2027年舟山市高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2027年舟山市高考数学一模试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了若集合，，则下列结论正确的是，设集合，，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
2．设分别为的三边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝sin(2x＋)B．f(x)＝sin(2x－)
C．f(x)＝sin(2x＋)D．f(x)＝sin(2x－)
4．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( )
A．B．C．D．
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．三棱锥的各个顶点都在求的表面上，且是等边三角形，底面，，，若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
12．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在处的切线方程是____________.
14．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______
15．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.
16．棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
18．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
19．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
20．（12分）选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
22．（10分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
本题考查复数的概念，属于基础题.
2、B
【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意,可得几何关系如下图所示:
,
故选:B
本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.
3、D
【解析】
由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到 ，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
【详解】
分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
详解：因为函数的最小正周期是，
所以，解得，所以，
将该函数的图像向右平移个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为，
由此函数图像关于直线对称，得：
，即，
取，得，满足，
所以函数的解析式为，故选D.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4、D
【解析】
设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，
所以圆锥的体积.
故选：D
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
5、B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
6、D
【解析】
由题意，分析即得解
【详解】
由题意，故，
故选：D
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
7、A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到D的距离，利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径，则答案可求.
【详解】
如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=,
设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，则外接球的半径R=
取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,
所以OD=.
则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为
所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为
故选：A
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.
9、D
【解析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【详解】
，令，得，．
其单调性及极值情况如下：
若存在，使得，
则（如图1）或（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得，
故选：D.
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
10、C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．
【详解】
由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，
设是的中心，则平面，，，
外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，
∴，解得，
球体积为．
故选：A．
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
12、C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
，则，，.
因此，函数在处的切线方程是，
即.
故答案为：.
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
第一空：将圆与联立，利用计算即可；
第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差数列，进而可得.
【详解】
当r1=1时，圆，
与联立消去得，
则，解得；
由图可知当时，①，
将与联立消去得
，
则，
整理得，代入①得，
整理得，
则.
故答案为：；.
本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.
15、
【解析】
设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积．
【详解】
设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为，
∴
当时，．
故答案为：．
本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．
16、
【解析】
由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．
【详解】
由题意可知：
多面体的外接球即正四面体的外接球
作面交于，连接，如图
则，且为外接球的直径，可得
，
设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，
设外接球的半径为，则可得，
即，解得，
设正三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
而，
所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，
所以，
设内切球的半径为，，
即解得：．
故答案为：.
本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；
（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.
【详解】
解法一：（1）依题意知，因为，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.
因为，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）在中，，，所以.
由（1）知，平面，且，
所以三棱锥的体积.
在中，，，得，
由（1）知，平面，所以，
所以，
设点到平面的距离，
则三棱锥的体积，得.
解法二：（1）同解法一；
（2）因为，平面，平面，
所以平面.
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作的垂线，垂足，即.
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即为点到平面的距离.
由（1）知，，
在中，，，得.
又，所以.
所以点到平面的距离为.
本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.
18、（1）（2）应该购买21件易耗品
【解析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】
（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；
设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则
,,,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
,
,
故,
即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.
（2）以题意知,X所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知,,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
19、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.
试题解析：（1）由可得，即，
∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线.
（2）将代入，得，∴ ，
∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
.
20、（1），（2）
【解析】
试题分析：利用将极坐标方程化为直角坐标方程：化简为ρcsθ＋ρsinθ＝1，即为x＋y＝1．再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为（2csα，sinα），得P到直线l的距离
试题解析：解：化简为ρcsθ＋ρsinθ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x＋y＝1．
设点P的坐标为（2csα，sinα），得P到直线l的距离，
dmax＝．
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解.
（2）根据，利用两角和的余弦得到，利用数形结合，设，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，即，所以.
（2）∵，
.
所以，从而.
所以，.
不妨设，O为外接圆圆心
则AO=1，，.
在中，由正弦定理知，有.
即；

在中，由，，
从而.
所以.
本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15
x
0
+
0
_
0
+
极大值
极小值