2020届全国高考分层特训卷模拟仿真专练（八）文科数学（解析版）

2020届全国高考分层特训卷模拟仿真专练（八）

文科数学

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]设集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x(x－3)<0}，则A∪B＝(　　)

A．(－1,0)　　　　　　　　B．(0,1)

C．(－1,3)  D．(1,3)

答案：C

解析：因为A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}，故选C.

2．[2019·四川成都经开区实验中学入学考试]已知复数z满足zi＝2i＋x(x∈R)，若z的虚部为2，则|z|＝(　　)

A．2  B．2

C.  D.

答案：B

解析：复数z满足zi＝2i＋x(x∈R)，可得z＝＝2－xi.由z的虚部为2，可得x＝－2，则z＝2＋2i.∴|z|＝2，故选B.

3．[2019·安徽合肥第一次教学质量检测]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则a>|b|不是f(a)>f(b)的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件，故选A.

4．[2019·湖南益阳模拟]已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为(　　)

A．(－，)∪(2，＋∞)  B．(－，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(－，2)

答案：A

解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，

∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4，

∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或

即或

解得－<x<或x>2.

综上，原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．故选A.

5．[2019·湖南师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<)和角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若点B的纵坐标为－，且满足S△OAB＝，则sin的值为(　　)

A.  B.

C．－  D．－

答案：A

解析：由图知∠xOA＝α，∠xOB＝β，且sin β＝－.

由S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，

即α＝β＋，

故sin＝sin＝cos β＝＝.故选A.

6．[2019·河南郑州一中期中]《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱，问三人各出多少钱？则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)(　　)

A．50钱  B．32钱

C．31钱  D．19钱

答案：B

解析：抽样比为＝，所以乙应交关税350×≈32(钱)．故选B.

7．[2019·黑龙江哈师大附中联考]已知数列{an}中，a1＝且an＋1＝(an＋n＋2)，则an＝(　　)

A.＋n  B.

C.＋n  D.＋n－1

答案：A

解析：∵an＋1＝(an＋n＋2)，∴an＋1－(n＋1)＝(an－n)，∴{an－n}是公比为的等比数列，又a1＝，∴a1－1＝，∴an－n＝，∴an＝＋n，故选A.

8．[2019·湖北宜昌两校第一次联考]若tan＝，则cos 2α＋sin 2α＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

答案：C

解析：因为tan＝，所以tan α＝＝＝，于是cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝.故选C.

9．[2019·湖北荆荆襄宜四地七校联考]已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪[0,1) 

B．(－3,0)

C．(－3,1) 

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

答案：C

解析：因为f(a)<1，所以或得－3<a<0或0≤a<1.所以实数a的取值范围是(－3,1)．故选C.

10．[2019·湖南师大附中模拟]已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：B

解析：根据条件作出可行域如图所示的阴影部分，

根据图形易知k＝在A(－1,3)处取得最小值－3，

且k<－1，故－3≤k<－1，则－1<≤－，

故0<≤.故选B.

11．[2019·江西红色七校联考]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为{an}，则a2 017a2 019－a等于(　　)

A．1  B．－1

C．2 017  D．－2 017

答案：A

解析：a1a3－a＝1×2－12＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，

所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1.故选A.

12．[2019·山东潍坊期中]已知函数f(x)＝(a>0)，若存在实数b使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(1，＋∞)

C．(1,2 019)  D．[1，＋∞)

答案：B

解析：由题意知f(x)在(－∞，a]上为增函数，在(a，＋∞)上也是增函数．当a3>a2时，f(x)在R上不是增函数，故必定存在b，使得直线y＝b与f(x)的图象有两个交点，即g(x)＝f(x)－b有两个零点，此时a>1.故选B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)

13．[2019·北京人大附中期中]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，则an＝________.

答案：n

解析：∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2时，2Sn－1＝n·an－1，两式相减得，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即＝(n≥2)，又a1＝1，∴an＝××…××a1＝××…××1＝n.

14．[2019·江西临川一中等学校联考]在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为________．

答案：

解析：∵3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，∴9＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＋16＝37，即24sin(A＋B)＝12，∴sin C＝.∵0<C<π，∴C＝或，又3cos A＝1－4sin B<1，∴cos A<，∴A>，∴C＝.

15．[2019·重庆一中月考]设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为________．

答案：90°

解析：通解　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解一　如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解二　如图，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)·a＝0，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.

16．[2019·四川成都树德中学月考]e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的率心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且|PO|＝|F2O|，则＝________.

答案：

解析：方法一　设点P在第一象限内，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a1，|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n，则m＋n＝2a，m－n＝2a1，所以m＝a＋a1，n＝a－a1.

由平行四边形的性质可得，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)，

所以(2c)2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2，即2c2＝a2＋a，

所以＋＝2，所以＝2，故＝.

方法二　易知|PO|＝|F2O|＝|F1O|＝c，所以点P在以O为圆心，F1F2为直径的圆上，所以∠F1PF2＝90°.于是由椭圆、双曲线焦点三角形面积公式可得，(a2－c2)tan 45°＝，所以2c2＝a2＋a，所以＋＝2，所以＝2，故＝.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．(12分)[2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月调研卷]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b＝sin B，且满足tan A＋tan C＝.

(1)求角C和边c的大小；

(2)求△ABC面积的最大值．

解析：(1)∵tan A＋tan C＝，∴＋＝，

即＝，∴＝，

∵A＋C＝π－B，∴＝，∴＝2sin B，

∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos C＝，

∵0<C<π，∴C＝.

∵b＝sin B，∴＝，∴＝＝，

∴c＝sin＝.综上可知，C＝，c＝.

(2)由(1)知C＝，c＝，由余弦定理得＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab(当且仅当a＝b时取等号)，

即ab≤.

∴△ABC的面积S＝absin C＝ab≤.

∴△ABC面积的最大值为.

18．(12分)

[2019·江西南昌模拟]如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；

(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积．

解析：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD.

在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，

所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.

因为EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD.

(2)因为EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，

所以CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，连接DF，DG，如图，

V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG.

取AD的中点H，连接GH，EH，FH，

则EF∥GH，

因为EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，

所以EF⊥EH.

于是S△EFH＝EF×EH＝2＝S△EFG.

平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，

且易知△EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为.

所以三棱锥M－EFG的体积V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG＝×S△EFG×＝.

19．(12分)[2019·河南郑州摸底]2018年是我国改革开放40周年．为庆祝改革开放40周年，某市将举办庆祝晚会．某单位共有职工600人．其年龄(单位：岁)与人数分布情况如下：

现约定年龄在[45,59]内的为中年人，年龄在[15,45)内的为青年人，现按照分层抽样的方法从该单位抽取30人作为该市庆祝晚会的观众．

(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？

(2)若所抽取的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余的人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄段与是否热衷关心民生大事有关．

(3)若从(2)中热衷关心民生大事的青年观众(有4人能进行才艺表演)中随机抽出2人，则抽出的2人都能进行才艺表演的概率是多少？

附：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解析：(1)抽出的青年观众为30×＝18(人)，中年观众为30－18＝12(人)．

(2)完成2×2列联表如下：

由表中数据可得K2的观测值k＝≈1.833<2.706，所以没有90%的把握认为年龄段与是否热衷关心民生大事有关．

(3)由(2)可知热衷关心民生大事的青年观众有6人，记其中能进行才艺表演的4人为A1，A2，A3，A4，其余2人为B1，B2，则从6人中抽出2人，一共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．

抽出的2人都能进行才艺表演的有6种情况，所以抽出的2人都能进行才艺表演的概率是P＝＝.

20．(12分)[2019·河北六校联考]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，且b＝c，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|＋|PN|＝2a，△PMN面积的最大值为.

(1)求圆O与椭圆E的方程；

(2)圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．

解析：(1)因为b＝c，所以a＝2c.

因为|PM|＋|PN|＝2a，所以点M，N为椭圆的焦点，所以r2＝c2＝a2.

设P(x0，y0)，则－b≤y0≤b，所以S△PMN＝r·|y0|＝a|y0|，

当|y0|＝b时，(S△PMN)max＝ab＝，

所以c＝1，b＝，a＝2.

所以圆O的方程为x2＋y2＝1，椭圆E的方程为＋＝1.

(2)当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x＝1.

则可取A，B，|AB|＝3.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，

因为直线l与圆O相切，所以＝1，即m2＝1＋k2.

联立得消去y可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2＋3－m2)＝48(3k2＋2)>0，x1＋x2＝－，

x1x2＝.

|AB|＝·

＝4··

＝

＝

＝·.

令t＝，则0<t≤，

所以|AB|＝ ，0<t≤，

所以|AB|＝·，所以3<|AB|≤.

综上，|AB|的取值范围是.

21．(12分)[2019·新疆高三第一次适应性考试]已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a－3)ex.

(1)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；

(2)设a<0，当x∈[1,2]时，f(x)≤e2，求实数a的取值范围．

解析：(1)由f(x)＝(x2＋ax－2a－3)ex可得

f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－2a－3)ex

＝[x2＋(2＋a)x－a－3]ex

＝(x＋a＋3)(x－1)ex.

∵x＝2是函数f(x)的一个极值点，∴f′(2)＝0，

∴(a＋5)e2＝0，解得a＝－5，

代入f′(x)＝(x＋a＋3)(x－1)ex＝(x－2)(x－1)ex，

当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，

可知x＝2是函数f(x)的一个极值点．

∴a＝－5.

(2)∵x∈[1,2]时，f(x)≤e2，

∴x∈[1,2]时，f(x)max≤e2成立．

由(1)知f′(x)＝(x＋a＋3)(x－1)ex，

令f′(x)＝0，解得x1＝－a－3，x2＝1.

①当a≤－5时，－a－3≥2，

∴f(x)在x∈[1,2]上单调递减，

f(x)max＝f(1)＝(－a－2)e≤e2，

a≥－e－2与a≤－5矛盾，舍去；

②当－5<a<－4时，1<－a－3<2，

f(x)在x∈(1，－a－3)上单调递减，在x∈(－a－3,2)上单调递增，

∴f(x)max在f(1)或f(2)处取到f(1)＝(－a－2)e，

f(2)＝e2，

∴只要f(1)＝(－a－2)e≤e2，

解得－e－2≤a<－4；

③当－4≤a<0时，－a－3≤1，

∴f(x)在x∈[1,2]上单调递增，

f(x)max＝f(2)＝e2符合题意．

综上所述，a的取值范围是a∈[－e－2,0)．

选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)

22．(10分)[2019·安徽省合肥市高三教学质量检测][选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2交点的直角坐标；

(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．

解析：(1)由题意得，C1：x2＋y2＝1，又C2：ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.

联立解得

∴所求交点的直角坐标为，.

(2)设B的极坐标为(ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，

∴△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB

＝＝

＝≤2＋，

∴△AOB面积的最大值为2＋.

23．(10分)[2019·湖北武汉市高三毕业生4月调研卷][选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥7的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[0,2]，求a的取值范围．

解析：(1)当a＝3时，f(x)＝

当x≤－3时，由f(x)≥7得－2x－1≥7，解得x≤－4；

当－3<x<2时，f(x)≥7无解；

当x≥2时，由f(x)≥7得2x＋1≥7，解得x≥3，所以f(x)≥7的解集为(－∞，－4]∪[3，＋∞)．

(2)f(x)≤|x－4|等价于|x＋a|≤|x－4|－|x－2|.当x∈[0,2]时，|x＋a|≤|x－4|－|x－2|等价于－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤0且2－a≥2，即－2≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－2,0]．