2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题（解析版）
展开2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题
一、填空题
1．已知， ，则________．
【答案】{3,4}
【解析】由题意，得.
2．若复数满足(是虚数单位)，则_______.
【答案】
【解析】化简得到，再计算复数模得到答案.
【详解】
，则，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
3．执行如图所示的算法流程图，输出的的值是________.
【答案】7
【解析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
根据程序框图：；；；，结束，输出.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
4．若数据的方差为，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：由题意的，数据不变，所以2．
【考点】1．方差的意义；
5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．
【答案】
【解析】由题设可得从个小球中取两个的取法有（12）（13）（14）(15)（23）（24）（25）（34）（35）（45）共10种取法，其中和为3或6 的有（12）（24）（15）共3种，故所求事件的概率是．应填答案．
点睛：解答本题的关键是运用列举法列举出取出2个小球的所有可能情况，即，再列举出符合条件的可能数字，即，然后再运用古典概型的计算公式算出其概率．
6．先把一个半径为5，弧长为的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗)，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为________.
【答案】
【解析】计算圆锥的体积为，根据体积相同计算球半径.
【详解】
设圆锥底面半径为，则，，，故，
设球的半径为，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力.
7．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为________.
【答案】6
【解析】计算双曲线的左焦点为，再利用准线方程计算得到答案.
【详解】
双曲线的左焦点为，即，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的焦点和抛物线的准线，意在考查学生的综合应用能力.
8．在所在的平面上有一点，满足，则=____
【答案】
【解析】，代入即可得到，所以三点，，共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得．
【详解】
解：；
；
；
，，三点共线，如图所示：
；
故答案为：．
【点睛】
考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题．
9．已知直线与曲线相切，则实数k的值为_________．
【答案】
【解析】【详解】
设切点为
,
∴
即，又
∴，即
故答案为
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
10．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆离心率的值等于________.
【答案】
【解析】根据对称性得到，代入椭圆方程化简得到答案.
【详解】
，根据对称性不妨取，代入椭圆方程，，
得到，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．已知正项数列的前项和为，，且当时，为和的等差中项，则的值为________.
【答案】8
【解析】化简得到，故是首项为，公差为的等差数列，，得到答案.
【详解】
当，，即，
当时，，满足，故是首项为，公差为的等差数列，
故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了数列求和，确定是首项为，公差为的等差数列是解题的关键.
12．设，为锐角，，若的最大值为，则实数的值为________.
【答案】
【解析】计算，得到，得到答案.
【详解】
，
当，即时等号成立，故，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】设中点为，设，计算得到，根据得到，代入计算得到答案.
【详解】
设中点为，设，，，
故，即.
，故，
代入方程得到，即，，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量运算，圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
14．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】函数零点等价与的零点，设，求导根据单调性画出图像，，有4个零点且满足，计算得到答案.
【详解】
，
函数零点等价与的零点，
设，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
画出的图像，如图所示：
，原函数有6个零点，
则只需有4个零点且满足，故，
解得或；且，解得，
且对称轴满足，，解得.
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，换元画出函数图像是解题的关键.
二、解答题
15．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），展开化简得到答案.
（2）根据正弦定理，，根据角度范围得到，计算得到答案.
【详解】
（1）因为，所以，
从而
，
故；
（2）由及正弦定理得，，
故，
且，所以，又易得，从而，故，
即，所以，即，
此时.
【点睛】
本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
16．如图，在直三棱柱中，，，分别为AC，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）取的中点，连接，通过中位线定理求证四边形是平行四边形，进而求证；
（2）连接，，设法证明，，进而证明平面，求得.
【详解】
解：（1）如图，取的中点，连接，分别是的中点，
，且，在直三棱柱中，
，， 是的中点，∴，且，
∴四边形是平行四边形，，
而平面，平面，
平面.
（2）如图，连接，由是直三棱柱，，可知，，，，
平面，，
又侧面为正方形，，，平面，
又平面，
【点睛】
本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，并且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为(为常数)的直线与椭圆交于，两点，交轴于点，为直线上的任意一点，记，，的斜率分别为，，.若，求的值.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）点在此椭圆上，根据椭圆定义计算得到答案.
（2）直线，设，，，联立方程得到，代入式子整理得到，解得答案.
【详解】
（1）因为椭圆的焦点为，点在此椭圆上.
所以，
所以，所以椭圆方程为.
（2）由已知直线，设，，，
由得.
所以.
因为且，
所以，
整理得，
因为点不在直线上，所以，
所以，整理得，
将，代入上式解得，
所以.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中斜率的关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．
（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．
【答案】（1）① 其中 ② 其中（2）当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少
【解析】(1) ①根据直角三角形得，即得，再根据直角三角形得，最后根据 得结果. ②根据三角形相似得 ，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果.
【详解】
解：（1）①在中，，所以，所以
在中，
所以 ，其中，
②设，则在中，由与相似得，,即，即，即，即即，化简得， 其中
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.
令，得.
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少
【点睛】
利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
19．设，(为与自变量无关的正实数).
（1）证明：函数与的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；
（2）是否存在实数，使得对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围，否则说明理由.
【答案】（1）证明见解析.（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）计算，再计算处的切线得到答案.
（2）假设存在，存在实数使得对任意的恒成立，，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】
（1）因为，
所以的图像存在一个公共的定点.
因为，，所以，，
所以在定点处有一条公切线，为直线.
（2）假设存在实数，使得对任意的恒成立，
即存在实数使得对任意的恒成立.
令，
则，
令，则，
因为，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
所以存在唯一实数，使得，即，且，
所以在处取得最小值，
所以在上单调递增，
所以，
因为对任意的恒成立，所以，
故存在使得对任意恒成立.
【点睛】
本题考查了公切线问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）判断数列2，，6，是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列共有项(，且为奇数)，，的前项和满足.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.
（3）是公比为项数为的等比数列，其中.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.
【答案】（1）数列2，，6，是“等和数列”，理由见解析（2）不是“等和数列”，证明见解析.（3）不是“等和数列”，证明见解析.
【解析】（1）直接根据定义得到答案.
（2）化简得到，计算，假设存在使得数列的前项和与剩下项的和相等，，根据奇偶性得出矛盾.
（3）设为的前项和，假设是“等和数列”，化简得到，计算，得出矛盾.
【详解】
（1）∵，∴数列2，，6，是“等和数列”.
（2）由，两边除以，得，
即，所以数列为等差数列且，，
所以，假设存在使得数列的前项和与剩下项的和相等，
即，所以∴
在中，因为为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边一定是偶数，
所以不可能有解，从而假设错误，不是“等和数列”.
（3）设为的前项和，假设是“等和数列”，
则存在且，使得成立，即，
于是成立，即
因为，所以，又，即，所以，
所以，与产生矛盾.
所以假设不成立，即不是“等和数列”.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的对于数列公式方法的综合应用.
21．在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵.
【答案】
【解析】设是直线上任意一点，根据题意变换得到直线，对比得到答案.
【详解】
设是直线上任意一点，
其在矩阵对应的变换下得到仍在直线上，
所以得，与比较得，解得，
故.
【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．如图, 在三棱锥中，平面，，且，，为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，，
利用向量夹角公式即可得到结果；
（2）求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】
因为平面，，所以可以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，，，，
因为点为线段的中点，
所以.
（1），，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，，即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，，
即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
所以．
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
23．在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.
（1）求；
（2）求；
（3）证明，并求出的值.
【答案】（1）3；（2）24；（3）证明见详解，；
【解析】（1）直接列举求解；
（2），，，，，其实；
（3）由关系式，结合，可证得，进而通过构造的递推关系式求通项或者直接有；
【详解】
（1）因为数列中保持其中1个元素位置不动的排列只有或或，
所以
（2）
；
（3）把数列中任取其中个元素位置不动， 则有种；
其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，
则有，
故，又因为，
所以，
令则且
于是，
左右同除以，得
所以
【点睛】
本题考查排列和组合，涉及其运算性质，属综合困难题.
24．在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标．
【答案】点的直角坐标为
【解析】将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标。
【详解】
解：直线的普通方程为，①
曲线的直角坐标方程为，②
联立①②解方程组得或根据的范围应舍去
故点的直角坐标为．
【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属基础题．
25．[选修4—5：不等式选讲]
已知x，y，z均为正数，且，求证：.
【答案】见证明
【解析】利用柯西不等式即可证明结果.
【详解】
因为x，y，z均为正数，所以均为正数，
由柯西不等式得
，
当且仅当时，等式成立.
因为，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查柯西不等式的应用，考查转化思想，属于中档题.
