2026年四川省宜宾市中考数学试卷附答案

这是一份2026年四川省宜宾市中考数学试卷附答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2026的绝对值是（ ）
A．2026B．0C．﹣2026D．±2026
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．2a﹣a＝aC．a•a2＝2a3D．a2÷2a＝1
3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．梯形
C．正方形D．正五边形
4．（4分）某校8位同学参加志愿服务，服务时长（单位：小时）如下：1，1，2，3，3，4，4，4．则这组数据的众数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC．若△AOC为等边三角形，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．60°
6．（4分）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（4分）我国古代算书《四书玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：999文钱买甜果和苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4文钱买7个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果x个，买苦果y个．下列所列方程组中正确的是（ ）
A．x+y=1000119x+47y=999
B．x+y=1000911x+74y=999
C．x+y=999119x+47y=1000
D．x+y=999911x+74y=1000
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、Q，又分别以P、Q为圆心，大于12PQ为半径画弧交于点M，连接AM交BC于点D．已知AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（4分）如图，一条直线与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A、B两点，分别与y轴、x轴交于C、D两点．若2AB＝3BD，S△COD＝7，则k的值是（ ）
A．3B．207C．7D．4021
10．（4分）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有1g，3g，9g的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（ ）
A．6种B．7种C．13种D．14种
11．（4分）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E、F分别是BC上的点，连接AE、DF交于点G．若BF＝EF＝2，CE＝1，AB＝4，CD＝6，则BG的长是（ ）
A．233B．235C．433D．435
12．（4分）点P是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论：
①当点P在x轴上时，a＝1；②点P在直线y＝2x上；③m+2t＜1；④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点C(0，−14)的直线与抛物线交于M、N两点，则1CM+1CN=4．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
13．（4分）分解因式：a2﹣4a＝ ．
14．（4分）不等式3x﹣2＞5x﹣4的解集是 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E．已知BD＝20cm，则AB的长为 cm．
16．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，点P在BC边上运动，连接AP．当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP＝t，则AP＝ （用含t的代数式表示）．
17．（4分）某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将100个机器人安排坐在编号依次为1到100的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上），开始向每个机器人发送1，2，3，…，100的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是 ．
18．（4分）如图，∠ABC＝135°，AB+BC＝8，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AD．连接BD，则BD的最小值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（10分）（1）计算：4−(2+1)0+tan45°；
（2）计算：(1x+1+1x−1)⋅x−1x．
20．（10分）如图，▱ABCD中，AE、CF分别垂直对角线BD于点E、F．求证：AE＝CF．
21．（10分）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）m＝ ，补全条形统计图；
（2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；
（3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2），组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）．
（1）求DE的长；
（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77，cs50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20．）
23．（12分）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数y=mx的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A．已知S△PAB＝8．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值．
24．（12分）如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB中点，CE平分∠ACD交AB于点E．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：AC与△BCE的外接圆相切；
（3）P为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与PA的数量关系，并说明理由．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD的形状，并说明理由；
（3）如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF面积的最小值．
13．【答案】a（a﹣4）
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
14．【答案】x＜1．
【解答】解：3x﹣2＞5x﹣4
3x﹣5x＞﹣4+2，
﹣2x＞﹣2，
∴x＜1．
故答案为：x＜1．
15．【答案】10．
【解答】解：∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB＝AO，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD＝20cm，
∴AO=12AC=12BD=10cm，
∴AB＝AO＝10cm，
故答案为：10．
16．【答案】21−8t2t−7．
【解答】解：设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，E，F，
∵⊙O为△ABP 的内切圆，
∴OD＝OE＝OF，
设AP＝x，OD＝OE＝OF＝r，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP+S△AOB，
∵AB＝3，BP＝t，AC＝5，BC＝7，
∴PC＝7﹣t，
∴S△ABP=12BP×r+12AP×r+12AB×r=12(BP+AP+AB)r=12(t+x+3)r，
∵△ABP和△APC的内切圆半径相等，
∴同理可得，S△ACP=12(AC+PC+AP)r=12(5+7−t+x)r=12(12−t+x)r，
∴S△ABPS△ACP=12(t+x+3)r12(12−t+x)r=t+x+312−t+x，
又∵S△ABPS△ACP=BPCP=t7−t，
∴t+x+312−t+x=t7−t，
解得x=21−8t2t−7，即AP=21−8t2t−7，
故答案为：21−8t2t−7．
17．【答案】10．
【解答】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为n（1≤n≤100，n为正整数）的桌子，当指令数字k是n的因数时，n是k的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号n的扑克牌被翻动次数等于n的正因数个数；
若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次，
∵对任意正整数，正因数总是成对出现，且只有完全平方数的算术平方根是重复因数，
∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数．
∵在1到100中，完全平方数为12，22，32，…，102，共10个，
∴正面向上的张数是10．
故答案为：10．
18．【答案】863．
【解答】解：过A作AE⊥AB，使AE＝AB，连接CE、BE．
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝90°；
又AB+BC＝8，
设AB＝m，则BC＝8﹣m．
由旋转性质，得AD＝AC，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠BAC，
又AE＝AB，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
在Rt△BAE中，BE=AB2+AE2=2AB=2m，
在Rt△CBE 中，由勾股定理得，
CE2＝BC2+BE2，
代入BC＝8﹣m、BE=2m，
化简得：CE2=(8−m)2+2m2=3m2−16m+64=3(m−83)2+1283，
∵3＞0，
∴抛物线开口向上，
故当m=83时，CE2取最小值1283，故CE最小=1283=863，即BD最小=863，
故答案为：863．
19．【答案】（1）2；（2）2x+1．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+1
＝2；
（2）原式=x−1+x+1(x+1)(x−1)⋅x−1x
=2x+1．
20．【答案】∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
21．【答案】（1）50；
（2）全校优秀的人数约为680人；
（3）23．
【解答】解：（1）m＝10÷20%＝50（人），
C组的人数有：50﹣6﹣10﹣16＝18（人），
补全统计图如下：
故答案为：50；
（2）1000×18+1650=680（人），
答：全校优秀的人数约为680人；
（3）列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有6种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为46=23．
22．【答案】（1）DE的长为8米；
（2）正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．
【解答】解：（1）在Rt△DFC中，tan∠DFC＝tan50.3°=DCFC≈1.20，
∴DC≈20×1.20＝24（米），
在Rt△EFC中，tan∠EFC＝tan58°=ECFC≈1.60，
∴EC≈20×1.60＝32（米），
∴DE＝EC﹣DC＝32﹣24＝8（米），
答：DE的长为8米；
（2）如图，设MEN的圆心为O，连接NO，CO，
∵圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米，
∴MN＝（25﹣1）×4＝96米，
∵点D是MN的中点，
∴DN=12MN=48米，OD⊥MN，
设⊙O的半径为r米，则 OD＝OE﹣DE＝（r﹣8）米，
在Rt△ODN中，OD2+DN2＝ON2，
∴（r﹣8）2+482＝r2，
解得r＝148，
答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．
23．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y=4x；
（2）25．
【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+b得，
y＝1+b，
所以点P坐标为（1，1+b）．
由x+b＝0得，x＝﹣b，
所以点B坐标为（﹣b，0），
则AB＝1﹣（﹣b）＝1+b．
因为S△PAB＝8，
所以12(1+b)2=8，
解得b＝3（舍负），
所以点P坐标为（1，4），一次函数的解析式为y＝x+3．
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×4＝4，
所以反比例函数的解析式为y=4x；
（2）将x＝0代入y＝x+3得，y＝3，
所以点C坐标为（0，3），
则OB＝OC，
所以△BOC是等腰直角三角形，
所以∠CBO＝45°．
因为点A坐标为（1，0）且点Q是A点关于y轴的对称点，
所以点Q坐标为（﹣1，0）．
过点Q作直线BC得对称点E，连接AE，
则当点M和点N分别在AE与y轴和BC的交点处时，△MNQ的周长取得最小值，即为AE的长．
由对称可知，
∠EBC＝∠CBO＝45°，BE＝BQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
所以∠EBO＝90°，
所以点E坐标为（﹣3，2）．
又因为点A坐标为（1，0），
则AE=(−3−1)2+(2−0)2=25，
所以△MNQ周长的最小值为25．
24．【答案】（1）90°；
（2）由（1）知∠BCE＝90°，
∴EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠B=∠CAB=180°−∠ACB2=30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，
∵OC为半径，
∴AC与△BCE的外接圆相切；
（3）PA＝2PD，理由如下：
连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，
∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，
∴AO＝2CO＝2R，
∵CE=CE，
∴∠COE＝2∠B＝60°，
∵CA＝CB，点D是AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OD=12OC=12R，
∴OD×OA=12R×2R=R2=OP2，
∴ODOP=OPOA，
∵∠DOP＝∠POA，
∴△DOP∽△POA，
∴PDPA=OPOA=R2R=12，
∴PA＝2PD．
【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=12∠ACD=30°，
∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°；
（2）证明：由（1）知∠BCE＝90°，
∴EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠B=∠CAB=180°−∠ACB2=30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，
∵OC为半径，
∴AC与△BCE的外接圆相切；
（3）解：PA＝2PD，理由如下：
连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，
∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，
∴AO＝2CO＝2R，
∵CE=CE，
∴∠COE＝2∠B＝60°，
∵CA＝CB，点D是AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OD=12OC=12R，
∴OD×OA=12R×2R=R2=OP2，
∴ODOP=OPOA，
∵∠DOP＝∠POA，
∴△DOP∽△POA，
∴PDPA=OPOA=R2R=12，
∴PA＝2PD．
25．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线x=−−12×1=12，
设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），
∴2p+q=0q=−2，
解得p=1q=−2，
∴直线BC：y＝x﹣2，
将x=12代入y＝x﹣2，得y=12−2=−32，
∴D(12，−32)，
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD=(12+1)2+(−32−0)2=322，BD=(2−12)2+(0+32)2=322，
∴AD＝BD，
∵AD2+BD2=(322)2+(322)2=9，AB2＝9，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形；
（3）362−365．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣2），
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣2），
∴﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣2），即y＝x2﹣x﹣2；
（2）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线y＝x2﹣x﹣2对称轴为直线x=−−12×1=12，
设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），
∴2p+q=0q=−2，
解得p=1q=−2，
∴直线BC：y＝x﹣2，
将x=12代入y＝x﹣2，得y=12−2=−32，
∴D(12，−32)，
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD=(12+1)2+(−32−0)2=322，BD=(2−12)2+(0+32)2=322，
∴AD＝BD，
∵AD2+BD2=(322)2+(322)2=9，AB2＝9，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形；
（3）如图，过点B作BK⊥AC于点K，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OC＝2，
∴AC=OA2+OC2=5，
∴在Rt△AOC 中，sin∠OAC=OCAC=25=255，
∵BK⊥AC，
∴在Rt△ABK中，BK=AB×sin∠OAC=3×255=655，
∵点B（2，0）、C（0，﹣2），
∴OB＝OC＝2，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°，
作△EBF 的外接圆，记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T作TR⊥AC于点R，连接BR，
则∠ETF＝2∠EBF＝90°，
∵TE＝TF，
∴△TEF为等腰直角三角形，∠TEF＝∠TFE＝45°，
∵TR⊥AC，
∴△TRE，△TRF均是等腰直角三角形，
∴RE＝RF＝RT，
设RE＝RF＝RT＝x，
则TE=TR2+ER2=2x，
∴TB=TE=2x
∵TB+TR≥BR≥BK，
∴x+2x≥655，
解得x≥610−655，
当点B，T，R三点共线，且点K，R重合时，x取得最小值为610−655，
∵EF＝ER+FR＝2x，
∴此时EF取得最小值为610−655×2=1210−1255，
而高BK=655为定值，
∴△EBF的面积最小值为12×1210−1255×655=362−365，
∴△EBF的面积为362−365．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
D
B
D
A
D
B
C
D
题号
12
答案
B