2020届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
【详解】
解：，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合交集的运算，属于基础题．
2．下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对任意，且都有”，可知函数在上单调递减，结合选项即可判断．
【详解】
解：“对任意，且都有”，
∴函数在上单调递减，
结合选项可知，在单调递增，不符合题意，
在单调递减，符合题意，
在单调递增，不符合题意，
在单调递增，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，由也可得，观察两个的范围之间的关系即可得结果.
【详解】
解：由可得，
由可得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出的取值，本题是基础题.
4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵是偶函数
∴
当时，，又
∴
故选：D
5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面 B．平行 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】如图所示，直线a∥α，a∥β，α∩β=b，求证a∥b．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．
解：由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，
则a∥c，
同理，设经过a的平面与β相交于直线d，
则a∥d，由平行公理得：c∥d，
则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c∥b，
又a∥c，所以a∥b．
故答案为B．
6．函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择.
【详解】
当时，所以舍去B,C;
当时无意义，所以舍去D;
故选：A
【点睛】
本题考查函数图象的识别，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．已知，，，，则下列选项中是假命题的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题：由三角函数定义，即可判断出真假；命题：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可．
【详解】
解：命题：由三角函数的定义，角终边与单位圆交于点，
过作轴，垂足是，单位圆交轴于点，
则，弧长即为角；显然弧长；
∴，是真命题；
命题：解方程，则，
因此，，是假命题．
则下列选项中是假命题的为．而A，B，D都是真命题．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用平移后的图像关于轴对称求出，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值.
【详解】
平移得到的图像对应的解析式为，
因为为偶函数，所以，
所以，其中.
因为，所以，
当时，，所以，
当且仅当时，，故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.
9．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定x的值，类似地的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．
【详解】
解：令，
则两边平方得，则，
即，解得，舍去．
故选：A．
【点睛】
本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．
10．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数（其中e是自然对数的底数）.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有，则m的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数满足，解出．再根据，建立关于的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出的值，由即可得到．
【详解】
解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数，满足
可得，
因此，当min后甲桶中的水只有升，
即，
即，
即为，
解之得，
经过了分钟，即．
故选：C．
【点睛】
本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．
11．在四棱锥中，，且为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先确定三棱锥的外接球球心位置，再列方程求解球半径，最后根据球表面积公式得结果.
【详解】
由题意得三棱锥的外接球球心在过中心且垂直平面的直线上，设为点O，球半径设为,则,从而外接球的表面积为,
故选：B
【点睛】
本题考查锥体外接球及其表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.
12．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解．
【详解】
解：由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，
函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，
函数有3个零点，即有3个不同根，
画出函数与的图象如图：
要使函数与的图象有3个交点，则
，且，即．
∴实数k的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
二、填空题
13．函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】根据偶次根式被开方数非负列不等式，解对数不等式得结果.
【详解】
由题意得
故答案为：
【点睛】
本题考查函数定义域以及对数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．设函数，那么的值为________.
【答案】9
【解析】推导出，由此能求出结果．
【详解】
解：∵函数，
∴．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．函数的最小值为______.
【答案】
【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
所以令，则
因此当时，取最小值，
故答案为：
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号）
①每个面都是直角三角形的四面体；
②每个面都是等边三角形的四面体；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体；
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.
【答案】①②④
【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．
【详解】
解：
①每个面都是直角三角形的四面体；如：E−ABC，所以①正确；
②每个面都是等边三角形的四面体；如E−BGD，所以②正确；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A−BDE，所以④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．
三、解答题
17．已知函数（其中a为实数）.
（1）若是的极值点，求函数的减区间；
（2）若在上是增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）对求导，代入使导函数为零，求出的值，进而利用导数可求出的减区间.
（2）在上是增函数转化为在上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因是的极值点，
所以，即，所以，
故，
当或时，，当时，，
所以符合题意，
且的减区间为；
（2）因为在上为增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为在上是增函数，在上是减函数，
所以，
所以，即a的取值范围为，
【点睛】
本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知，边上的高，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据两角和正弦公式化简求结果，
（Ⅱ）先根据三角形面积公式得到，再利用余弦定理求的值.
【详解】
解：（Ⅰ）由，
及正弦定理得，
即，
所以，
即，
由于为的内角，所以，
所以，
又，
所以；
（Ⅱ）因为，
代入，，，得，
由余弦定理得，
代入，得，
解得，或（舍去），
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小值及取最小值时取值的集合；
（Ⅱ）若将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，且，，求的值.
【答案】（Ⅰ）最小值是，此时的集合为；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）先根据二倍角正余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值，
（Ⅱ）先根据三角函数图象变换得解析式，再根据两角差正弦公式求结果.
【详解】
解：（Ⅰ），
，
当，即时，取得最小值是，
所以函数的最小值是，
此时的集合为；
（Ⅱ）的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数，所以的最小正周期为，
故
因为，
所以.
又，所以，
所以，
.
【点睛】
本题考查两角差正弦公式、二倍角正余弦公式、辅助角公式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．如图，已知为圆锥底面的直径，点是圆锥底面的圆周上，，，，是上一点，且平面平面.
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）求多面体的体积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）先根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得，即可证得结果，
（Ⅱ）先求，根据等体积法或求高可得，再根据与多面体的体积关系得结果.
【详解】
解：（Ⅰ）因为是等边三角形，，
所以，
因为平面，且交线为，
所以，
因为，
所以；
（Ⅱ）解法一：因为，，，
所以， ，
在中，，又，
所以，，
所以点到平面的距离为点到平面的距离的，
所以三棱锥的体积，
所以多面体的体积为
.
解法二：，，
在中，，，
在中，，所以，
从而，
由（Ⅰ）可知，
所以，
又因为，
所以多面体的体积为.
【点睛】
本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.
21．已知函数，（其中是常数）.
（Ⅰ）求过点与曲线相切的直线方程；
（Ⅱ）是否存在的实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，若这样的实数存在，试求，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在实数，只有唯一值，
【解析】（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点求切点坐标，即得结果,
（Ⅱ）先化简不等式，构造函数，利用导数研究新函数单调性，确定最小值取法，再根据最小值不大于零，结合解得唯一性确定，的值.
【详解】
解：（Ⅰ）设过点的直线与曲线相切于点，
因，则，
所以在处切线斜率为，
则在处切线方程为，
将代入切线方程，得，
所以，
所以切线方程为；
（Ⅱ）假设存在的正实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，即恒成立，
因为，所以，即，
令
则，由于，即，
（1°）当即时，
时，，则在上为增函数，
时，，则在上为减函数，
则，
即，令，
则，由，得，
时，，则在区间上为减函数，
时，，则在区间上为增函数，
因此存在唯一的正数，使得，故只能.
所以，
所以，此时只有唯一值.
（2°）当即时，，所以在上为增函数，
所以，即，故.
所以满足的不唯一，
综上，存在实数，只有唯一值，当时，恒有原式成立.
【点睛】
本题考查导数几何意义以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属难题.
22．如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点为圆心、半径为2的圆的一个交点为，曲线是劣弧，曲线是优弧.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设点为曲线上任意一点，点在曲线上，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．
（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】
解：（1）设以点为圆心、半径为2的圆上任意一点，
所以该圆的极坐标方程为，
则的方程为；
（2）由点为曲线上任意一点，则，
点在曲线上，则，
即，
因为，所以，
即
，
因为，且，所以，
因为，所以，即，
所以.
【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
23．设.
（1）解不等式；
（2）已知x，y实数满足，且的最大值为1，求a的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）讨论的取值范围，去掉绝对值求出不等式的解集；
（2）结合题意，利用柯西不等式求得的最大值，列方程求出的值．
【详解】
解：（1）当时，不等式化为，此时，
当时，不等式化为，成立，
当时，不等式化为，此时，
综上所述，原不等式的解集为；
（2）柯西不等式得，因为，
所以，（当时，取等号），
又因为的最大值为1，所以.
【点睛】
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．
