中考数学知识点梳理



目录
第1讲 实 数 2
第2讲 整式与因式分解 4
第3讲 分 式 5
第4讲 二次根式 6
第5讲 一次方程(组) 7
第6讲 一元二次方程 8
第7讲 分式方程 9
第8讲 一元一次不等式(组) 10
第9讲 平面直角坐标系与函数 12
第10讲 一次函数 14
第11讲 反比例函数的图象和性质 16
第12讲 二次函数的图象与性质 18
第13讲 二次函数的应用 20
第14讲 平面图形与相交线、平行线 21
第15讲 一般三角形及其性质 23
第16讲 等腰、等边及直角三角形 25
第17讲 相似三角形 27
第18讲 解直角三角形 29
第19讲 多边形与平行四边形 31
第20讲 特殊的平行四边形 33
第21讲 圆的基本性质 35
第22讲 与圆有关的位置关系 36
第23讲 与圆有关的计算 37
第24讲 平移、对称、旋转与位似 38
第25讲 视图与投影 40
第26讲 统计 41
第27讲 概率 43


第1讲 实 数
知识点一：实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
（1）按定义分 （2）按正、负性分
正有理数
有理数 0 有限小数或 正实数
负有理数 无限循环小数 实数 0
实数
正无理数 负实数
无理数 无限不循环小数
负无理数
（1）0既不属于正数，也不属于负数.
（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.
知识点二 ：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数ó a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.

例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.
4.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)
-a(a＜0). b-a(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)
（2）代数意义：ab=1óa,b互为倒数

例：
-2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有±1.
知识点三 ：科学记数法、近似数
6.科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
例：
21000用科学记数法表示为2.1×104；
19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例：
3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
知识点四 ：实数的大小比较
8.实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小.
（3）作差比较法：a-b＞0óa＞b；a-b=0óa=b；a-b＜0óa＜b.
（4）平方法：a＞b≥0óa2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
知识点五 ：实数的运算
9.
常见运算
乘 方
几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）
例：
（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示：类似 “的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x=.
10.混合运算

先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，
使问题简单化

第2讲 整式与因式分解
知识点一：代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.
2.整式 （单项式、多项式）
（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.
（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是 __1 .
知识点二：整式的运算
3.整式的加减运算
(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.幂运算法则
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn；
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0).

其中m,n都在整数


(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.
（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.
5.整式的乘除运算
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
(2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式：
a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2
6.混合运算
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．
例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知识点五：因式分解
7.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.
(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；
(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．
第3讲 分 式

知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1. 分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④，其中是分式是②③④；最简分式 ③.
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；
(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.
失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例： 当的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
( 1 ) 基本性质：(C≠0)．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：
； .
由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简：=.
知识点三 ：分式的运算
4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，
即；
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
分式通分的关键步骤是找出分式的最
简公分母，然后根据分式的性质通分.
例：分式和的最简公分母为.
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝.
例： ＝－1.

6.分式的乘除法
(1)乘法：·＝； (2)除法：＝；
(3)乘方：＝ (n为正整数).
例：＝；＝2y；
＝.
7.分式的混合运算
(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.

第4讲 二次根式

知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.

注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.
(2)两个重要性质：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14；＝2；
=；=2 ；
知识点二 ：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
例：计算：＝.
4.二次根式的乘除法
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算：＝1；4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：(+1)( -1)= 1 .


第5讲 一次方程(组)

知识点一：方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式的基本性质
(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.
例：判断正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c. (×)
(2)若a/c=b/c，则a=b. (√)
2.关于方程 的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.
例：若(a-2)是关于x的一元一次方程，则a的值为0.
知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组
3.解一元一次方程的步骤
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.
失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.
4.二元一次 方程组的解法
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例： 已知则x-y的值为x-y=4.
方法：
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；
(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三 ：一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
(6)作答：规范作答，注意单位名称．
（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.
（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.
6.常见题型及关系式
（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

第6讲 一元二次方程

知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
3.根的判别式

(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝b±c；
性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；
性质3：若a＞b,c