2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（文）试题（解析版）

2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知,集合,,

由集合的交运算可得,.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

2．设，则复数的模等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.

【详解】

因为,

所以,

由复数模的定义知,.

故选:C

【点睛】

本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.

3．已知是第二象限的角，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【详解】

因为,

由诱导公式可得,,

即,

因为,

所以,

由二倍角的正弦公式可得,

,

所以.

故选:D

【点睛】

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.

4．设，，，则的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数在上单调递增,

所以,

因为对数函数在上单调递减,

所以，

因为指数函数在上单调递增,

所以,

综上可知,.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（   ）

A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个

B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C．8月是空气质量最好的一个月

D．6月份的空气质量最差.

【答案】D

【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．

6．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.

【详解】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,

因为圆柱的表面积公式为，

所以,解得,

因为圆柱的体积公式为,

所以,

由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，

所以所求圆柱内切球的体积为

.

故选:D

【点睛】

本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.

7．设等比数列的前项和为， 则“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】利用等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断;

【详解】

因为,

所以若成立，即成立,

整理可得,成立,

因为时,,

所以,即,

所以可得,

即“”是“”的充分条件；

若成立,因为,

所以可得,即成立,

即由不能推出,

故“”不是“”的必要条件；

综上可知,“”是“”的充分不必要条件.

故选: A

【点睛】

本题考查等比数列通项公式和充分条件与必要条件的判断;考查逻辑推理能力和运算求解能力;根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.

8．设，满足，则的最小值是(    )

A． B． C． D．没有最小值

【答案】B

【解析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线,根据目标函数的几何意义平移直线,当直线经过平面区域内的点A时目标函数有最小值,联立方程求出点A 坐标，代入目标函数求解即可.

【详解】

根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：

作出直线,因为目标函数的几何意义为直线的纵截距，

所以平移直线,当直线经过平面区域内的点A时目标函数有最小值,

联立方程,解得,所以点A坐标为,

把点A的坐标代入目标函数可得目标函数的最小值为.

故选:B

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想和运算求解能力;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

9．设函数，则，的大致图象大致是的(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.

【详解】

对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，

因为,

所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；

对于选项D:因为,故选项D排除;

对于选项C:因为,故选项C排除;

故选:B

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

10．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知,对任意恒成立,设，则函数为过原点,斜率为的直线,求出直线与曲线相切时的值,利用数形结合即可求出实数的取值范围.

【详解】

由题意可知, 对任意恒成立,

设，则函数为过原点,斜率为的直线,

根据题意作图如下：

易知,由图可知,当直线与曲线相切时有最大值,

因为,设切点坐标为,由导数的几何意义知,

，解得,

所以实数的取值范围为.

故选:C

【点睛】

本题考查利用导数求切线的斜率及不等式恒成立问题的求解;考查数形结合思想和转化与化归能力;把不等式恒成立问题转化为两函数图象所对函数值的大小问题是求解本题的关键;属于中档题.

11．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.

【详解】

，

即，即，

，，得，，.

由余弦定理得，

由正弦定理，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

12．如图所示，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到面的距离等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取的中点,连接,作,垂足为,利用线面垂直的判定定理证明平面,由线面垂直的性质可得,进而证得平面,在中,利用余弦定理和同角三角函数的基本关系求出,在中求出即可.

【详解】

取的中点,连接,作,垂足为,如图所示：

因为,所以为等边三角形,

因为为中点,所以,

又为等腰直角三角形,,

所以,又,

所以平面,又平面,

所以,

因为，,

所以平面,

即即为点到面的距离,

因为在等边中,,

在为等腰直角三角形中,,

在中,由余弦定理可得,

,

所以,

在中,,

所以点到面的距离为.

故选:C

【点睛】

本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离;考查数形结合思想和逻辑推理能力;灵活运用线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

二、填空题

13．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________.

【答案】90

【解析】利用分层抽样方法：利用频率、频数与样本容量的关系按比例抽取即可.

【详解】

由题意知,全校共有学生人数为人,其中高二年级有450人,

设高二年级抽取的人数为人，根据分层抽样按比例抽取可得,

.

故答案为: 90

【点睛】

本题考查利用分层抽样按比例抽取样本;考查运算求解能力;属于基础题.

14．已知，，则与夹角的余弦值为________.

【答案】

【解析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出的坐标,分别求出,,代入夹角公式求解即可.

【详解】

由题意知,,因为，

所以,

由向量模的定义知,

,

由平面向量数量积的夹角公式可得,

.

故答案为:

【点睛】

本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.

15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

【答案】

【解析】设 ，则 ，由题意可得 故当 时， 由不等式 ，可得 ，或

求得 ，或 故答案为（

16．已知椭圆Г：，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.

【答案】

【解析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率

【详解】

如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2a−t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设∠BAO=θ，则∠BAF1=2θ，所以Г的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，，所以，即e= =，

故答案为：.

【点睛】

此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.

三、解答题

17．设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列.

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）设，求数列的前项和 .

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，利用等比中项和等差数列通项公式得到关于的方程,求出代入公式即可；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出数列的通项公式,利用裂项相消法求和即可.

【详解】

（Ⅰ）设的公差为,依题意有

，即，

解得或（舍去），

所以

；

（Ⅱ）因为

所以

.

【点睛】

本题考查等比中项、等差数列的通项公式和前n项和公式及裂项相消法求和;考查运算求解能力;利用等比中项和等差数列通项公式正确求出是求解本题的关键;属于中档题.

18．某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头天的日用水量频数分布表

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；

（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；

（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.

【详解】

（1）频率分布直方图如下图所示：

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为

；

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；

（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为

．

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．

估计使用节水龙头后，一年可节省水．

【点睛】

该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.

19．如图所示，在四棱锥中，，，，点为的中点.

（Ⅰ） 求证：⊥；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面；

（Ⅲ）若为的中点，求四面体的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明平面,再由线面垂直的性质定理即可得证；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥，由题可知,,利用线面垂直的判定定理证得平面,再由面面垂直的判定定理即可得证;

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面,由此可得即为点到平面的距离,利用三角形的面积公式求出的面积,代入三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】

（Ⅰ）证明：因为，

所以,又,

由线面垂直的判定定理知,平面，

因为平面,所以⊥.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⊥,

又,点为的中点，

所以,因为,

由线面垂直的判定知,平面，

又平面，由面面垂直的判定定理知，

平面⊥平面.

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面,

因为,

所以在中由余弦定理可得,

,

所以,又为的中位线，

所以,

所以

.

【点睛】

本题考查利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直、面面垂直及三棱锥体积的求解;考查逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

20．已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点.

（Ⅰ）若直线与椭圆交于,两点，求；

（Ⅱ）若直线、的斜率都存在，求证：为定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意知,结合离心率和之间的关系求出椭圆方程,然后与直线联立求出交点,两点的坐标,代入两点间的距离公式求解即可；

（Ⅱ）设，，，由，利用平面向量坐标的线性运算求出之间的关系和之间的关系,把两点坐标代入椭圆方程利用点差法求解即可得证.

【详解】

（Ⅰ）解：依题有 ，

所以椭圆方程为，

由，或，

所以.

（Ⅱ）证明：设，，，

则，

由知,，

由，

所以，

因为,

所以为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、点差法的运用、平面向量坐标的线性运算；考查运算求解能力和逻辑推理能力和知识的综合运用能力;属于中档题、常考题型.

21．设函数，.

（Ⅰ）时，求的最小值；

（Ⅱ）若在恒成立，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；

（Ⅱ）由题知，对任意恒成立，当时，恒成立等价于

对任意恒成立，即对任意恒成立，令，，对函数进行求导判断其单调性求上的最小值即可.

【详解】

（Ⅰ）时，，

则 ， 令，得，

当时，，在单调递减； 

当，，在单调递增；

所以；

（Ⅱ）由题意知，对任意恒成立，

当时，恒成立等价于

对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，，则，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以当时函数有最小值为，

所以此时的取值范围为，

综上可知所求的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性求最值、利用构造函数法求解不等式的恒成立问题;考查运算求解能力、转化与化归的能力、逻辑推理能力；灵活运用函数的单调性与导数之间的关系是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程及的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到距离的取值范围.

【答案】（1），.（2）

【解析】（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式: ，即可求得答案；

（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.

【详解】

（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数

的普通方程为.

曲线的极坐标方程为，

利用极坐标化直角坐标的公式:

的直角坐标方程为.

（2）的标准方程为，圆心为，半径为

圆心到的距离为，

点到的距离的取值范围是.

【点睛】

本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

23．已知.

（Ⅰ） 若，求不等式的解集；

（Ⅱ），，，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；

（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.

【详解】

（Ⅰ）当时， ，   

，或，或

，或

所以不等式的解集为；

（Ⅱ）因为

，又

（当时等号成立），

依题意，，，有，

则，解之得，

故实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.