“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充要条件的判定，考查对概念的理解，属于基础题.
4．已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据约束条件作出可行域，并且由得，当直线平移至经过点时，取得最大值，可得选项.
【详解】
如图，作出可行域，由得， 当直线平移至经过点时，取得最大值，
故选:C.
【点睛】
本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题.
5．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得，可得的值.
【详解】
因为 所以，，
，，
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用，灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.
6．已知函数是定义在上的偶函数，当，，则,，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用导数判断在上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】
函数是定义在上的偶函数，
，
，
当，恒成立，
∴在上单调递增，
，即.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为，且方差达到最小，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由平均为115得到，写出方差的表达式，求出使方差最小时满足的关系，从而求得的值.
【详解】
数据的平均数为，，要使方差最小，
则，
当且仅当，即时取等号，此时方差最小，.
故选：D．
【点睛】
本题考查对茎叶图、平均数和方差的概念，考查逻数据处理能力，求解时注意基本不等式的运用.
8．已知函数()的部分图象如图所示，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据图象可求得，再，得出关于点对称，由正弦型函数的对称中心可得，可得选项.
【详解】
由图象易知，，即，，，
由图可知，，，又，，
由得，，，关于点对称，
即有，，，的最小值为，
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题.
9．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且位于第一象限，为坐标原点，若线段的中点满足，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的右焦点为，利用中位线和向量垂直得，从而得到点为圆和椭圆的公共点，求出点的坐标，计算直线的斜率，利用点斜式方程可得答案.
【详解】
设椭圆的右焦点为，（），
，，
分别是和的中点，
，由已知可得，，
，即，
由得，
，
直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆中的焦点三角形问题，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
10．半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱的外接球，利用勾股定理得到关于的方程，解得值再代入球的面积公式.
【详解】
由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱的外接球，
,,
该二十四等边体的外接球的表面积.
故选：C.
【点睛】
本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意根据几何体的对称性将问题进行等价转化.
11．已知不等式对于任意，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用参变分离将不等式转化为，再利用换元法令，将问题转化为三次函数的值域求解.
【详解】
不等式对于任意，恒成立，
等价于
对于任意，恒成立，
令，则，在上恒成立，
令，则.，
由得，得，
在上单调递减，上单调递增.
，，，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，同时注意新元的取值范围，才会使问题进行等价转化.
12．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六组成.其中记载一种起卦方法称为“大衍法”，其做法为：从50根草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极.将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间.将49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻.若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用（）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，设，，且，列出所有等可能事件，并计算事件二变之后剩36根蓍草的事件所含基本事件，最后利用古典概率模型计算概率.
【详解】
用（）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，
故假设，，且，
则基本事件有（1,38），（2,37），（3,36），（4,35），（5,34），（6,33），（7,32），（8,31），（9,30），（10,29），（11,28），（12,27），（13,26），（14,25），（15,24），（16,23），（17,22），（18,21），（19,20）共19个基本事件，其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件.
故选：C.
【点睛】
本题以数学文化为背景考查古典概型，考查逻辑推理能力和阅读理解能力，求解的关键是识别概率模型.
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.
【详解】
令，，所以，又，所求切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.
14．执行如图所示的程序框图后，输出的值为____.
【答案】126
【解析】直接根据程序框图所示的等比数列求和特点，求出，再解不等式判断何时终止，从而输出的值.
【详解】
由图可知，
，.
故答案为：126
【点睛】
本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.
15．已知双曲线()的左右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为_____.
【答案】
【解析】设，则可得，，，再利用双曲线的定义求得，利用勾股定理求得关于的方程，从而求得离心率.
【详解】
设，则，，
，由双曲线的定义，得，
则此时满足，
是直角三角形，且，
，得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线的定义、离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意根据题意找到关于的齐次方程，从而求得离心率.
16．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为____.
【答案】
【解析】设，在中，利用正弦定理得，利用余弦定理得，从而得到与的关系，再由可得与之间的关系，利用余弦定理可得，再利用三角函数的有界性可得答案.
【详解】
设，在中，
由正弦定理得，即，由余弦定理得，
∵，∴，
在中，由余弦定理得
，
当时，.
故答案为：
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.
三、解答题
17．已知等差数列的前项和为，公差，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据等比中项得，再将等差数列通项公式代入求得公差，利用等差数列通项公式与前项和公式，可求得答案；
（2）由（1）得，再利用裂项相消法和等比数列前项和公式，即可求得答案.
【详解】
（1）成等比数列，，，，解得或(舍去)，
，
（2）由（1）得，，，
【点睛】
本题考查等比中项性质、等比数列前项和、裂项相消求和、等差数列通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
18．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，且，.
（1）求证:平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接，设，连接，证明垂直平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论；
（2）证明平面，得到为三棱锥的高，再利用等积法求得点到平面的距离.
【详解】
（1）连接，设，连接，，，，，，
为的中点，.
四边形为正方形，
又平面，，平面，
平面，平面平面.
（2），，，在中，又，，又，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，为三棱锥的高，
，，
点到平面的距离.
【点睛】
本题考查空间中面面垂直的证明、等积法求点到面的距离，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.
19．已知是抛物线上两点，线段的垂直平分线与轴有唯一的交点.
（1）求证:；
（2）若直线过抛物线的焦点，且，求.
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】（1）设，()，将坐标化得，再利用点在抛物线上得到与的关系，利用得；
（2）由已知可得直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程为()，利用弦长求得的值，再代入焦半径公式即可求得答案.
【详解】
（1）设，()，
在线段的垂直平分线线上，，
………①
，在抛物线上，
，，
代入①得，化简得，
，，，
，.
（2）由已知可得直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程为()，
联立，消去得，，
，，
，.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线中的参数范围问题、焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意在去绝对值中的应用.
20．已知函数().
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）问题等价于，恒成立，再对分和两种情况讨论；
（2）问题等价于，恒成立，构造函数，对分和两种情况，分别利用它们的最小值大于0，求的取值范围.
【详解】
（1），依题意得，对，恒成立，
①时，，，恒成立，满足题意
②时，取，，在上不能恒成立，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
（2）()，
，∴.
设()，则
①当时，，，在上单调递增，
依题意得，满足题意
②当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
，
依题意得，解得
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究恒成立问题和求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.
21．某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
（1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为)
【答案】（1）选择，理由见解析；（2）；（3）20千万
【解析】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型；
（2）由,得，再利用最小二乘法求出，从而得到关于的回归方程；
（3）利用导数求得当时，取得最大值.
【详解】
（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型
若选择，则，此时当接近于0时，必小于0，
故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型
（2）由,得，故与符合线性回归，.
，
，即，
关于的回归方程.
（3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，
由(2)可知人均产能函数，
，
时，，时，
时，单调递增，时，单调递减，
当时，人均产能函数达到最大值，
因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大，
对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，
下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.
【点睛】
本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）
【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；
法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；
【详解】
（1），
，即曲线的普通方程为，
依题意得曲线的普通方程为，
令，得曲线的极坐标方程为；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则
，，，异号
，
，，；
法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，
则，，，异号
，，.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.
23．已知函数，且．
（1）若，求的最小值，并求此时的值；
（2）若，求证:．
【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析
【解析】（1）由已知得，
法一:，，根据二次函数的最值可求得；
法二:运用基本不等式构造，可得最值；
法三：运用柯西不等式得：，可得最值；
（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.
【详解】
（1），
法一:，，
的最小值为，此时；
法二:，
，即的最小值为，此时；
法三：由柯西不等式得：
，
,即的最小值为，此时；
（2），，
又，
.
【点睛】
本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.
