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    2020届四川省攀枝花市一模(11月)数学(文)试题(解析版)
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    2020届四川省攀枝花市一模(11月)数学(文)试题(解析版)

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    201911月四川省攀枝花市一模数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】先解不等式化简集合,再求交集即可.

    【详解】

    解得,故.

    ,所以.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查集合的基本运算,涉及交集、解不等式,是一道基础题.

    2.已知复数,其中为虚数单位.  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,然后利用复数求模公式可求出的值.

    【详解】

    ,则,故选B .

    【点睛】

    本题考查复数的除法法则以及复数模的计算,解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式,考查计算能力,属于基础题.

    3.在等差数列中,,则数列的前项的和   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】设公差为,把已知式化简,再利用求和公式即可求解.

    【详解】

    设公差为,由可得,则.

    所以.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查等差数列的基本问题,求前项和.是等差数列的基本量,一般可以利用条件建立关于的方程()解决问题.

    4.已知角的终边经过点,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】利用诱导公式可得,再利用三角函数的定义求解即可.

    【详解】

    因为角的终边经过点,所以.

    所以.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查三角函数的定义和诱导公式,是一道基础题,解题时要注意符号.

    5.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的等于(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】模拟执行程序框图,逐步写出各变量取值的变化,判断循环条件是否成立,最终可得答案.

    【详解】

    执行程序框图,各变量的值依次变化如下:

    成立;

    成立;

    不成立,

    跳出循环,输出的等于.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查程序框图,解题的一般方法是模拟执行程序,依次写出各变量取值的变化,解题时要留意循环终止的条件.

    6.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后,余下部分的三视图如图所示,则截去部分与剩余部分体积的比为( )

    A13 B14 C15 D16

    【答案】A

    【解析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

    【详解】

    解:由题意可知:几何体被平面ABCD平面分为上下两部分,

    设正方体的棱长为2,上部棱柱的体积为:

    下部为:,截去部分与剩余部分体积的比为:

    故选:A

    【点睛】

    本题考查三视图与几何体的直观图的关系,棱柱的体积的求法,考查计算能力.

    7.函数的部分图象大致是(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化,排除错误选项可得答案.

    【详解】

    ,可得

    是奇函数,图象关于原点对称,排除A.

    时,;当时,,排除C,D.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查函数图象的识别,一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征,排除错误选项得到答案.

    8.已知,则的大小关系为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】利用对数的性质比较的大小,利用比较的大小关系.

    【详解】

    ,所以.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查指数、对数的大小比较.一般利用指数函数、对数函数的单调性和等中间值解决问题.

    9.下列说法中正确的是(   

    A.若命题为假命题,则命题是真命题

    B.命题的否定是

    C.设,则的充要条件

    D.命题平面向量满足,则不共线的否命题是真命题

    【答案】D

    【解析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确.

    【详解】

    选项A,若命题为假命题,则命题至少有一个假命题,

    即可能有一真一假,也可能两个都是假命题,

    所以可能是真命题,也可能是假命题,故A不正确.

    选项B,命题的否定是”,B不正确.

    选项C,,无法得出,故C不正确.

    选项D, 原命题的否命题时平面向量满足,则共线

    因为,所以由可得.

    所以,则,即共线.D正确.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查常用逻辑用语,涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题,综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题,是考查常用逻辑用语的一般方式.

    10.已知函数,若,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】先研究函数的单调性和值域,设,得出的取值范围,把表示为的函数,从而可得答案.

    【详解】

    时,单调递增且

    时,单调递增且.

    因为,所以.

    ,则

    .

    所以.

    所以.

    ,可得.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.

    11.关于函数的下述四个结论中,正确的是(   

    A是奇函数

    B的最大值为

    C个零点

    D在区间单调递增

    【答案】D

    【解析】分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性,对各选项进行逐一判断即可.

    【详解】

    所以是偶函数,不是奇函数,故A不正确.

    ,且当时取得等号;

    ,且当时取得等号,

    所以但等号无法取得,

    的最大值小于,故B不正确.

    是偶函数且

    可得在区间上的零点个数必为偶数,故C不正确.

    时,单调递增,故D正确.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查三角函数的性质,涉及奇偶性、最值、零点、单调性的.解选择题要善于利用排除法,如选项B,可不必求出具体的最大值,只需判断最大值是不是即可.

    12.已知函数的图象恰有三个不同的公共点(其中为自然对数的底数),则实数的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由两图象有三个公共点可得有三个实根,变形得,设,则关于的方程有两个不同的实数根共有三个实数根,结合二次方程根的分布和的图象性质可得答案.

    【详解】

    ,可得,可得.

    ,则,即.

    时,单调递增且

    时,单调递减且.

    作出的图象如图所示.

    对于

    设该方程有两个不同的实根,由题意得共有三个实数根.

    是方程的根,则,即

    则方程的另一个根为,不合题意.

    是方程的根,则,即

    则方程的另一个根为,不合题意.

    所以关于的方程的两根(不妨令)满足.

    所以解得.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查函数与方程的综合问题,涉及导数、二次方程等,是一道难题,解题时要灵活运用等价转化、数形结合等数学思想方法.

     

     

    二、填空题

    13.若平面单位向量满足,则向量的夹角为_________

    【答案】

    【解析】利用数量积运算法则即可求解.

    【详解】

    由单位向量可得,设向量的夹角为

    解得,则.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查利用数量积求向量的夹角,解题时要注意单位向量的模长为,还要注意向量夹角的取值范围为.

    14.已知幂函数的图象经过点,则_______

    【答案】

    【解析】利用幂函数的定义可得,再利用幂函数的图象过点可求得的值,则答案可得.

    【详解】

    是幂函数,可得.

    的图象经过点,可得,解得.

    所以.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查幂函数,利用定义求解即可,是一道基础题.

    15.正项等比数列满足,且2成等差数列,设,则取得最小值时的值为_________

    【答案】

    【解析】先由题意列关于的方程组,求得的通项公式,再表示出,即可求得答案.

    【详解】

    设等比数列的公比为.

    成等差数列,可得,则

    所以,解得(舍去).

    因为,所以.

    所以.所以.

    所以

    时,取得最小值,取得最小值.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查数列的综合问题,涉及等比数列、等差数列、等比数列求积、求最值等.利用等比数列的基本量进行运算是解题的突破口.

    16.已知函数满足,且,若的图象关于对称,,则=____________

    【答案】

    【解析】先由对称性可得是偶函数,再利用赋值求得的值,从而可判断周期性,答案易得.

    【详解】

    因为的图象关于对称,

    所以的图象关于对称,即是偶函数.

    对于,令,可得

    ,所以,则.

    所以函数满足.

    所以.

    所以,即是周期为的周期函数.

    所以

    .

    所以.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查函数性质的综合运用,涉及对称性、奇偶性、周期性等.遇恒等式问题,可尝试通过赋值来求得关键值.

     

    三、解答题

    17.数列中,,数列满足

    1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;

    2)设,求数列的前项和

    【答案】1)证明见解析,;(2.

    【解析】(1)利用可证数列是等差数列,然后可得的通项公式.

    (2)利用(1)可得,于是可用裂项相消法求和.

    【详解】

    1)由,即

    ,即

    数列是首项和公差均为1的等差数列.

    于是.

    2.

    .

    【点睛】

    本题考查等差数列的判断、裂项相消法求和.通项公式形如(为常数)的数列可用裂项相消法求和,裂项时要注意恒等变形调整系数,即.

    18的内角的对边分别为,且满足=

    1)求

    2)若,求的最小值.

    【答案】1;(2.

    【解析】(1)先化切为弦,再利用三角恒等变换、正弦定理化简,可得答案.

    (2)利用余弦定理和均值不等式求解,也可以利用正弦定理和三角函数的性质求解.

    【详解】

    1

    .

    .

    .

    由正弦定理得.

    .

    .

    .

    2)方法一:

    由余弦定理得

    .

    由基本不等式得(当且仅当成立),

    ,则,即的最小值为.

    方法二:

    由正弦定理得

    .

    .

    ,则.

    ,则的最小值为.

    【点睛】

    本题考查解三角形,涉及正弦定理、余弦定理、最值的求法等,一般需综合利用三角恒等变换和三角函数的性质进行解题.

    19.如图,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,的中点.

    1)证明:

    2)若,求到平面的距离.

    【答案】1)证明见解析(2

    【解析】(1) 中点,连接,平面可得.

    (2)作平面的垂线,或利用三棱锥的等积转换求解.

    【详解】

    1)证明:取中点,连接.

    为等边三角形,.

    的中点,中点,.

    平面.

    2)方法一:取中点,连接CM.

    为等边三角形,.

    平面平面

    平面..

    平面.

    为等边三角形,.

    的中点,

    到平面的距离的倍等于到平面的距离.

    到平面的距离为.

    方法二:由平面平面

    可得平面,则.

    为等边三角形,则.

    的中点,.

    到平面的距离为,设到平面的距离为

    ,解得.

    【点睛】

    本题考查空间垂直关系的转化,空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化,要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作求和等积转换.

    20.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆的离心率为.

    1)求椭圆的标准方程;

    2)直线交椭圆两点,线段的中点为,直线是线段的垂直平分线,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

    【答案】1;(2)直线过定点,详见解析.

    【解析】(1)由焦点和离心率可得的值,则方程易求.

    (2)设出直线的方程,与椭圆方程联立,结合线段的中点,利用根与系数的关系(或点差法)可求出直线的斜率,进而可表示出直线的方程,判断其所过定点.

    【详解】

    1)抛物线的焦点为,则.

    椭圆的离心率,则.

    故椭圆的标准方程为.

    2)方法一:显然点在椭圆内部,故,且直线的斜率不为.

    当直线的斜率存在且不为时,易知,设直线的方程为

    代入椭圆方程并化简得.

    ,则,解得.

    因为直线是线段的垂直平分线,故直线,即.

    ,此时,于是直线过定点.

    当直线的斜率不存在时,易知,此时直线,故直线过定点.

    综上所述,直线过定点.

    方法二:显然点在椭圆内部,故,且直线的斜率不为.

    当直线的斜率存在且不为时,设

    则有

    两式相减得.

    由线段的中点为,则

    故直线的斜率.

    因为直线是线段的垂直平分线,故直线,即.

    ,此时,于是直线过定点.

    当直线的斜率不存在时,易知,此时直线,故直线过定点.

    综上所述,直线过定点.

    【点睛】

    本题考查圆锥曲线(椭圆)的综合问题,涉及弦的中点问题,常规方法是联立直线与圆锥曲线的方程,利用根与系数的关系求解;也可以利用点差法求解.

    21.已知函数.

    1)求曲线在点处的切线方程;

    2)若函数(其中的导函数)有两个极值点,且,证明:.

    【答案】1;(2)证明见解析.

    【解析】(1)由题意可得点在曲线上,求出的值,由导数的几何意义求切线方程即可.

    (2)由题意得极值点的根,把待证式中的变量转换为只含一个变量再证.

    【详解】

    1的定义域为.

    ,即

    故所求切线的斜率为

    所以切线方程为,即.

    2)证明:

    的定义域为

    有两个极值点,且

    则方程的判别式,且

    ,且.

    所以

    .

    上恒成立,

    上单调递减,

    从而,即.

    【点睛】

    本题考查导数的综合问题,涉及导数的几何意义、函数的极值、不等式的证明.证明不等式的常用方法是构造函数借助导数来证,不等式中含有多变量则要考虑能否转化为单一变量.

    22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为

    1)求曲线的极坐标方程;

    2)若是曲线上两点,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】(1)先化参数方程为普通方程,再化为极坐标方程,利用曲线经过点求出的值即可.

    (2)代入曲线的方程,对变形化简即可.

    【详解】

    1)将曲线的参数方程化为普通方程为

    .

    ,得曲线的极坐标方程为.

    由曲线经过点,则(舍去),

    故曲线的极坐标方程为.

    2)由题意可知,

    所以.

    【点睛】

    本题考查参数方程与极坐标方程的转化,考查对极坐标方程含义的理解,是一道基础题.牢记转化公式和极坐标系中的含义即可顺利解题.

    23.已知函数

    1)解不等式

    2)若对于,有,求证:

    【答案】1;(2)证明见解析.

    【解析】(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式.

    (2)利用绝对值三角不等式即可证明结论.

    【详解】

    1)由

    解得,或,或,即

    所以不等式的解集为.

    2)证明:由

    所以.

    【点睛】

    本题考查绝对值不等式的求解与证明,利用零点分段讨论法解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式证明不等式.

     

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